向量及其线性运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,数量关系,第八章,第一部分 向量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式,点,线,面,基本方法,坐标法;向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其线性运算,第,八,章,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,|,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,或,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,空间直角坐标系中任一点,与原点构成的向量.,规定:,零向量与任何向量平行,;,平行向量：,若向量,a,与,b,方向相同或相反,a,与,b,平行,a,b,;,记作,则称,向量共线：,当两个平行向量的起点放在同一,点时，它们的终点和公共起点应在一条直,线上,.,因此，两向量平行又称两向量共线.,时，如果 个终点和公共起点在一个平面,上,.,就称这 个向量共面.,向量共面：,当把 个向量的起点放在同一,点,二、向量的线性运算,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则,:,运算规律,:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加,.,2.向量的减法,三角不等式,一般地，,任给向量 及点,3、向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,例1.,设,M,为,解:,ABCD,对角线的交点,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,两个向量的平行关系,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x,轴(横轴),y,轴(纵轴),z,轴(竖轴),过空间一定点,o,坐标面,卦限,(,八个,),zox,面,1.空间直角坐标系的基本概念,2.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,沿三个坐标轴方向的,分向量,.,此式称为向量,r,的,坐标分解式,任意向量,r,可用向径,OM,表示,.,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点,P,Q,R,;,坐标面上的点,A,B,C,点,M,特殊点的坐标,:,有序数组,(,称为点,M,的,坐标,),原点,O,(0,0,0);,坐标轴:,坐标面:,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,例2.,已知两点,在,AB,直线上求一点,M,使,解:,设,M,的坐标为,如图所示,及实数,得,即,说明:,由,得,定比分点公式,:,点,M,为,AB,的中点,于是得,中点公式,:,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式,:,对两点,与,例3.,在,z,轴上求与两点,等距,解:,设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1),如何求在,xoy,面上与,A,B,等距离之点的轨迹方程?,(2),如何求在空间与,A,B,等距离之点的轨迹方程?,离的点,.,提示:,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,例4.,已知两点,和,解:,求,解,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向,或,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点,O,称,=AOB,(,0,),为向量,的夹角,.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角,.,与,三坐标轴,方向角的余弦称为其,方向余弦,.,记作,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,的夹角,为其,方向角,.,方向余弦的性质:,例6.,已知两点,和,的模、方向余弦和方向角,.,解:,计算向量,例7,.,设点,A,位于第一卦限,解:,已知,角依次为,求点,A,的坐标,.,则,因点,A,在第一卦限,故,于是,故点,A,的坐标为,向径,OA,与,x,轴,y,轴的夹,解,3.向量在轴上的投影,空间一点在 轴上的投影,空间向量在 轴上的投影,称为向量在 轴,上的,分向量,.,设,数 称为向量在 轴上的投影，记作,或,设,则,或记作,向量投影的性质,性质1,其中 为向量 与 轴的夹角,性质2,性质3,例8 一向量的终点在点 ，它在 轴、,轴、轴上的投影依次为 .求这向量的,起点 的坐标.,解,设,的坐标为,由已知可得,所以,即,解,例9 已知 ，它与 的夹角为 ，求 .,解,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（注意与标量的区别）,（平行四边形法则）,（注意数乘后的方向）,四、小结,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,（注意分向量与向量的坐标的,区别,）,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,向量在轴上的投影与投影定理.,思考题 1,已知平行四边形ABCD的对角线,试用 表示平行四边形四边上对应的向量.,解答,思考题 2,解答,对角线的长为,练 习 题 1,练习题1答案,练 习 题2,练习题2答案,