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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十一讲 向量代数,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,1 空间点的直角坐标,面,面,面,空间直角坐标系共有,八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,空间两点间的距离,空间两点间距离公式,特殊地：若两点分别为,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,|,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,或,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,空间直角坐标系中任一点,与原点构成的向量.,1 加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,二、向量的加减法,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减法,三、向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,2 空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义,向量与一轴,或,空间两轴,的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,按基本单位向量的,坐标分解式,：,在三个坐标轴上的,分向量,：,向量的,坐标,：,向量的,坐标表达式,：,特殊地：,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,非零向量 的,方向角,：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,三、向量的模与方向余弦的坐标表示式,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量模长的坐标表示式,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,启示,两向量作这样的运算,结果是一个数量.,定义,3 两向量的数量积,关于数量积的说明：,证,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律,：,（2）分配律,：,（3）若 为数,：,若 、为数,：,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,证,定义,关于向量积的说明：,/,向量积也称为“,叉积,”、“,外积,”.,向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）,分配律：,（3）,若 为数：,证,/,/,设,向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,补充,例如，,解,解,三角形,ABC,的面积为,
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