图形折叠问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,图形折叠问题,在一张长方形,ABCD,纸片中，,AD,25cm,AB,20cm,点,E,，,F,分别为,CD,，,AB,的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，求,DAH,的大小及,EG,的长。,（浙教版九下,P17,题,6,）,如何解此题？,20,10,20,图形折叠问题既考查学生的动手能力，又考查了想象能力，往往与全等、相似、面积、对称性质联系在一起涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与代数、几何均有联系此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。,二 解决翻折问题,我们把翻折问题分为两类：,“依点翻折”和“依线翻折”,。,一,认识翻折问题,1.,关注,“两点一线”,在翻折过程中，我们应关注“两点”，即,对称点,，思考自问“哪两个点是对称点,?,”,；还应关注“一线”，即折线，也就是,对称轴,。这是解决问题的基础。,2.,联想到重合与相等,遇到这类问题，我们应马上联想到“重合的线段相等,重合的角相等”，这是解决问题的关键。,图形的翻折是图形的运动形式之一,依点翻折,例,1.,将矩形,ABCD,纸对折，设折痕为,EF,，再把,B,点折到折痕线,EF,上（见图点,B,），若,，则,EB=_,B,A,B,G,D,C,E,F,例,2,、,有一个数学活动，其具体操作过程是：,第一步：,对折矩形纸片,ABCD,，使,AD,与,BC,重合，得到折痕,EF,，把纸片展开（如图,1,）；,第二步：,再一次折叠纸片，使点,A,落在,EF,上，并使折痕经过点,B,，得到折痕,BM,，同时得到线段,BN,（如图,2,）,请解答以下问题：（,1,）如图,2,，若延长,MN,交,BC,于,P,，,BMP,是什么三角形？请证明你的结论,图,1,图,2,p,（,1,）,BMP,是等边三角形,证明：连结,AN,EF,垂直平分,AB,AN,BN,.,由折叠知,:,AB,BN,AN,AB,BN,ABN,为等边三角形,ABN,60 ,PBN,30,又,ABM,NBM,30,，,BNM,A,90,BPN,60,MBP,MBN,PBN,60,BMP,60,MBP,BMP,BPM,60,BMP,为等边三角形,例,2,、,（,2,）在图,2,中，若,AB,a,，,BC,b,，,a,、,b,满足什么关系，才能在矩形纸片,ABCD,上剪出符合（,1,）中结论的三角形纸片,BMP,？,图,1,图,2,p,a,b,（,3,）设矩形,ABCD,的边,AB,2,，,BC,4,，并建立如图,3,所示的直角坐标系,.,设直线,BM,/,为,y=,kx,，当,M,/,BC,60,时，求,k,的值,.,此时，将,ABM,沿,BM,折叠，点,A,是否落在,EF,上（,E,、,F,分别为,AB,、,CD,中点）？为什么？,例,2,、,第一步：,对折矩形纸片,ABCD,，使,AD,与,BC,重合，得到折痕,EF,，把纸片展开（如图,1,）；,第二步：,再一次折叠纸片，使点,A,落在,EF,上，并使折痕经过点,B,，得到折痕,BM,，同时得到线段,BN,（如图,2,）,图,1,图,2,图,3,A,/,H,2,例,3.,（,2007,年济宁市）如图，先把一矩形,ABCD,纸片对折，设折痕为,MN,，再把,B,点叠在折痕线上，得到,ABE.,过,B,点折纸片使,D,点叠在直线,AD,上，得折痕,PQ.,(1),求证：,PBEQAB,；,(2),你认为,PBE,和,BAE,相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；,(3),如果沿直线,EB,折叠纸片，点,A,是否能叠在直线,EC,上？为什么？,例,4.,如图，长方形,ABCD,沿,AE,折叠，使,D,落在边,BC,上的,F,点处，如果,BAF=60,，则,DAE=,A,B,C,D,F,E,根据折叠的规律：可证,ADE,AFE,从而,DAE=,FAE,=(90,-,60,),2,=,15,15,60,15,15,A,B,C,D,F,E,透过现象看本质,:,折叠,轴对称,实质,轴对称性质：,A,D,E,F,1.,图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等,.,2.,点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分,.,由折叠可得：,1.,AFE,ADE,2.,AE,是,DF,的中垂线,例,5.,如图，折叠长方形的一边,AD,，点,D,落在,BC,边的点,F,处，已知,AB=8cm,BC=10cm,求,EC,的长,分析：设,EC=x,则,EF=DE=8-x.,在,Rt,ABF,中，,AF=AD=10,，,AB=8,，,所以,BF=6,，,FC=4,Rt,POE,Rt,BPA,解得,EC=3(cm),A,B,C,D,F,E,8,10,10,6,4,3,例,6.,（,08,浙江宁波）如图,1,，把一张标准纸一次又一次对开，得到“,2,开”纸、“,4,开”纸、“,8,开”纸、“,16,开”纸,已知标准纸的短边长为,a.,（,1,）如图,2,，把这张标准纸对开得到的“,16,开”张纸按如下步骤折叠：,第一步 将矩形的短边,AB,与长边,AD,对齐折叠，点,B,落在,AD,上的点,B,处，铺平后得折痕,AE,；,第二步将长边,AD,与折痕,AE,对齐折叠，点,D,正好与点,E,重合，铺平后得折痕,AF,则,AD:AB,的值是,，,AD,AB,的长分别是,，,A,B,C,D,F,E,B,4,开,2,开,8,开,16,开,图,1,图,2,a,（,2,）“,2,开”纸、“,4,开”纸、“,8,开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值,相等，比值为,例,7.,（,2007,年台州市）如图，四边形,OABC,是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点,A,在,x,轴上，点,C,在,y,轴上，将边,BC,折叠，使点,B,落在边,OA,的点,D,处已知折痕 ，且,(1),判断,OCD,与,ADE,是否相似？