弹性力学预备知识

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 数学预备知识,1-1 微分方程的一般概念,1-2 一阶常微分方程的基本解解法,1-3 高阶线性常微分方程解法,1-4 变分法的基本概念,1-5 矩阵代数的基础知识,1-6 函数的级数展开,凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫,微分方程,.是联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶,根据组成方程的未知函数个数,微分的性质,幂次等,可分为,常微分方程、偏常微分方程、线性与非线性微分方程以及微分方程组，等等,一、微分方程的定义及分类,11 微分方程的一般概念,二阶常系数非其次微分方程.,一阶非线性常微分方程.,n阶常微分方程.,偏微分方程.,一阶常微分方程,常微分方程组,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的解.设 在区间 I 上有 n 阶导数，使得,二、微分方程的求解,则称 为方程 的解,微分方程的解概念,(1),通解,:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2),特解,:确定了通解中任意常数以后的解。,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。,（5）,初值问题,:求微分方程满足初始条件的解的问题,（4）,初始条件,:用来确定任意常数的条件,（3）,解的图象,:微分方程的积分曲线(族),解,所求特解为,一、可分离变量的微分方程,的方程为可分离变量的微分方程,.,解法,为微分方程的解。上例方程的解为,分离变量法,12 一阶常微分方程的解法,形如,例如,二、齐次方程,的微分方程称为,齐次方程,.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义：,1、一阶线性微分方程的标准形式:,齐次方程,三、一阶线性微分方程,非齐次方程,齐次方程的通解为,1）线性齐次方程,2、一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2）线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,常数变易法,实质:,未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,例:,如图所示，平行与,y,轴的动直线被曲线 与,截下的线段,PQ,之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线,.,两边求导得,解:,解此微分方程,所求曲线为,一、定义,n,阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数线性方程的标准形式,33 高阶常系数线性微分方程,(齐次),(非齐次),二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法,将其代入上述齐次方程,得,从而得到特征值,特征方程,讨论:,两个线性无关的特解,齐次方程的通解为,特征根为,(a)有两个不相等的实根,(a)有两个相等的实根,特征根为,一特解为,得齐次方程的通解为,另一特解设为,代入原方程可求得,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;,（2）求出特征根;,（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,特征根的情况,通解的表达式,特征方程,齐次方程,三、n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,结论:,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,。,n,次代数方程有,n,个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.,特征根为,故所求通解为,特征方程为,解：,特征方程为,故所求通解为,例2,解得,例1,解：,四、二阶常系数非齐次线性微分方程,对应齐次方程,通解结构,非齐次线性方程,设非齐方程特解为,代入原方程,四、二阶常系数非齐次线性微分方程,讨论：,综上讨论可设,注意,上述结论可推广到,n,阶常系数非齐,次线性微分方程（,k,是重根次数）,特别地,14 变分原理,泛函的定义,自变量是具有一定条件的函数，因变量是普通变量的函数关系定义为泛函。即,泛函是函数的函数,。记为:,以积分形式构筑泛函关系,若,I,y,是以 定义域的泛函，其中 是在区间a，b上的分段连续的函数集，则,I,y,可表示为,一、泛函的基本知识,例如：,A,、,B,间任一曲线长度为,a,b,A,B,c,d,x,y,o,泛函一般形式,或,二、函数的变分,定义,函数,y,的微小增量,被称为函数,y,(,x,),的变分,力学意义,o,x,y,A,B,C,D,结构构件的虚位移,其中,AB,为梁的挠度曲线,CD为该梁发生虚位移后的一段挠度曲线,与导数关系,导数的变分等于变分的导数,三、泛函的变分,因而有,泛函,I,y(x),的变分可由,泛函,的变分获得,而,的变分可由由泰勒级数展开法则推导获得,即,四、泛函的极值问题变分问题,如同函数取得极值所要满足的条件一样,泛函取到极值的条件为,(,)式即为求解极值曲线的微分方程.,(),例,a,b,A,B,c,d,x,y,o,求图中,AB,曲线为最短时的函数,于是,并且,由极值条件得,从而得,可见最短为一条直线，其中的C,1,和C,2,可由边界条件求得,1、二阶行列式的概念,设有数表,a,11,称,数,a,11,a,22,a,12,a,21,为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：,(1),副对角线,主对角线,定义,a,12,a,21,a,22,(),(),一、,n,阶行列式的定义,1-5 矩阵代数的基础知识,引进记号：,称为对应于数表(3)的三阶行列式,2、三阶行列式,定义,设有数表,(3),(+),(+),(+),(),(),(),主对角线,副对角线,例如：,n,阶行列式,定义,3、n,阶行列式的定义,D,的展开式为:,或者,定理,(克莱姆法则),(1),若系数行列式,设线性方程组,二、克莱姆法则,其中,D,i,(,i,=1,2,n,)是用常数项,b,1,b,2,;,b,n,代替,D,中第,i,列各元素而得到的,n,阶行列式，即：,(2),则方程组(1)有,唯一解,，且解可表示为：,(,i,=1,2,n,),例,解线性方程组,解：,方程组的系数行列式,所以方程组有唯一解。