平面结构问题的有限单元法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,1,4.1,平面应力问题,第四章 平面结构问题的有限单元法,4.2,平面应变问题,4.3,平面问题的离散化,4.4,平面三结点三角形单元,4.5 ANSYS,平面结构计算示例,2,严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态，因而都是空间问题，但是在一定条件下，许多空间问,题都可以简化成平面问题。,平面问题可以分为两类：,平面应力问题,和,平面应变问题,。,图,4-1,平面问题应力状态,第四章 平面结构问题的有限单元法,3,4.1,平面应力问题,图,4-2(a),平面应力问题,如图所示的深梁结构，其厚度方向的尺寸远比其它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板。它只承受作用在其平面内的载荷，且沿厚度方向不变，计算时以中性面为研究对象。其,力学特点,是：,平面应力问题的应力应变转换矩阵即弹性矩阵为：,。,第四章 平面结构问题的有限单元法,4,图,4-2(b),平面应变问题,4.2,平面应变问题,图示为一圆形涵洞的横截面。其长度方向上的尺寸远比其它两个方向上的尺寸大得多，同样，载荷作用在,xy,坐标面内，且沿,z,轴方向均,匀分布。其力学特点是：,但一般情况下,平面应变问题的弹性矩阵只需将式,(4-1),中的,E,换成,换成,，,即可。,。,第四章 平面结构问题的有限单元法,5,无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力,与,应变,之间的关系均为：,，,其中,：,为初应变,。,式中,4.3,平面问题的离散化,(a),三结点三角形单元,(b),四结点正方形单元,(c),四结点矩形单元,(d),四结点四边形单元,图,4-3,平面问题单元的主要类型,第四章 平面结构问题的有限单元法,6,图,4-4(a),表示的是带有椭圆孔的平板，在均匀压力作用下的应力集中问题。图,4-5(b),是利用,结构的对称性,，采用三结点三角形单元而离散后的力学模型，各单元之间以结点相连。,(a),均匀受力板力学模型,(b),力学模型离散化,图,4-4,平面问题有限单元法的计算力学模型,第四章 平面结构问题的有限单元法,7,4.4,平面三结点三角形单元,4.1.1,位移函数,图,4-5,三角形单元,如果把弹性体离散成为有限个单元体，而且单元很小时，就很容易利用其结点的位移，构造出单元的位移插值函数，即位移函数。,位移函数矩阵形式,：,第四章 平面结构问题的有限单元法,8,简写为：,由于位移函数适用于单元中的任意一点，所以带入,3,个结点的坐标后，得出,结点处位移函数为,简写为：,第四章 平面结构问题的有限单元法,9,解出,其中，,是三角形单元的面积，,当三角形单元结点,i,、,j,、,m,按逆时针次序排列时,，则有,4.4.2,形函数矩阵,第四章 平面结构问题的有限单元法,10,其中记号,表示将,i,、,j,、,m,进行轮换后，可得出另外两组带脚标的,a,、,b,、,c,的公式。,单元位移函数为结点位移的插值函数,，即,第四章 平面结构问题的有限单元法,(4-9),11,令,在式,(4-10),中表示的,称为,形函数,，于是位移函数表达式用形函数表示为：,(4-10),(4-11),写成矩阵形式,(4-12),第四章 平面结构问题的有限单元法,12,由几何方程知,将式,(4-9),代入式,(4-13),中，并求偏导数，得,(4-13),4.4.3,单元的应力与应变,第四章 平面结构问题的有限单元法,13,简写为：,(4-14),由于,B,是常量，单元内各点应变分量也都是常量，这是由于采用了线性位移函数的缘故，这种单元称为常应变三角形单元。,(4-15),第四章 平面结构问题的有限单元法,14,由,弹性力学的物理方程,可知，其应力与应变有如下关系：,(4-16),将式,(4-14),代入式,(4-16),，得,(4-17),式中,(4-18),S,称为应力,转换矩阵,，对平面应力问题，其子矩阵为,(4-19),由式,(4-17),看出，应力分量也是一个常量。在一个三角形单元中各点应力相同，一般用形心一点表示。其应变也可同样表示。,第四章 平面结构问题的有限单元法,15,用虚功原理来建立结点力和结点位移间的关系式，从而得出三角形单元的刚度矩阵。,(,a,),实际力系,(,b,),虚设位移,图,4-6,弹性体虚功原理的应用,4.4.4,三角形单元刚度矩阵,第四章 平面结构问题的有限单元法,16,结点力列向量和应力列向量分别为,结点虚位移列向量和虚应变列向量为,用,虚功原理,建立三角形单元的虚功方程为,由式,(4-12),式知,，,代入式,(4-20),得,(4-20),第四章 平面结构问题的有限单元法,17,由于虚位移是任意的，等号两边可左乘,，得,(4-21),三角形单元的刚度矩阵可写成,(4-22),用分块矩阵形式表示,(4-23),第四章 平面结构问题的有限单元法,18,结构的平衡条件可用所有结点的平衡条件表示。,假定,i,结点为结构中的任一公共结点，则该结点平衡条件为：,i,结点的结点力列向量,围绕,i,结点所有单元的结点力的向量和,i,结点的载荷列向量。,4.4.5,整体刚度矩阵,第四章 平面结构问题的有限单元法,19,每个结点由两个平衡方程组成，若结构共有,n,个结点，则有,2n,个平衡方程。整个结构的平衡条件由式,(4-24),求和得到，即：,i,1,，,2,，,n,(4-26),(4-27),其中，,K,为,结构整体刚度矩阵,；为,结构的结点位移列向量,。,(4-28),第四章 平面结构问题的有限单元法,20,将式,(4-26),、式,(4-27),代入式,(4-25),中得,(4-29),整体刚度矩阵也可按结点写成分块矩阵的形式,：,(4-30),同杆系结构一样，整体刚度方程经过约束处理后，即可求出结点位移，进而求出所希望的应力场。,第四章 平面结构问题的有限单元法,21,4.5 ANSYS,平面结构计算示例,问题描述,如图,4-7,所示长方形板,ABCD,，板厚,0.04m,，孔半径,r,=0.2m,，,E,=210GPa,，泊松比,=0.3,，约束条件：在长方形底边,AD,约束全部自由度,BC,边施加垂直向下均布载荷,g,=10000000N/m,。