补充-线性方程组

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性方程组的几种形式,含,m,个方程,n,个未知量的线性方程组,一般形式,方程组的矩阵形式为,A,x,=b,其中,向量形式为,其中,3.5,线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,1.齐次线性方程组解的性质,性质1,若 是齐次线性方程组,(1),的两个解，则,也 是它的解.,齐次线性方程组,Ax=0,(1),证明,因为 是(1)的解,因此,于是,即 也是方程组(1)的解.,从而齐次线性方程组若有非零解，则它就有无穷多个解.,若 是齐次线性方程组,(1),的解，则其线性组合,也是其解.为任意常数.,由上述性质，易得：,性质2,若 是齐次线性方程组,(1),的解，则 也是,它的解(,k,为常数).,证明 由,得,即 也是方程组(1)的解.,定义,3.10,如果 是齐次线性方程组,(1),的解向量,组中的一个极大无关组，则称 为方程组,(1),的一个,基础解系.,注：,基础解系不唯一.,当一个齐次线性方程组只有零解时，该方程组没有基础,解系，而当一个齐次线性方程组有非零解时，是否一定,有基础解系？如果有的话，怎样去求基础解系？,定理,3.13,如果齐次线性方程组,(1),的系数矩阵,A,的秩,r(A)=rn,则它的基础解系一定存在，且每个基,础解系中恰好有,n-r,个解.,证明过程给出了求基础解系和通解的方法.,证明,因为,r(A)=rn，,对,A,实施初等行变换可化为下述,形式,与,方程组,Ax=0,同解的方程组为,其中 为自由未知量.,对个自由未知量 分别取,则可得原方程组的,n-r,个解:,下面证明,是方程组,Ax=0,的一个基础解系,.,首先证明 线性无关,设,则,K,有,n-r,阶子式,即,r(K)=n-r,.,所以 线性无关,.,其次再证明方程组,Ax=0,的任意一个解,都是 线性组合.,因为,所以,即 是 的线性组合.,所以是方程组,Ax=0,的一个基础解系,因此方程组,Ax=0,的全部解为,(为任意常数),定理的证明过程指出了求齐次线性方程组的基础解系,的方法,.,例,1,.,求如下齐次线性方程组的一个基础解系.,例,2,.,用基础解系表示如下线性方程组的全部解.,注意：,当齐次方程组,Ax=0,的系数矩阵,A,的秩,r(A)=n,时,方程,组不存在基础解系，方程组,Ax=0,仅有零解；,当,r(A)=0,(即,A,为零矩阵)时，任意,n,个线性无关的,n,维列向量均为方程组,Ax=0,的基础解系.,例3,设矩阵,满足,AB=O,并且,r(A)=r,.,试证:,r(B)n-r,结论:若,AB=O,则,r(A)+r(B)n,二、非齐次线性方程组解的结构,定义,非齐次线性方程组,Ax=b,当,b=o,得到的齐次线性方程组,Ax=0,称为非齐次线性方程组,Ax=b,的,导出组,.,非齐次线性方程组,Ax=b,的解与它导出组,Ax=0,的解之间,有下列性质:,(1),如果 是非齐次线性方程组,Ax=b,的一个解,是,其导出组的一个解,则,也是方程组,Ax=b,的一个解,因为,则,即 也是非齐次线性方程组,Ax=b,的解.,(2),如果 是非齐次线性方程组的两个解,则,是其导出组的解,.,定理,3.14,如果 是非齐次线性方程组的一个解,是,其导出组的全部解,则,是非齐次线性,方程组的全部解.,因为,则,即 是,其导出组,Ax=,0,的解.,证明:,由性质(1)知,加上其导出组的一个解还是非,齐次线性方程组的一个解.,所以只需证明非齐次线性方程组的任一个解 一定是 与其导出组某一解 的和.,取,由性质(1)知,是导出组的一个解.,于是,即非齐次线性方程组的任一个解均为其一个解,与其导出组某解之和.,由此定理可知,如果非齐次线性方程组有解,则只需求出,它的一个解 ,并求出其导出组的基础解系,则其全部解可以表示为,为任意常数),如果非齐次线性方程组的导出组仅有零解,则该非齐次,线性方程组只有一个解,如果其导出组有无穷多个解,则它也有无穷多个解.,(,例4.,用基础解系表示如下线性方程组的全部解.,例5,作业,P161,20（2）,23（2）,24,线性方程组的几种形式,含,m,个方程,n,个未知量的线性方程组,一般形式,方程组的矩阵形式为,A,x,=b,其中,向量形式为,其中,齐次方程组也有相应的三种形式,1,向量,组,的线性组合与线性表示,，若存在一组数,定义3.,5,给定向量组,和向量,，使,则称,是向量组,A,的,线性组合,，或称 能由向量组,A,线性表示,（或,线性表出,）,.,线性表出的充要条件是,定理,3,.3,设向量,则向量,能由,矩阵,与矩阵,的秩相等,.,对于行向量组只需将其每一个向量转置即可.,2,向量组线性相关、线性无关,定义,1,设,维向量组,为零的数,，使得,则称向量组,，如果存在不全,线性相关,.,反之，若当且仅当,，才有,则称向量组,线性无关,.,由此定义知：,（,1,）向量组 线性相关的充要条件为齐次线性方,程组（*）存在非零解；,（,2,）向量组 线性无关的充要条件为齐次线性方,程组（*）只有零解；,定理3.5,对于,m,维列向量组,其中,则 线性相关的充分必要条件是,:,以,为列向量的矩阵的秩小于向量的个数,n,.,对于,m,维行向量组,其中,则 线性相关的充分必要条件是,:,以,为列向量的矩阵的秩小于向量的个数,n,.,m,维列向量组 线性无关的充分必要条件是,:,以 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数,n,.,推论,1,设,n,个,n,维向量,(j=1,2,n),则,向量组 线性相关的充分必要条件是,或者说，上述向量 