,又：,所以：,注：,在方程组中，若所有的常数项,b,1,=,b,2,=,b,n,=0，,则方程组称为,n,元齐次线性方程组,。,(3),显然,有零解,x,1,=,x,2,=,x,n,=0,结论1：,若齐次线性方程组(3)的系数行列式,D,0，,则方程组只有零解。,一般解,结论2：,若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行列式 D=0。,特解,由,m,n,个数,a,ij,(,i,=1,2,m,;,j,=1,2,n,),有次序地排成,m,行(横排),n,列(竖排)的数表,称为一个,m,行,n,列的,矩阵,，简记,(,a,ij,),m,n,，,通常用大写字母,A,，,B,，,C,，,表示，,m,行,n,列的矩阵,A,也记为,A,m,n,，,构成矩阵,A,的每个数称为矩阵,A,的,元素,，而,a,ij,表示矩阵第,i,行、第,j,列的元素。,1、矩阵的定义,三、矩阵知识,注意：,有时也可以通过行矩阵的转置表示列矩阵,(2)两个矩阵,A,、,B,，,若行数、列数都相等，则称,A,、,B,是,同型,的。,-,行矩阵,-,列矩阵,(1)只有一行或一列的矩阵,称为,行矩阵,或,列矩阵,有时也称为,向量,如:,2、矩阵的运算,(1)定义:,设,矩阵,A,=(,a,ij,),m,n,B,=(,b,ij,),m,n,则矩阵,称为矩阵,A,与,B,的和，记作,C,=,A,+,B,1）矩阵的加法,C,=(,c,ij,),m,n,=(,a,ij,+b,ij,),m,n,(2),性质:,设,A,，,B,，,C,，O,都是,m,n,矩阵,则有,(,1),A,+,B,=,B,+,A,(2)(,A,+,B,)+,C,=,A,+(,B,+,C,),(3),A,+O=O+,A,=,A,2）矩阵的减法,(1)负矩阵,设,A,=(,a,ij,),m,n,则称,(,a,ij,),m,n,为,A,的负矩阵，简记,A,显然,A,+(,A,)=O,(,A,)=A,(2)减法：,设,A,=(,a,ij,),m,n,B,=(,b,ij,),mn,A,B,为,A,B,=,A,+(,B,)=(,a,ij,b,ij,),m,n,定义:设,是常数，,A,=(,a,ij,),m,n,，则矩阵,(,a,ij,),m,n,称为,数,与矩阵,A,的乘积，,计为,A,即,3）,数与矩阵的乘法,设,A,、,B,为,m,n,矩阵，,、,u,为常数,(,1)(,u,),A,=,(,u A,)=,u,(,A,);,(2),(,A,+,B,)=,A,+,B,(3),(,+,u,),A,=,A,+,u A,(4),1,A,=,A,，,(,1),A=A,(2)性质,（1）定义：,设,A,=(,a,ij,),m,s,B,=(,b,ij,),s,n,则,A,与,B,的乘积,C,其中,C,ij,等于,A,的第,i,行与,B,的第,j,列对应元素的乘积之和,(,i,=1,2,m,;,j,=1,2,n,),C,AB,是,m,n,矩阵，,C,=(,c,ij,),m,n,4）,矩阵的乘法,例,设,试证：(1),AB,=0,；(2),AC,=,AD,证：,(1),(2),故有,AC,AD,(1)(,A B,),C,=,A,(,B C,),(2),A,(,B,+,C,)=,A B,+,A C,(3)(,B,+,C,),A,=,B A,+,C A,(4),(,A B,)=(,A,),B,=,A,(,B,)(,其中,为常数),(2)性质,5）线性方程组的矩阵表示,设方程组为,可表示为,简记为,AX,B。,A,称为由线性方程组的,系数矩阵。,(1)定义:,将矩阵,A,m,n,的,行换成同序数的列，列换成同序数的行,所得的,n,m,矩阵称为,A,的,转置矩阵,，记作,A,T,或,A,。,例如：,则,6）矩阵的转置,(1),(,A,T,),T,=,A,(2)(,A+B,),T,=A,T,+,B,T,(3)(,A,),T,A,T,(4)(,A B,),T,=,B,T,A,T,(2)性质,3、方阵,1）定义,(其中：,k,l,均为正整数),k,个,行数与列数相同的,n,n,矩阵,A,称为,方阵,，,n,称为它的,阶数,，简记,A,n,。,则：,记,A,A,A,=,A,k,k,个,称为,n,阶单位矩阵,，简记,E,显然,1.单位矩阵,0,0,2）几类特殊方阵,2.对角矩阵,其中,a,ij,=0,i,j,0,0,特别：,称为,数量矩阵,0,0,4、分块矩阵,定义:,如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵,A,分成若干小块，这样的小块称为矩阵,A,的,子块,或,子矩阵,，而,A,可以看成是以子块为元素的矩阵，称,A,为,分块矩阵,。,例如：,一、,函数的泰勒级数展开形式,其中,若函数,在,y,0,开区间内有（,n,1,）阶导，则,可以展开为,为,在级数展开时的误差,16 函数的级数展开,对于多元函数，若A(x,y)点的函数值为f（x，y）,则B(x+dx,y)点的函数值为,1、以2L,为周期,的傅里叶级数,代入傅里叶级数中,二、周期为2,L,的周期函数的傅里叶级数,若周期为,2,L,的周期函数,f,(,x,)满足收敛条件,则它的傅里叶级数展开式为,其中,则有,则有,二元函数,f（x，y）,在区间（,0 xa，0yb,）,可以展开为,三、双三角级数,注意：,矩形薄板的三角级数解就是利用荷载函数,的三角级数展开的方法来实现的,其中,解,