,图,4-7,长方形板结构,4.5.2,ANSYS,求解操作过程,打开,Ansys,软件，在,Ansys,环境下做如下操作。,第四章 平面结构问题的有限单元法,22,图,4-8,单元类型对话框,（,1,）,选择单元类型,运行,PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete,，弹出,Element Types,对话框，如图,4-8,所示。单击,Add,，弹出,Library of Element Types,窗口，如图,4-9,所示，依次选择,Structural Solid,，,Quad 8 node 82,，单击,OK,。,图,4-9,单元类型库对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,23,在,Element Types,对话框中，如图,4-10,所示，单击,Options,，弹出如图,4-11,所示对话框，设置,K3,选项栏为,Plane strs w/thk,，设置,K5,选项栏为,Nodal stress,，设置,K6,选项栏为,No extra output,。表示单元是应用于平面应力问题，且单元是有厚度的。,图,4-10,单元类型对话框,图,4-11 PLANE82,单元选项设置对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,24,（,2,）,定义实常数,运行,PreprocessorReal ConstantsAdd/Edit/Delete,，弹出如图,4-12,所示对话框，点击,Add,，弹出如图,4-13,所示对话框，点击,OK,，弹出如图,4-14,所示对话框，在,THK,选项栏中设置板厚度为,0.04m,。设置完毕单击,OK,按钮。,图,4-12,实常数对话框,图,4-13,选择要设置实常数的单元类型,图,4-14 PLANE82,实常数设置,第四章 平面结构问题的有限单元法,25,（,3,）,设置材料属性,运行,PreprocessorMaterial PropsMaterial Models,，弹出如图,4-15,所示对话框，依次双击,Structural,，,Linear,，,Elastic,，,Isotropic,，弹出图,4-16,所示对话框，在,EX,选项栏中设置数值,2.1e11,，在,PRXY,选项栏中设置数值,0.3,。设置完毕单击,OK,按,钮。,图,4-15,选择材料属性对话框,图,4-16,设置材料属性对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,26,（,4,）,建立模型,运行,PreprocessorModelingCreateAreaRectangleBy 2 Corners,，弹出如图,4-17,所示对话框，设置参数，,WP X,选项栏中填写,0,，,WP Y,选项栏中填写,0,，,Width,选项栏中填写,1.5,，,Height,选项栏中填写,1,，单击,OK,。继续运行,PreprocessorModelingCreateAreaCircleSolid,Circle,，得到如图,4-18,所示对话框，在,WP X,选项栏中填写,0.75,，,WP Y,选项栏中填写,0.5,，在,Radius,选项栏中填写,0.2,，设置完毕点击,OK,按钮。,图,4-17,建立矩形对话框,图,4-18,创建实 心圆对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,27,进行布尔运算：,PreprocessorModelingOperateBooleans,SubtractAreas,，先选矩形面单击,OK,，再单击圆面，单击,OK,。得,到如图,4-19,所示图形。,图,4-19,长方形板模型,（,5,）,划分网格,运行,MeshingSize CntrlsManual SizeAreasAll Areas,，弹出如图,4-20,所示对话框，在,SIZE,选项栏中填写,0.05,，点击,OK,按钮。,图,4-20,设置网格尺寸对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,28,运行,MeshMesh Tool,，弹出如图,4-21,所示对话框，在,Shape,选项栏后面，选择,Tri,和,Free,，单击,Mesh.,划分网格，网格划分如图,4-22,所示。,图,4-21,网格划分对话框,图,4-22,划分网格后的有限元模型,第四章 平面结构问题的有限单元法,29,图,4-23,施加全约束,（,6,）,施加约束,选择菜单,SolutionDefine LoadsApplyStructure,DisplacementOn Lines,，选择长方形底边，弹出图,4-23,所示对话框，选择,All DOF,，单,击,OK,。,（,7,）,施加载荷,选择菜单,SolutionDefine LoadsApplyStructure PressureOn Lines,，弹出如图,4-24,所示对话框。拾取长方形上边，单击,OK,按钮。弹出如图,4-25,所示对话框。在,VALUE,选项栏中填写,10000000,。设置完毕点击,OK,完成设置。,第四章 平面结构问题的有限单元法,30,图,4-24,拾取要施加载荷的边,图,4-25,施加载荷对话框,（,8,）,求解,运行,SolutionSolveCurrent LS,，弹出如图,4-26,所示对话框。单击,OK,按钮，开始计算，计算结束会弹出计算完毕对话框，单击,Close,关闭对话框，计算完毕。,图,4-26,求解当前步载荷对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,31,（,9,）,后处理,运行,General PostprocPlot ResultsContour Plot,Nodal Solu,，弹出如图,4-27,所示对话框，运行,DOF,SolutionDisplacement vector sum,和,S