组,线性无关的充分必要条件是,推论,2,当向量组中所含的向量的个数大于向量的维数,时，此向量组必线性相关,.,定理,3,.7,向量组 线性相关,向量组中,至少有一,个向量可由其余,s-1,个向量线性表示,定理3.6,若向量组中有一部分向量（,部分组,）线性相关，,则整个向量组线性相关,.,推论,线性无关的向量组中任一部分组线性无关,.,定理3.8,若向量组,线性相关，而向量组,线性无关，则向量,可由向量组,线性表出，,且表示法唯一,.,定理3.9,设有两向量组,向量组,B,能由向量组,A,线性表示，若,s,t,，,则向量组,B,线性相关,.,推论,设向量组,B,能由向量组,A,线性表示，若向量组,B,线性无关，则,推论,设向量组,A,和,B,可以相互线性表示，若,A,和,B,都,线性无关，则,3,向量组的极大线性无关组,与秩,线性相关,.,若满足：,设 是一个向量组，它的某一个部分组,线性无关；,则称为,的一个,极大线性无关向量组，,简称,极大无关组,.,定义1,注,1,、,一个向量组的极大无关组不是唯一的,.,2,、,线性无关的向量组其极大无关组是其本身,.,一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同,.,一个向量组的任意两个极大无关组都等价,.,任何非零向量组必存在极大无关组,.,向量组与它的任一极大无关组等价,.,定义,3.9,向量组 的极大无关组所含向量个数，,称为,向量组的秩,记作：,定理,3.10,A,为,m,行,n,列矩阵，则,r(A)=r,的充分必要条件为：,A,的行,(,列,),秩为,r,.,向量组的极大线性无关组,与秩的求法,以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行,变换，将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则各非零行的首,非零元所在的列对应的向量即为所求向量组的极大线,性无关组,.,4,线性方程组解的判定方法,用初等行变换求解线性方,程组的方法.,定理,3.1,线性方程组,A,x,=b,有解的充分必要条件是,:,r(A b)=r(A).,且当,r(A b)=n,时有唯一解,;,当,r(A b)n,时有无穷多解,.,定理,3.2,齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是,:,r(A,)n,.,5,齐次线性方程组,解,的,性质,基础解系和通解的,求,法.,定义,3.10,如果 是齐次线性方程组,Ax=0,的解向量,组中的一个极大无关组，则称 为方程组,Ax=0,的一个,基础解系.,定理,3.13,如果齐次线性方程组,Ax=0,的系数矩阵,A,的,秩,r(A)=rn,则它的基础解系一定存在，且每个,基 础解系中恰好有,n-r,个解.,若,是方程组,Ax=0,的一个基础解系,则其,全部解为,(为任意常数),6,.,非齐次线性方程组解的结构及通解求,法,定理,3.14,如果 是非齐次线性方程组的一个解,是其,导出组的全部解,则 是非齐次线性方程组,的全部解.,由此定理可知,如果非齐次线性方程组有解,则只需求出,它的一个解 ,并求出其导出组的基础解系,则其全部解可以表示为,为任意常数),如果非齐次线性方程组的导出组仅有零解,则该非齐次,线性方程组只有一个解,如果其导出组有无穷多个解,则它也有无穷多个解.,(,本章学习要点,学习内容,向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线,性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向,量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系,线性方程组有解和无解的判定 齐次线性方程组的基础,解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性,方程组（导出组）的解之间的关系 非齐次线性方程组,的通解,学习要求,1了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则.,2理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、,线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的,有关性质及判别法.,3理解向量组的极大线性无关组的概念，掌握求向量,组的极大线性无关组的方法.,4了解向量组等价的概念，理解向量组的秩的概念，了,解矩阵秩与其行（列）向量组的秩之间的关系会求向,量组的秩.,5掌握线性方程组有解和无解的判定方法,掌握用初等,行变换求解线性方程组的方法.,6理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次,线性方程组的基础解系和通解的方法.,7.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念,并会,求其通解.,关于矩阵可逆的几个等价条件,1,n,阶矩阵,A,可逆,(,非奇异,),；,2,A,的行列式不为零，即,;,3,A,经过一系列初等变换可化为单位矩阵,I;,4,A,与单位矩阵,I,等价，即,;,5,A,可表示成若干初等矩阵的乘积,.,AI,6,A,为满秩，即,.,7,齐次线性方程组,Ax=0,只有零解.,8,线性方程组,Ax=b,只有唯一解.,9,A,的行向量组线性无关.,10,A,的行向量组的秩为,n,.,11,A,的 列向量组线性无关.,12,A,的列向量组的秩为,n,.,13,A,的行(列)向量组与标准单位向量组等价.,