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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 圆与方程,4.4.1,圆的标准方程,4.1,圆的方程,求曲线方程的步骤,选系取动点,找等量，列方程,化简,圆的定义：,根据圆的定义,怎样,求出圆心是,C(a,b),，,半径是,r,的圆的方程,?,平面内与定点距离等于定长的点的集合,(,轨迹,),是圆,定点就是,圆心,定长就是,半径,.,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,三个独立条件,a,、,b,、,r,确定一个圆的方程,.,1(,口答,),、求圆的圆心及半径,(1),、,x,2,+y,2,=4 (2),、,(x+1),2,+y,2,=1,练习,X,y,0,+2,-2,C(0,、,0)r=2,X,Y,0,-1,C(-1,、,0)r=1,(1)x,2,+y,2,=9,(2)(x+3),2,+(y-4),2,=5,练习,2,、写出下列圆的方程,（,1,）、圆心在原点，半径为,3,；,（,2,）、圆心在,(-3,、,4),半径为,.,3,、圆心在（,-1,、,2,），与,y,轴相切,练习,X,Y,0,c,-1,C(-1,、,2)r=1,(x+1),2,+(y-2),2,=1,(x-2),2,+(y-2),2,=4,或,(x+2),2,+(y+2),2,=4,2,0,2,C(2,2),C(-2,-2),X,Y,-2,-2,Y=X,练习,4,、圆心在直线,y=x,上,与两轴同时相切,半径为,2.,X,Y,0,C,（,8,、,3,）,P,（,5,、,1,）,5,、已知圆经过,P(5,、,1),圆心在,C(8,、,3),求圆方程,.,练习,(x-8),2,+(y-3),2,=13,X,C(1,、,3),3x-4y-6=0,Y,0,练习,6,、求以,c(1,、,3,）,为圆心，并和直线,3x-4y-6=0,相切的圆的方程,.,解：设圆的方程为,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,已知,a=1,b=3,因为半径,r,为圆心到切线,3x-4y-6=0,的距离，,所以,|31-4 3-6|,15,所以圆的方程为,r=,=,=,3,(x-1),2,+(y-3),2,=9,5,2,2,),4,(,3,-,+,7,、已知两点,A(4,、,9),、,B(6,、,3),求以,AB,为直径的圆的方程,.,提示,:,设圆方程为,:(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,A(4,、,9),B(6,、,3),X,0,Y,练习,例,2,、已知圆的方程是,x,2,+y,2,=r,2,，,求经过圆,上一点,M(x,0,y,0,),的切线方程,.,y,x,O,),(,0,0,y,x,M,思考,1.,圆的切线有哪些性质？,2.,求切线方程的关键是什么？,3.,切线的斜率一定存在吗？,y,x,O,.,2,0,0,r,y,y,x,x,=,+,2,2,0,2,0,r,y,x,=,+,),(,0,0,0,0,x,x,y,x,y,y,-,-,=,-,.,1,k,OM,-,所求的切线方程是,因为点,M,在圆上,所以,经过点,M,的切线方程是,解,:,当,M,不在坐标上时,，,设切线的斜率为,k,则,k=,y,0,0,x,k,OM,=,.,0,0,y,x,k,-,=,当点,M,在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用,.,整理得,4.,除了课本解法，你还能想到哪些方法？,例,2,已知圆的方程是 ，求经过圆上一点,的切线的方程。,P(x,y),由勾股定理：,|,OM|,2,+|MP|,2,=|OP|,2,分析：利用平面几何知识，按求曲线方程的一般步骤求解,.,如图，在,RtOMP,中,y,x,O,x,0,x,+y,0,y=r,2,P(x,y),y,x,O,例,2.,已知圆的方程是 ，求经过圆上一点,的切线的方程。,分析：利用平面向量知识,.,OM MP=0,OM MP,x,0,x,+y,0,y=r,2,设,P,（,x,y),是切线上不同于,M,的任意一点,则,当,P,与,M,重合时，,P,的坐标仍满足上面方程,.,练习,3,：写出过圆,x,2,+y,2,=10,上一点,M,（,2,，,),的切线方程。,6,2x,+,y=10,6,经过圆 上一点,的切线的方程是,x,0,x,+y,0,y=r,2,x,2,+y,2,=r,2,xx+yy=r,2,x,0,x+y,0,y=r,2,例,3,、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度,AB,20m,，,拱高,OP=4m,，,在建造时每隔,4m,需用一个支柱支撑，求支柱,A,2,P,2,的长度（精确到,0.01,）,y,x,思考：,1.,是否要建立直角坐标系？怎样建立？,2.,圆心和半径能直接求出吗？,3.,怎样求出圆的方程？,4.,怎样求出支柱,A,2,P,2,的长度？,解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（,0,，,b,）,圆的半径是,r,则圆的方程是,x,2,+(y-b),2,=r,2,.,把,P,（,0,，,4,）,B,（,10,，,0,）,代入圆的方程得方程组：,0,2,+(4-b),2,=r,2,10,2,+(0-b),2,=r,2,解得，,b=-10.5 r,2,=14.5,2,所以圆的方程是：,x,2,+(y+10.5),2,=14.5,2,把点,P,2,的横坐标,x=-2,代入圆的方程，得,(-2),2,+(y+10.5),2,=14.5,2,因为,y0,所以,y=,14.5,2,-(-2),2,-10.5,14.36-10.5=3.86(m),答：支柱,A,2,P,2,的长度约为,3.86m.,例,3,：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度,AB=20m,，,拱高,OP=4m,，,在建造时每隔,4m,需用一个支柱支撑，求支柱,A,2,P,2,的长度（精确到,0.01m),y,x,思考,利用圆的几何性质，你能否用直线方程求出圆心坐标？进而写出圆的方程？,C,1,小结：,(1),、牢记,:,圆的标准方程：,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,。,(2),、,明确：三个条件,a,、,b,、,r,确定一个圆。,(3),、方法：,待定系数法,数形结合法,d,用,r,表示圆的半径，,d,表示圆心到直线的距离，则,（,1,）直线和圆相交,dr,r,1.,求圆心,C,在直线,x+2y+4=0,上，且过两定点,A(-1,1),、,B(1,-1),的圆的方程,2.,试推导过圆,(,x-a,),2,+(,y-b),2,=r,2,上一点,M(,x,0,y,0,),的切线方程,.,4.,自圆,(,x-a,),2,+(,y-b),2,=r,2,外一点,M(,x,0,y,0,),向圆引切线，求切线的长,.,课外思考题,3.,从圆,x,2,+y,2,=10,外一点,P(4,2),向该圆引切线，求切线方程,.,思考题：,圆的方程,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,展开：,x,2,+y,2,-2ax-2by+(a,2,+b,2,-r,2,)=0,是关于,x,、,y,的二元二次方程。,那么是否二元二次方程均可化为圆方程？,怎样的二元二次方程可化为圆的方程？,
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