谓词逻辑(PredicateLog)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 谓词逻辑Predicate Logic,前言,苏格拉底三段论(Socrates syllogism),：,所有人都是要死的。,苏格拉底是人。,所以苏格拉底是要死的。,（Socrates,古希腊哲学家,公元前470前399）,(孔子,中国伟大哲学家,公元前551前479),前言,在命题逻辑中，如果,设：P：凡人都是要死的；,Q：苏格拉底是人；,R：苏格拉底是要死的。,前提：P,Q，结论：R。,则(PQ)R表示上述推理，,这个命题公式不是重言式。,前言,在谓词逻辑中，如果,设：H(x)：x是人。,M(x)：x是要死的。,a：苏格拉底。,前提：(,x)(H(x)M(x)，H(a),结论：M(a),(,x)(H(x)M(x)H(a),M(a),前言,主语 谓语,客（个）体 谓词,客体,可以独立存在，它可以是具体的，也可以是抽象的。,而用来描述客体的性质或关系的即是,谓词,。,为了刻画命题内部的逻辑结构，就需要研究谓词逻辑（Predicate Logic）。,前言,比如：,P：张三是大学生,Q：李四是大学生,以上这些命题都具备有一个共同的特征就是：x是大学生。,P(x)就可以代表这一类的命题。,P(x)：x是大学生，a：张三，b：李四，,P(a)：张三是大学生,P(b)：李四是大学生,2-1 谓词的概念与表示,2-1.1 谓词的概念,定义1：谓词（predicate）,在命题中，用以刻画客体词的性质或客体词之间关系的词即是谓词，谓词相当于命题中的谓语部分。,例如：,他是三好学生,“他”是个体，“是三好学生”是表示个体性质的谓词,5,大于,3,“5”,和“,3”,是个体，“大于”是表示个体之间关系的谓词,2-1.2 谓词的表示：,用大写英文字母 A,B,C,D,表示谓词，用小写字母表示客体。,前面的例子可表示为：,(1)A(x):x是三好学生，h:他，,A(h):他是三好学生,(2)G(x,y):x大于y，,G(5,3):5大于3,2-1.3如何利用谓词表达命题：,用谓词表达命题必须包括谓词字母和客体两个部分。比如：,A(x)可以表示“x是A”类型的命题，表达了客体的性质，称为一元谓词。,B(x,y)可以表示“x小于y”类型的命题，表达了客体之间的关系，称为二元谓词，。,L(x,y,z)可以表示“点x在y与z之间”类型的命题，表达了客体之间的关系，称为三元谓词。,用P(x,1,x,2,x,n,)表示n元谓词，在这里n个客体变元的顺序不能随意改动。,2-2 命题函数与量词,2-2.1 命题函数,一般来说，当谓词P给定，x,1,x,2,x,n,是客体变元，P(x,1,x,2,x,n,)不是一个命题，因为他的真值无法确定，要想使它成为命题，要用n个客体常项代替n个客体变元。P(x,1,x,2,x,n,)就是命题函数。,比如L(x,y)表示“x小于y”，那么L(2,3)表示了一个真命题“2小于3”。而 L(5,1)表示了一个假命题“5小于1”,2-2.1 命题函数,定义1：简单命题函数(simple propositional function)：,由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数。比如：A(x)，B(x,y)，L(x,y,z),简单命题函数不是命题，只有当变元x,y,z等取特定的客体才确定了一个命题。,对于n元谓词，当n=0时，称为0元谓词，它本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一个特殊情况。,2-2.1 命题函数,比如：L(x,y)表示“x小于y”是二元谓词，L(x,3)表示“x小于3”是一元谓词，L(2,3)表示“2小于3”是0元谓词。,因此可以将命题看成n元谓词的一个特殊情况。,0元谓词都是命题，命题逻辑中的简单命题都可以用0元谓词表示。,2-2.1 命题函数,定义2：复合命题函数（compound propositional function）：,由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式。,命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中含义完全相同。,举例说明：P56例，例,2-2.1 命题函数,定义3：谓词填式,单独一个谓词不是完整的命题，把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式。,例如：P(x)表示x3，则P(1)、P(2)、P(5)分别表示1大于3，2大于3，5大于3，P(1)、P(2)、P(5)即是谓词填式。,2-2.1 命题函数,定义4：谓词表达式,简单命题函数与逻辑联结词组合而成。,示例分析 P59(1)a),b),c),设,W(x):x,是工人，,z:,小张，则原命题表示为：,W(z),设,S(x):x,是田径运动员，,B(x):x,是球类运动员，,h:,他，则原命题表示为：,S(h),B(h),设,C(x):x,是聪明的，,B(x):x,是美丽的，,a:,小莉，则原命题表示为：,C(a),B(a),注意：,命题函数不是一个命题，只有客体变元取特定客体时，才能成为一个命题。但是客体变元在哪些范围取特定的值，对命题函数以下两方面有极大影响：,(1)命题函数是否能成为一个命题；,(2)命题的真值是真还是假。,2-2.1 命题函数,个体域(universe of discourse)：,在命题函数中，命题变元的论述范围称为个体域。,全总个体域：,个体域可以是有限的，也可以是无限的，把各种个体域综合在一起，作为论述范围的域，称为全总个体域。,2-2.2 量词,例题：,符号化以下命题,所有人都要死去。,有的人的年龄超过百岁。,以上给出的命题，除了有个体词和谓词以外，还有表示数量的词，称表示数量的词为量词。