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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第七节 方向导数与梯度,一、方向导数,二、梯度,一、问题的提出,一块长方形的金属板，受热,产生如图温度分布场.,设一个小虫在板中逃生至某,问该虫应沿什么方向爬行，,才能最快到达凉快的地点？,处，,问题的,实质,：,应沿由热变冷变化最剧烈的,方向爬行,需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率，,从而确定出温度下降的最快方向,引入两个概念：,方向导数,和,梯度,方向导数问题,梯度问题,当 沿着 趋于 时,，,是否存在？,记为,的方向导数为,同理,沿,y,轴正向,的方向导数分别为,在点,沿着,轴正向,若偏导 存在,则,方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限.,原因：,故有方向导数,两边同除以,得到,解,由方向导数的计算公式知,（1）最大值;（2）最小值；（3）等于零？,例2,求函数,在点(1,1)沿与,x,轴方向夹角为,的方向射线,的方向导数.,并问在怎样的方向上此方向导数有,推广,:,三元函数方向导数的定义,对于三元函数,它在空间一点,沿着方向,l,的方向导数，,可定义为,其中,）,方向导数的计算公式,解,令,故,方向余弦为,求函数,在此处沿方向,的方向导数.,是曲面,例3 设,在点,处的指向外侧的法向量,故,三、梯度,结论,当,不为零时，,x,轴到梯度的转角的正切为,函数在某点的梯度是这样一个向量，,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值,梯度的模为,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截,得曲线,它,在,xoy,面,上投影方程：,等高线,称为,等值线,.,等值线,几何上，称为,等高线,.,等值线,上任一点处的一个法向量为,表明：梯度方向与等值线的一个法线方向相同，,它的指向为从数值较低的等值线指向较高的等,梯度的模就等于函数在这个法线方向的,方向导数.,值线，,问题,：,上山时，如何选择最快的方向？,计算方法课程中的一种计算策略：,“瞎子下山法”,解,由梯度计算公式得,故,则在,处梯度为,例4,求函数,在点,处的梯度，并问在何处梯度为零？,一、,方向导数,（注意方向导数与一般所说偏导数的,区别）,小 结,1.定义,2.计算公式,二、梯度,（注意梯度是一个,向量,）,定义,方向：,x,轴到梯度的转角的正切,模,：,思考题,问函数在某点处沿什么方向的方向导数最大？,答：梯度方向,答：,作 业,P.51,习题,8-7,1;4;7;8;10.,练 习 题,练习题答案,
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