请说明理由；,(2),求直线,CE,与,x,轴交点,P,的坐标；,P,6X,8X,3X,4X,10X,5X,5X,关键是找出对称点，并画出来。,依线翻折,例,8.,08,湖州,已知：在矩形,AOBC,中，,OB=4,OA=3,分别以,OB,OA,所在直线为,x,轴和,y,轴，建立如图所示的平面直角坐标系,F,是边,BC,上的一个动点（不与,B,C,重合），过,F,点的反比例函数 的图象与,AC,边交于点,E,请探索：是否存在这样的点,F,，使得将,CEF,沿,EF,对折后，,C,点恰好落在,OB,上？若存在，求出点,F,的坐标；若不存在，请说明理由,（,3,）,(4,),3,例,9.,在平面直角坐标系中，正方形,ABCO,的边长为,6,，两边,OA,、,OC,分别落在坐标轴上，点,E,在射线,BC,上，且,BE=2CE,，将,ABE,沿直线,AE,翻转，点,B,落在点,B,1,处。,（,1,）请在图中作出点,B,1,及翻转后图形,.,0,C,B,A,y,x,0,C,B,A,y,E,B,1,（,2,）对于图,1,，若,E,在,BC,上，求点,B,1,的坐标。,两种情况,F,利用相似，列出方程求解,E,0,C,B,A,y,B,1,x,图,1,图,2,6,4,a,6-a,4,6,例,10.,（,07,湖北荆门）,如图,1,，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片,OABC,，已知,O,(0,，,0),，,A,(4,，,0),，,C,(0,，,3),，点,P,是,OA,边上的动点,(,与点,O,、,A,不重合,),现将,PAB,沿,PB,翻折，得到,PDB,；再在,OC,边上选取适当的点,E,，将,POE,沿,PE,翻折，得到,PFE,，并使直线,PD,、,PF,重合,(1),设,P,(,x,，,0),，,E,(0,，,y,),，求,y,关于,x,的函数关系式，并求,y,的最大值；,图,1,解：,(1),由已知,PB,平分,APD,，,PE,平分,OPF,，且,PD,、,PF,重合，则,BPE,=90,OPE,APB,=90,又,APB,ABP,=90,，,OPE,=,PBA,Rt,POE,Rt,BPA,y,=,(0,x,4),即,x,y,4-x,3,(2),如图,2,，若翻折后点,D,落在,BC,边上，求过点,P,、,B,、,E,的抛物线的函数关系式；,图,2,(2),由已知，,PAB,、,POE,均为等腰直角三角形，可得,P,(1,，,0),，,E,(0,，,1),，,B,(4,，,3),故该抛物线上存在两点,Q,(4,，,3),、,(5,，,6),满足条件,则,y,=,例,11.,直线,分别与,x,轴、,y,轴交于,B,、,A,两点,.,把,AOB,以直线,AB,为轴翻折，点,O,落在平面上的点,C,处，再把,BOC,以直线,BC,为轴翻折得,BCE,，求点,E,的坐标,.,由（,1,）知,OA,1,，,OB,，,OBA,30.ABC,和,ABO,关于,AB,成轴对称，,BC,BO,，,CBA=OBA,30.CBO,60.,过点,C,作,CMx,轴于,M,，如图，则在,RtBCM,中，,.,图形翻折实际上是轴对称变换，,变换前后的对应线段相等、对应角相等。,常常与角平分线、中线、线段中垂线、等腰三角形的高相联系。解决翻折的动态几何问题关键是结合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有关知识，全面寻找图形运动过程中的不变量。,A,B,C,D,例,12.,（,08,山东东营）,：,将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形将纸片展开，得到的图形是（）,C,例,13,将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（,）,C,例,14.,如图,有一矩形纸片,ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使,AD,边落在,AB,边上，折痕为,AE,，再将,AED,以,DE,为折痕向右折叠，,AE,与,BC,交于点,F,，则,CEF,的面积为（）,E,D,C,B,A,D,C,B,A,F,E,D,C,B,A,A,4 B,6 C,8D,10,C,图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验：,1,图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；,2,图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；,3,解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而 进一步发现其中的数量关系；,4,充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。,谢谢大家，欢迎批评指正！,