二元函数微积分——偏导数和全微分.课件

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,推广,一元函数微分学,二元函数微分学,注意,:,善于类比,区别异同,二元函数微积分,一、区域,二、二元函数的概念,二元函数的基本概念,区域,平面上满足某个条件的一切点构成的集合。,平面点集：,平面区域：,由平面上一条或几条曲线所围成的部分平面点集称为平面区域，通常记作,D,。,0,1,边界,闭区域,开区域,0,0,型区域,型区域,常见区域,由,四条曲线围成,由,四条曲线围成,邻域,:,0,1,二元函数的概念,一元函数,二元函数,定义域,自变量个数,一个：,两个：,在数轴上讨论,（区间）,在平面上讨论,（区域）,一、偏导数概念及其计算,二、高阶偏导数,偏导数,定义：,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意,:,同样可定义对,y,的偏导数,若函数,z=f,(,x,y,),在域,D,内每一点,(,x,y,),处对,x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,或,y,偏导数存在,例如,三元函数,u=f,(,x,y,z,),在点,(,x,y,z,),处对,x,的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数,.,偏导数定义为,(,请自己写出,),例,1,.,求,解：,在点,(1,2),处的偏导数,.,由偏导数的定义可以看出，要求二元函数对某个自变量的偏导数，只需将另一个自变量看做常量，然后利用一元函数求导公式和求导法则即可。,例,2.,设,证,:,例,3.,求,的偏导数,.,解,:,求证,偏导数记号是一个,例,4.,已知理想气体的状态方程,求证,:,证,:,说明,:,(,R,为常数,),不能看作,分子与分母的商,!,此例表明,整体记号,练 习,二、高阶偏导数,设,z=f,(,x,y,),在域,D,内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是,z=f,(,x,y,),的,二阶偏导数,.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数,:,类似可以定义更高阶的偏导数,.,例如，,z=f,(,x,y,),关于,x,的三阶偏导数为,z=f,(,x,y,),关于,x,的,n,1,阶偏导数,再关于,y,的一阶,偏导数为,解：,例,6.,证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性,有,方程,内容小结,1.,偏导数的概念及有关结论,定义,;,记号,2.,偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先求后代（把其他变量视为常数）,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,练 习,