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,通信原理(第6版),单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,通信原理,1,通信原理,第12章 正交编码与伪随机序列,2,第12章 正交编码与伪随机序列,引言,正交编码与伪随机序列在数字通信技术中都是十分重要的。正交编码不仅可以用作纠错编码，还可以用来实现码分多址通信，目前已经广泛用于蜂窝网中。伪随机序列在误码率测量、时延测量、扩频通信、密码及分离多径等方面都有着十分广泛的应用。,3,第12章 正交编码与伪随机序列,12.2 伪随机序列,一、基本概念,什么是,伪随机噪声,？,具有类似于随机噪声的某些统计特性，同时又能够,重复产生,的波形,。,优点：具有随机噪声的优点，又避免了随机噪声的缺点,如何产生伪随机噪声？,由,周期性数字序列,经过滤波等处理后得出。,m,序列：,最长线性反馈移位寄存器序列,的简称,。它是由带线性反馈的移存器产生的,周期最长,的一种序列。,4,第12章 正交编码与伪随机序列,例：下图中示出一个4级线性反馈移存器,移位后，由,a,3,和,a,0,模,2,相加产生新的输入。,移位,15,次后又回到初始状态,(1,0,0,0),。,若初始状态为全0，则移位后得到的仍为全0状态,，,应避免,这种情况。,任何,4,级反馈移存器产生的序列的周期最长为,15,。,5,第12章 正交编码与伪随机序列,由上例可见，一般来说，,一个,n,级线性反馈移存器可能产生的最长周期等于,(2,n,-1),。,反馈电路如何连接才能使移存器产生的序列最长，这就是本节将要讨论的主题。,我们常常希望用尽可能少的级数产生尽可能长的序列。我们,将这种最长的序列称为最长线性反馈移存器序列，简称,m,序列,。,n,级反馈移存器最多有2,n,种状态，去掉全“0”状态,6,第12章 正交编码与伪随机序列,二、一般的线性反馈移存器原理方框图,图中各级移存器的状态用,a,i,表示，,a,i,=0或1，,i,为整数。,反馈线的连接状态用,c,i,表示，,c,i,1表示此线接通（即参加反馈）；,c,i,0表示此线断开。,反馈线的连接状态不同，就可能改变此移存器输出序列的周期,p,。,7,第12章 正交编码与伪随机序列,三、基本的关系式,递推方程,因此，一般说来，对于任意一个输入,a,k,，有,称为,递推方程,它给出移位输入,a,k,与移位前各级状态的关系,。按照递推方程计算，可以用软件产生,m,序列，不必须用硬件电路实现。,默认为模2和,8,第12章 正交编码与伪随机序列,特征方程（特征多项式）,c,i,的取值决定了移存器的反馈连接和序列的结构,，故,c,i,是一个很重要的参量。现在将它用下列方程表示：,称为,特征方程,式中,x,i,仅指明其系数（1或0）代表,c,i,的值，,x,本身的取值并无实际意义，也不需要去计算,x,的值。例如，若特征方程为,则它仅表示,x,0,，,x,1,和,x,4,的系数,c,0,c,1,c,4,1，其余的,c,i,为0，即,c,2,c,3,0。,9,第12章 正交编码与伪随机序列,母函数,将反馈移存器的,输出序列,a,k,用代数方程表示为,上式称为,母函数,。,10,第12章 正交编码与伪随机序列,递推方程、特征方程和母函数就是我们要建立的3个基本关系式,。下面的几个定理将给出它们与线性反馈移存器及其产生的序列之间的关系。,递推方程,特征方程,母函数,11,四、重要定理：,第12章 正交编码与伪随机序列,【定理,12.1,】,式中，,h,(,x,),为次数低于,f,(,x,),的次数的多项式。,递推方程,【证明】,12,第12章 正交编码与伪随机序列,移项整理后得：,因为,c,0,1,，即 ，代入上式得：,令,得：,13,第12章 正交编码与伪随机序列,在 中，,若,a,-1,=1,，则,h,(,x,),的最高次项为,x,n,-1,；若,a,-1,=,0,，则最高项次数,0），,f,2,(,x,)的次数为,n,2,（,n,2,0），且有,令 ，则上式可变为：,16,第12章 正交编码与伪随机序列,上式表明，输出序列,G,(,x,)可以看成是两个序列,G,1,(,x,)和,G,2,(,x,)之和，其中,G,1,(,x,)是由特征多项式,f,1,(,x,)产生的输出序列，,G,2,(,x,)是由特征多项式,f,2,(,x,)产生的输出序列。