多维随机变量及其分布

课件制作：应用数学系,概率论与数理统计,第三章,多维随机变量及其分布,二维随机变量（,X,Y）,(X,Y)的,联合,分布函数,X,的分布函数,一维随机变量,X,二,维随机变量的,联合,分布函数,定理：的性质,（1）关于x或y非降,（4）关于x或y右连续,（2）,（3）,（5）对 ,有,二维随机变量（,X,Y,）,离散型,i,j,=1,2,X,和,Y,的联合概率分布列,k,=1,2,离散型,一维随机变量,X,k,=1,2,X,的概率分布列,(X,Y),的,联合概率分布列,的表格形式如下:,X,x,1,x,2,x,i,y,1,y,2,y,j,p,11,p,12,p,1j,p,21,p,22,p,2j,p,i1,p,i2,p,i j,Y,二维随机变量（,X,Y,）,离散型,X,和,Y,的联合分布函数,离散型,一维随机变量,X,X,的分布分布函数,设二维,连续型,随机变量（,X,Y,）,的联合概率密度函数为,则,连续型,一维随机变量,X,X,的概率密度函数,不难得出，对连续型,随机变量(,X,Y,)，其概率密度与分布函数的关系如下：,在,f,(,x,y,)的连续点,设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,则称,（X,Y）在G上服从,均匀分布,.,例,两个常见的二维分布：,若二维随机变量（,X,Y,）具有概率密度,记作（,X,Y,）N(),则称（,X,Y,）服从参数为,的,二维正态分布,.,其中,均为常数,且,一般，对二维,离散型,随机变量(,X,Y,)，,则,(,X,Y)关于,X,的,边缘,概率分布列为,X,和,Y,的,联合,概率分布列为,P(X=x,i,),P,i,.,P(Y=y,j,),P,.,j,(j=1,2,.),同理,一般地,记:,我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.,联合分布与边缘分布的关系：,由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,对,任意,随机变量(X,Y)，,X和Y的,联合,分布函数为,则,(X,Y)关于X的,边缘,分布函数为,(X,Y)关于Y,的边缘,分布,函数为,对,离散型,随机变量(X,Y)，,X和Y的,联合,分布函数为,则,(X,Y)关于X的,边缘,分布函数为,(X,Y)关于Y的,边缘,分布函数为,对,连续型,随机变量(,X,Y,)，,X,和,Y,的,联合,分布函数为,则,(,X,Y,)关于,X,的,边缘,分布函数为,(,X,Y,)关于,Y,的,边缘,分布函数为,易知,一、,离散型随机变量的条件分布律,设(,X,Y,)是二维离散型随机变量，其分布律为,(,X,Y,),关于,X,和关于,Y,的边缘分布律分别为：,P,X,=,x,i,Y,=,y,j,=,p,i j,i,j=,1,2,.,由条件概率公式,称为在,Y,=,y,j,条件下随机变量,X,的条件分布律,.,其中,P,Y,=,y,j,0,自然地引出如下定义：,同样,条件分布律具有分布律的以下,特性,：,1,0,P,X,=,x,i,|,Y,=,y,j,0；,定义：,给定,y,，设对于任意固定的正数,，,存在，,P,y-,0,若对于任意实数,x,，极限,则称为在条件,Y,=,y,下,X,的,条件分布函数,，,写成,P,X,x,|,Y,=,y,，或记为,F,X,|,Y,(,x,|,y,).,称为在条件,Y,=,y,下,X,的条件分布函数,.,条件密度函数的性质,设,X,Y,是两个随机变量，若对,任意,的,x,y,有,则称,X,Y,相互独立.,两个随机变量独立的定义是：,用分布函数表示,即,设,X,Y,是两个随机变量，若对,任意,的,x,y,有,则称,X,Y,相互独立.,它表明，两个随机变量,相互独立时，它们的,联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.,若(,X,Y,)是,离散型,随机变量，,则上述独立性的定义等价于：,则称,X,和,Y,相互独立.,对(,X,Y,),的,所有可能取值(,x,i,y,j,),有,即,其中,是,X,Y,的联合密度，,则称,X,Y,相互独立.,对,任意,的,x,y,有,若(,X,Y,)是,连续型,随机变量,则上述独立性的定义等价于：,分别是,X,和,Y,的边缘密度,一、离散型分布的情形,若,X,、,Y,独立，,P,(,X,=,k,)=,a,k,k,=0,1,2,P,(,Y,=,k,)=,b,k,k,=0,1,2,求,Z,=,X,+,Y,的概率函数.,=,a,0,b,r,+,a,1,b,r,-1,+,a,r,b,0,由独立性,此即离散,卷积公式,r,=0,1,2,和的分布：,Z=X+Y,设X和Y,的联合密度为,f,(,x,y,),求,Z,=,X,+,Y,的密度,Z,=,X,+,Y,的分布函数是:,F,Z,(,z,)=P(,Z,z)=,P,(,X,+,Y,z,),这里积分区域,D,=(,x,y,):,x+y,z,是直线,x+y,=,z,左下方的半平面.,二、连续型分布的情形,和的分布：,Z=X+Y,化成累次积分,得,由,X,和,Y,的对称性,f,Z,(,z,)又可写成,以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别，当,X,和,Y,独立，设(,X,Y,)关于,X,Y,的边缘密度分别为,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),则上述两式化为:,这两个公式称为,卷积公式,.,