数项级数的敛散性判别法.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、交错级数与任意项级数的敛散性,第二节,一、正项级数敛散性判别法,数项级数敛散性判别法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五章,一、正项级数及其判别法,若,定理 1.,正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为,正项级数,.,单调递增,收敛,也收敛.,证:,“”,“”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,都有,定理2,(比较判别法),设,且存在,对一切,有,(1)若,强,级数,则,弱,级数,(2)若,弱,级数,则,强,级数,证:,设对一切,则有,收敛,也收敛;,发散,也发散.,分别表示,弱,级数和,强,级数的部分和,则有,是两个,正项级数,(常数,k,0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)若,强,级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2)若,弱,级数,因此,这说明,强,级数,也发散.,也收敛.,发散,收敛,弱,级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,讨论,p,级数,(常数,p,0),的敛散性.,解:,1)若,因为对一切,而调和级数,由比较判别法可知,p,级数,发散.,发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛,由比较判别法知,p,级数收敛.,时,2),若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,调和级数,与,p,级数,是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明级数,发散.,证:,因为,而级数,发散,根据比较判别法可知,所给级数发散.,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3.,(比较判别法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当,l,=,0,(3)当,l,=,证:,据极限定义,设两正项级数,满足,(1)当,0,l,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由,定理,2,可知,同时收敛或同时发散;,(3)当,l,=,时,即,由,定理2,可知,若,发散,(1)当,0,l,时,(2)当,l,=,0,时,由,定理2,知,收敛,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是两个,正项级数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;,特别取,可得如下结论:,对正项级数,(2)当 且 收敛时,(3)当 且 发散时,也收敛;,也发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的敛散性.,例3.,判别级数,的敛散性.,解:,根据比较判别法的极限形式知,例4.,判别级数,解:,根据比较判别法的极限形式知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理4,.,比值判别法,设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,证:,(1),收敛,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,由比较判别法可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此,所以级数发散.,时,(2)当,说明,:,当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p,级数,但,级数收敛;,级数发散.,从而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理4可知:,级数收敛;,级数发散;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考：,设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由比较判敛法可知,收敛.,注意:,反之不成立.,例如,收敛,发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对任意给定的正数,定理5.,根值判别法(Cauchy判别法),设,为正项级,则,证明提示:,即,分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.,数,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p,级数,说明:,但,级数收敛;,级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,证明级数,收敛于,S,似代替和,S,时所产生的误差.,解:,由定理5可知该级数收敛.,令,则所求误差为,并估计以部分和,S,n,近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、交错级数与任意项级数的敛散性,则各项符号正负相间的级数,称为,交错级数,.,定理6,.,(Leibnitz,判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于,S,且,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,收敛,用,Leibnitz,判别法,判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、绝对收敛与条件收敛,定义:,对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如,：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7.,绝对收敛的级数一定收敛.,证:,设,根据比较判别法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,证明下列级数绝对收敛:,证:,(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),令,因此,收敛,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8 讨论级数,的敛散性.,解：,时,时，级数收敛。,时，原级数即为几何级数,显然收敛。,综上所述，原级数收敛。,内容小结,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.利用正项级数判别法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值判别法,根值判别法,收 敛,发 散,不定,比较判别法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.任意项级数判别法,为收敛级数,Leibniz,判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题,1.,判别级数的敛散性:,解:,(1),发散,故原级数发散.,不是,p,级数,(2),发散,故原级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,则级数,(,A,)发散;(,B,)绝对收敛;,(,C,)条件收敛;(,D,)收敛性根据条件不能确定.,分析:,(,B,)错;,又,C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,