,由定理12.2可知，,G,1,(,x,)的周期为,G,2,(,x,)的周期为,所以，,G,(,x,)的周期,p,应是,p,1,和,p,2,的最小公倍数,，即：,17,上式表明，,p,一定小于最长可能周期(2,n,-1),若,f,(,x,)可以分解成两个相同的因子，即上面的,f,1,(,x,),f,2,(,x,)，同样可以证明,p,2,n,1。所以，若,f,(,x,)能分解因子，必定有,p,2,n,1。即若想得到最长可能周期,p,=2,n,1，则,f,(,x,)应不能分解因子（即既约多项式）。,第12章 正交编码与伪随机序列,18,第12章 正交编码与伪随机序列,【定理12.4】一个,n,级移存器的特征多项式,f,(,x,)若为既约的，则由其产生的序列,A,=,a,k,的周期等于使,f,(,x,)能整除的(,x,p,+1)中最小正整数,p,若序列,A,具有周期,p,，则有,【证明】,19,第12章 正交编码与伪随机序列,上式移项整理后，变成,二进制模2和,由定理12.1可知，,h,(,x,)的次数比,f,(,x,)的低，而且现已假定,f,(,x,)为既约的，所以上式表明(,x,p,+1)必定能被,f,(,x,)整除,20,第12章 正交编码与伪随机序列,上面证明了若序列,A,具有周期,p,，则(,x,p,+1)必能被,f,(,x,)整除。另一方面，若,f,(,x,)能整除(,x,p,+1)，令其商为,又因为在,f,(,x,)为既约的条件下，周期,p,与初始状态无关，现在考虑初始状态,a,-1,a,-2,a,-,n,+1,0，,a,-,n,1，由式,可知，此时有,h,(,x,)=1。,则：,21,第12章 正交编码与伪随机序列,若,A,以,p,的某个因子,p,1,为周期，,p,1,p,，则由式,已经证明 必能被,f,(,x,)整除。,所以，,序列,A,之周期等于使,f,(,x,)能整除的中最小正整数,p,。,两者重复，说明输出序列,A,以,p,或,p,的某个因子为周期。,22,第12章 正交编码与伪随机序列,五、本原多项式,定义：若一个,n,次多项式,f,(,x,)满足下列条件：,f,(,x,),为既约的；,f,(,x,),可整除,(,x,m,+1),，,m,=,2,n,1,；,f,(,x,),除不尽,(,x,q,+1),，,q,m,则称,f,(,x,)为本原多项式,由定理12.4可知一个线性反馈移存器能产生,m,序列的,充要条件,为：,反馈移存器的特征多项式为本原多项式。,23,第12章 正交编码与伪随机序列,【例】要求用一个4级反馈移存器产生,m,序列，试求其特征多项式。,解：,所以由本征多项式条件,可知,其特征多项式,f,(,x,)应是(,x,15,+1)的一个既约因子。,4级移存器产生的,m,序列的长度为,m,=2,n,1=15。,分解(,x,15,+1)可得：,f,(,x,)不仅应为(,x,15,+1)的一个既约因子，而且还应该是一个4次本原多项式。上式表明，(,x,15,+1)分解为5个既约因子，其中3个是4次多项式。,24,第12章 正交编码与伪随机序列,其中第3个4次多项式不是本原多项式，因为,上式表明，(,x,4,+,x,3,+,x,2,+,x,+1)不仅可整除(,x,15,+1)，而且还可以整除(,x,5,+1)，不满足本原多项式条件,，,故它不是本原的。,所以用4级反馈移存器产生m序列的特征多项式可以是：,和 。,互为逆多项式（即10011与11001互为逆码）,本原多项式的逆多项式也是本原多项式,25,第12章 正交编码与伪随机序列,六、本原多项式表,由上述可见，只要找到了本原多项式，我们就能由它构成,m,序列产生器。但是寻找本原多项式并不是很简单的。