线性系统理论3线性系统的运动分析

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章,线性系统的运动分析,3.1,运动分析的含义,3.1.1,问题的提出及其解的存在 惟一性,分析系统运动的目的,:,从其数学模型出发,定量地和精确地定出系统运动的变化规律,以便为系统的实际运动过程做出估计,.,只有当状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时,对系统运动的分析才有意义,.,3.1,.2,线性系统响应的特点,线性系统满足叠加原理,可以把系统在初始状态和输入向量作用下的运动,分解为两个单独的分运动,即由初始状态引起的自由运动和由输入作用引起的强迫运动,;,系统由初始状态和由输入作用引起的整体响应就由零输入响应,(,输入为零时,),与零状态响应,(,初始状态为零时,),两者的叠加。,3.2,状态转移矩阵及其性质,3.2.1,线性齐次方程的解空间,定理,齐次方程,的所有解的集合组成实数域上的,n,维向量空间。,3.2.2,状态转移矩阵的定义,定义,设,是方程,的一组线性独立的解，那么矩阵,称为方程,的基本解阵。,性质,1,如果,满足方程,且对某个,非奇异，那么,必为方程,的基本解阵。,性质,2,对任意,，,基本解阵,都是非奇异的。,定义,3.2.2,令,是方程,的基本解阵，则矩阵,称为系统的状态转移矩阵。,3.2.3,状态转移矩阵的性质,命题,设,为系统,的状态转移矩阵，则它具有下述性质：,1.,自反性：对任意,，,有,2.,反身性：对任意,和,，有,3.,传递性：对任意,，,和,，有,命题,设,为系统,的状态转移矩阵，且系统,满足解的存在唯一性条件，则,与方程,的基本解阵的选取无关,且由下述矩阵微分方程惟一决定,3.3,线性时变系统的运动分析,3.3.1,线性时变系统的零输入响应,定理,设时变线性系统满足解的存在,唯一性条件，记,为其状态转移矩阵,则,定理,设线性时变系统,满足解的存在,唯一性条件，记,3.3.2,线性时变系统的零状态响应,为其状态转移矩阵，则,3.3.3,时变线性系统的整体响应,例,3.3.1,给定线性时变系统,求其在单位阶约函数,作用下以,和,为初始状态的状态响应,。,解,:,首先来求状态转移矩阵，为此来考虑零输入,时的状态方程,对其求解可以得到,取两组不同的初值,和,可得到两个线性无关解,从而系统的一个基本解阵可取为,由此可得,下面我们来计算系统的响应,3.4,线性定常系统的运动分析,3.4.1,矩阵指数函数,定理,3.4.1,设,，,则,1.,2.,3.,为可逆矩阵，且,4.,对于与,可交换的,阶方阵,有,5.,6.,7.,如,，则,8.,（此处,L,为,Laplace,变换算符）,命题,设,方法,1,基于,Levirrier,算法求取,方法,2,基于,Jordan,分解求取,具有互异特征值,为,的与,相对应的特征向量，记,则,命题,设,为一,阶,Jordan,块，,为其特征值，则,:,阶方阵，且具有互异,特征值,时，式,成立。,命题,设,为,，则当取,方法,3,基于,Cayley-Hamilton,定理计算,（二重），,（三重），,具有重特征值但为循环阵时，比如其,特征值为,当,，,此时有,3.4.2,线性定常系统的响应,定理,定常线性系统,的状态转移矩阵为,定理,给定线性定常系统，则它的,1.,零输入状态响应和零输入输出响应,分别是,:,2.,零初始状态下的状态和输出响应,分别为,:,3.,整体的状态和输出响应分别为,推论,设矩阵,具有互异特征值,，,为对应的右特征向量，记,则,:,命题,相互代数等价的定常线性系统,具有相同的零初始状态下的输出响应,和零输入条件下的输出 响应。,例,已知系统,求其在初始状态,下的零输入响应和在,作用下的零初始状态响应。,所以有,最后由定理,3.4.2,可得,3.5,脉冲响应矩阵,3.5.1,单变量情形的简单回顾,系统的脉冲响应函数是它的传递函数的,Laplace,反变换。,脉冲响应函数描述了系统输入,-,输出的时域关系。,传递函数描述了系统输入,-,输出的频域关系。,定义,考虑一个具有,个输入端和,3.5.2,脉冲响应矩阵的定义与系统的输出响应,的脉冲响应。,个输出端的线性定常系统，假设系统具有,零初始状态，令在,时刻加于第,个输入端一个单位脉冲函数,而令其他输入端的输入为零，则用,表示第,个输出端在时刻,，,为元所构成的,阶矩阵,而以脉冲响应,称为系统的脉冲响应矩阵。并且，由于系,统满足因果律，且总是假定系统的输出在,输入加入之前的所有瞬时为零，所以,具有性质,和,3.5.3,状态空间模型的脉冲响应矩阵,定理,由,所描述的线性系统的脉冲响应矩阵为,或将其写成常用的形式,定理,两个代数等价的线性定常系统,具有相同的脉冲响应矩阵。,3.5.4,脉冲响应矩阵与传递函数矩阵,定理,用,分别表示给定的线性定常系统的脉冲响应矩阵和传递函数矩阵，则两者之间成立如下的关系式。,和,和,定理,给定两个线性定常系统,设两者具有相同的输出和输入维数，但它们的状态维数可不一定相同，则此两系统具有相同脉冲响应矩阵的充要条件是,:,和,