材料力学13章7-8莫尔积分

一、推导：,13-7 单位载荷法-莫尔积分,方式一：,先加,再加,方式二：,同时加,同理：,二、莫尔积分的应用：,1、,计算梁发生弯曲变形的位移：,2、,计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移,：,3、,计算圆轴发生扭转变形的位移,：,4、,计算杆发生轴向拉压变形的位移,：,5、,计算,桁,架节点位移,：,6、,计算结构组合变形的位移,：,三、莫尔积分的应用范围：,线弹性结构,四、,的符号的含义：,1、+：,所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同,2、-：,所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反,用莫尔积分计算的步骤：,1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程,2、将结构单独取出，在结构上,施加一与所求位移对应的单位载荷,即：求位移时施加单位力；求相对位移时施加一对相反单位力。,求转角时施加单位力偶；求相对转角时施加一对相反单位力偶。,3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程,4、将同一段的同一种内力方程相乘积分,注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证,内力方程分段相同,，并且每段,自变量的基准点相同,A,B,D,求C点铅垂位移,C,思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段?,A,B,D,C,组合变形时的莫尔积分：,所以：,其中:,为原载荷引起,的弯矩，,为单位载荷引起的弯矩，,注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。,六、莫尔积分的例题,1、计算梁发生弯曲变形的位移：,求:C点铅垂方向的位移 和B点转角,莫尔积分的应用范围：,线弹性结构,例1:,已知,2)列原载荷引起的内力方程:,3)施加单位载荷:,4)列单位载荷引起的内力方程:,5)同一段的同一种内力相乘积分,解:求,1)求约束反力:为此取AB 为研究对象,的正、负号的含义：,1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同,2、,：,所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反,求,例2：试求P力作用下，A点的竖直位移,分析：,因为力与轴线位于同一平面,所以在P力作用下，只考虑弯曲变形，即只考虑弯矩,解：,2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：,R,1,R,P,A,B,1)列原载荷引起的内力方程:,2)施加单位载荷,列单位载荷引起的内力方程:,3)由莫尔积分求 :,3、计算桁架节点位移：,P,P,A,B,C,D,解：,1,1,A,B,C,D,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1)列原载荷引起的内力方程:,P,A,B,例3：图示简单桁架，各杆,长度均为 ，且EA相同，,试求B、D两节点的相对位,移。,2)施加单位载荷:,3)列单位载荷引起的内力方程:,B,1,A,1,1,A,B,C,D,1,2,3,4,5,杆号,4)由莫尔积分求 :,杆号,P,P,A,B,C,D,4、计算结构组合变形的位移：,P,A,B,C,1,A,B,C,例4：图示刚架，各段刚度已标出，试A,点的铅垂位移与B点的转角,解：,1)列原载荷引起的内力方程:,2)列单位载荷引起的内力方程:,设,3)同一段的同一种内力相乘积分,P,A,B,C,1,A,B,C,若横截面是边长为b的正方形，时，上述比值为：,P,A,B,C,A,B,C,1,例5:轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.,1)列原载荷引起的内力方程:,2)施加单位载荷:,4)积分计算位移,3)列单位载荷引起的内力方程:,P,1,2)列原载荷引起的内力方程:,3)列单位载荷引起的内力方程:,解:1)求约束反力,例:变截面梁如图所示,已知：P，a，EI,1,，EI,2,。求：D点的垂直位移.,3)列单位载荷引起的内力方程:,4)同一段的同一种内力相乘积分,解:1)由于对称，只计算一半,例:平面刚架如图所示,已知：P，a，EI。求：AF两点的相对位移.,2)原载荷引起的内力方程:,3)单位载荷引起的内力方程:,2)原载荷引起的内力方程:,3)单位载荷引起的内力方程:,2)原载荷引起的内力方程:,3)单位载荷引起的内力方程:,分析：研究角度,对应的截面的弯矩。先考虑内部弧段,的合弯矩,计算均布外压小曲率曲梁弯曲变形的A点竖直位移,y,A,：,2)A点施加向下的单位力,引起的内力方程:,3)由莫尔积分求,y,A,R,q,A,B,dp=qds=qRd,R,q,A,B,1,一、推导：,，若EI为常量，则公式可变形为：,C,A,B,A,B,x,y,13-8,计算莫尔积分的图乘法,C,C,顶点,顶点,(1)二次抛物线：,(2)二次抛物线：,为了计算方便，列出了比较常见图形的面积和形心坐标,三、应用图乘法的注意事项：,1、,有正负号：,原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正,原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负,2、当,为一条光滑的的曲线，,为一条折线时，,必须以折点为界,分段图乘,可将,4、当,图很复杂时，,分成若干个简单图形,分部分图乘,3、若梁的抗弯刚度EI在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段,5、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，,注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：,的折点；,图是否需要划分为若干简单图形；,(2)EI是否阶梯变化；,即:,B,C,D,A,2a,a,a,P,例5：求,解：1、画原载荷引起的内力图,B,C,D,A,3Pa,Pa,2、求,施加单位力偶,B,C,D,A,3、画单位载荷引起的内力图,B,C,D,A,1,1,1,4、图乘方法（1）,5、图乘方法（2）,M图,图,注：当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时，,是单位载荷引起内力图的面积,是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标,二、图乘法的应用：,1、计算梁发生弯曲变形的位移：,2、计算圆轴发生扭转变形的位移：,3、计算杆发生轴向拉压变形的位移：,4、计算结构组合变形的位移：,例1:,已知,求:C点铅垂方向的位移 和B点转角,解：1、画原载荷引起的内力图：,2、求,施加单位载荷,3、画单位载荷引起的内力图,4、图乘：,1,例2：用图乘法求,解：1、画原载荷引起的内力图：,2、求,施加单位载荷,1,3、画单位载荷引起的内力图,4、图乘：,（图1）,（图2）,a,a,A,B,C,5、求,施加单位载荷：,6、画单位载荷引起的内力图,（图3）,7、图乘：,（图1）,1,a,a,A,B,C,例4：平面结构空间受力，,AB,和,BC,两杆具有相同,的刚度，,求：1.,A,端的铅垂位移；,2.,A,端绕,BC,轴线（X轴）的转角。,X,3、画单位载荷引起的内力图,2、求,A,端的铅垂位移,施加单位载荷,解求 ：1、画原载荷引起的内力图,4、图乘：,2、求A点绕BC轴转角,施加单位载荷,3、画单位载荷引起的内力图,4、图乘：,1,解 求 ：1、画原载荷引起的内力图,例3:轴线为半圆形平面曲杆如图所示,作用于,A,点的集中力,P,垂直于轴线所在平面,求,P,力作用点的垂直位移.,1)列原载荷引起的内力方程:,2)施加单位载荷:,4,)积分计算位移,3)列单位载荷引起的内力方程:,例4：试求,P,力作用下，,A,点的竖直位移,分析：,因为力与轴线位于同一平面,所以在,P,力作用下，只有弯曲变形，即只考虑,弯矩,解:1)求约束反力画载荷引起的内力图,例:变截面梁如图所示,已知：P，a，EI,1,，EI,2,。求：用,图乘法求,D点的垂直位移.,2）求,施加单位载荷,3）画单位载荷引起的内力图,4）图乘方法（1）,A,C,D,B,2/3Pa,Pa/3,M图,A,C,D,B,1/3a,2/3a,M,0,图,4/9a,1/2a,2/9a,1/3a+1/3*1/3a=4/9a,作业,13-14（,图乘,）,13-15（,图乘,）,13-17（积分）,13-25（积分）,13-30（积分）,本章结束,