经过前人大量的计算，已将常用本原多项式列成表备查。在下表中列出了部分已经找到的本原多项式。,26,第12章 正交编码与伪随机序列,n,本原多项式,n,本原多项式,代数式,8进制表示法,代数式,8进制表示法,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,x,2,+,x,+1,x,3,+,x,+1,x,4,+,x,+1,x,5,+,x,2,+1,x,6,+,x,+1,x,7,+,x,3,+1,x,8,+,x,4,+,x,3,+,x,2,+1,x,9,+,x,4,+1,x,10,+,x,3,+1,x,11,+,x,2,+1,x,12,+,x,6,+,x,4,+,x,+1,x,13,+,x,4,+,x,3,+,x,+1,7,13,23,45,103,211,435,1021,2011,4005,10123,20033,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,x,14,+,x,10,+,x,6,+,x,+1,x,15,+,x,+1,x,16,+,x,12,+,x,3,+,x,+1,x,17,+,x,3,+1,x,18,+,x,7,+1,x,19,+,x,5,+,x,2,+,x,+1,x,20,+,x,3,+1,x,21,+,x,2,+1,x,22,+,x,+1,x,23,+,x,5,+1,x,24,+,x,7,+,x,2,+,x,+1,x,25,+,x,3,+1,42103,100003,210013,400011,1000201,2000047,4000011,10000005,20000003,40000041,100000207,200000011,每3位,c,i,组成一位8进制,c,5,c,4,c,3,=001,c,2,c,1,c,0,=011,27,第12章 正交编码与伪随机序列,在制作,m,序列产生器时，移存器反馈线（及模2加法电路）的数目直接决定于本原多项式的项数。为了使,m,序列产生器的组成尽量简单，我们希望使用项数最少的那些本原多项式。,由于本原多项式的逆多项式也是本原多项式，所以在表中每一个本原多项式可以组成两种,m,序列产生器。,28,第12章 正交编码与伪随机序列,七、,m,序列的性质,均衡性,：,在,m,序列的一个周期中，“1”和“0”的数目基本相等。准确地说，,“1”的个数比“0”的个数多一个,。,m,序列的周期为,m,=2,n,1，则此序列可以表示为：,【证明】,由于此序列中任何相继的,n,位都是产生此序列的,n,级移存器的一个状态，而且此移存器共有,m,个不同状态，所以可以把此移存器的这些相继状态列表，如下表所示：,29,第12章 正交编码与伪随机序列,a,n-1,a,n,a,n+i-1,a,n-2,a,n-1,a,n-2,a,n-1,a,n+i-2,a,n-3,a,n-2,a,2,a,3,a,i+2,a,1,a,2,a,1,a,2,a,i+1,a,0,a,1,a,0,a,1,a,i,a,m-1,a,0,由此表直接看出，,最后一列的元素按自上而下排列次序就构成上式中的,m,序列,。自然，其他各列也构成同样的,m,序列，只是初始相位不同。,为了便于理解，以4级反馈移存器为例说明。,30,第12章 正交编码与伪随机序列,m,个不同状态对应,1,至,(2,n,1),间的,m,个不同的,2,进制数字。,由于,1,和,m,=(2,n,1),都是奇数，故,1,至,(2,n,1),间这,m,个整数中奇数比偶数多,1,个。,在,2,进制中，奇数的末位必为“,1”,，偶数的末位必为“,0”,，而此末位数字就是表中最后一列。故表中最右列的相继,m,个二进数字中“,1”,比“,0”,多一个。,表中最后一列就是,m,序列，所以,m,序列中“,1”,比“,0”,多一个。,31,第12章 正交编码与伪随机序列,游程分布,我们把一个序列中取值相同的那些相
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