量词有两种：,全称量词,(,universal quantifier),存在量词,(,existential quantifier),2-2.2 量词,定义1全称量词(universal quantifier),用符号“,”表示，“,x”表示对个体域里的所有个体。(,x)P(x)表示对个体域里的所有个体都有属性P。,表达“对所有的”，“每一个”，“对任一个”，“凡”，“一切”等词。,The universal quantifier,an upside-down A,is used to build compound propositions of the form(,x)P(x),which we read as“for all x,P(x).”Other translations of,are“for each,”“for every,”“for any.”The compound proposition(,x)P(x)is assigned truth value as follows:,(,x)P(x)is true if P(x)is true for every x in U;otherwise(,x)P(x)is false.,2-2.2 量词,定义2存在量词(existential quantifier),用符号“,”表示。,x,表示存在个体域里的个体。,(,x)P(x),表示存在个体域里的个体具有性质P。,符号“,”称为存在量词，用以表达“某个”，“存在一些”，“至少有一个”，“对于一些”等词。,The existential quantifier,a backward E is used to form propositions like（,x）P(x),which we read as“there exists an x such that P(x),”“there is an x such that P(x),”or“for some x,P(x).”The compound proposition（,x）P(x)has these truth values:,（,x）P(x)is true if P(x)is true for at least one x in U;,（,x）P(x)is false if P(x)is false for every x in U.,2-2.2 量词,唯一存在量词（unique quantifier）：,“恰好存在一个”，用符号“,!,”表示。,2-2.2 量词,现在对以上两个命题进行符号化，在进行符号化之前必须确定个体域。,第一种情况,个体域D为人类集合。,设：F(x)：x是要死的。,G(x)：x活百岁以上。,则有(,x)F(x),和 (,x)G(x),这两个命题都是真命题,2-2.2 量词,第二种情况,个体域D为全总个体域。,不能符号化为(,x)F(x)和(,x)G(x)，因为:,(,x)F(x)表示宇宙间一切事物都要死的，这与原命题不符。,(,x)G(x)表示宇宙间一切事物中存在百岁以上，这与原命题不符。,2-2.2 量词,因此必须引入一个新的谓词，将人分离出来。在全总个体域的情况下，以上两个命题叙述如下：,(1)对于所有个体而言，如果它是人，则它要死去。,(2)存在着个体，它是人并且活过百岁以上。,于是，再符号化时必须引入一个新的谓词 M(x)：x是人。,称这个谓词为,特性谓词,。,2-2.2 量词,定义：特性谓词,在讨论带有量词的命题函数时，必须确定其个体域，为了方便，可使用全总个体域。限定客体变元变化范围的谓词，称作特性谓词。,利用特性谓词，对以上两个命题进行符号化,(1)(,x)(M(x)F(x),(2)(,x)(M(x)G(x),使用量词时应注意的问题：,在讨论有量词的命题函数时如果事先没有给出个体域，那么都应以全总个体域为个体域。,对全称量词，特性谓词常做蕴含的前件。对存在量词，特性谓词常做合取项。,举例说明：,例1,“有些人是要死的”.,解1：,采用全体人作为个体域.,设:G(x):x是要死的.,原命题符号化成:(,x)G(x),解2：,采用全总个体域.,设:M(x):x是人;G(x):x是要死的.,原命题符号化成:(,x)(M(x)G(x),例2,“凡人都是要死的”.,解1:,采用全体人作为个体域.,设:G(x):x是要死的.,原命题符号化成:(,x)G(x),解2:,采用全总个体域.,设:M(x):x是人;G(x):x是要死的.,原命题符号化成:(,x)(M(x)G(x),例3,:“存在最小的自然数”。,解1:,采用全体自然数作为个体域.,设:G(x,y):xy;,原命题符号化成:(,x)(,y)G(x,y),注意量词顺序:,(,y)(,x)G(x,y):“没有最小的自然数”.,解2:,设:F(x):x是自然数;G(x,y):xy;,原命题符号化成:,(,x)(F(x)(,y)(F(y)G(x,y),例4:,“不存在最大的自然数”。,解:,设:F(x):x是自然数;G(x,y):x,y;,原命题符号化成:,(,x)(F(x),(,y)(F(y),G(x,y),或:,(,x)(F(x),(,y)(F(y),G(x,y),例5:,“火车比汽车快”。,解:,设:F(x):x是火车;G(x):x是汽车;,H(x,y):x比y快,原命题符号化成:,(,x)(F(x),(,y)(G(y),H(x,y),或:,(,x)(,y)(F(x),G(y),H(x,y),例6,:“有的汽车比火车快”。,解:,设:F(x):x是汽车;G(x):x是火车;,H(x,y):x比y快,原命题符号化成:,(,x)(F(x),(,y)(G(y),H(x,y),或:,(,x)(,y)(F(x),G(y),H(x,y),例7,:“有些病人相信所有的医生”。,解:,设:F(x):x是病人;G(x):x是医生;,H(x,y):x相信y,原命题符号化成:,(,x)(F(x),(,y)(G(y),H(x,y),例8,:“存在唯一的对象满足性质P”。,解:,设:P(x):x满足性质P,原命题符号化成:,(,!x)P(x),或:,设:P(x):x满足性质P;,E(x,y):x和y是同一个个体,原命题符号化成:,(,x)(P(x),(,y)(P(y),E(x,y),2-3