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,抓住,3,个考点,突破,3,个考向,揭秘,3,年高考,第,3,讲函数的奇偶性与周期性,考点梳理,一般地，设函数,y,f,(,x,),的定义域为,A,，如果对于任意的,x,A,，都有,_,，那么称函数,y,f,(,x,),是偶函数,如果对于任意的,x,A,都有,_,，那么称函数,y,f,(,x,),是奇函数,奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于,y,轴对称,1,奇、偶函数的概念,f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),(1),奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反,(2),在公共定义域内,两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；,两个偶函数的和、积都是偶函数；,一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数,(3),若,f,(,x,),为偶函数，则,f,(,x,),f,(,x,),f,(|,x,|),(4),若奇函数,f,(,x,),定义域中含有,0,，则必有,f,(0),0.,f,(0),0,是,f,(,x,),为奇函数的既不充分也不必要条件,2,函数奇偶性的性质,(5),复合函数的奇偶性特点是：,“,内偶则偶，内奇同外,”,(6),既奇又偶的函数有无穷多个,(,如,f,(,x,),0,，定义域是关于原点对称的任意一个区间,),(1),周期函数：对于函数,y,f,(,x,),，如果存在一个非零常数,T,，使得当,x,取定义域内的任何值时，都有,f,(,x,T,),_,，那么就称函数,y,f,(,x,),为周期函数，称,T,为这个函数的周期,(2),最小正周期：如果在周期函数,f,(,x,),的所有周期中存在一个,_,的正数，那么这个最小正数就叫做,f,(,x,),的最小正周期,3,周期性,f,(,x,),最小,一个命题规律,函数的奇偶性、周期性常和函数其他性质,(,如单调性,),综合，奇偶性与单调性结合的题目常画示意图解决，周期性与三角函数相结合，以客观题型为主，一般为容易题对综合性解答题，常通过研究函数的单调性、周期性、奇偶性等，全面了解函数图象的变化趋势，画出函数的示意图，从而研究函数的最值、单调区间等，是解决函数最值、不等式恒成立等问题的基本思路,【,助学,微博,】,解析,由,f,(0),0,，得,b,1,，所以,f,(,1),f,(1),(2,2,1),3.,答案,3,考点自测,1,(2012,海安中学,),设,f,(,x,),为定义在,R,上的奇函数，当,x,0,时，,f,(,x,),2,x,2,x,b,(,b,为常数,),，则,f,(,1),的值是,_,解析,因为,f,(,x,3),f,(,x,),，,f,(,x,),f,(,x,),，所以,m,f,(2),f,(,1),f,(1),2.,答案,(,2,，,),2,(2013,泰州学情调查,),已知周期函数,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数，且,f,(,x,),的最小正周期为,3,，,f,(1),2,，,f,(2),m,，则,m,的取值范围为,_,3,(2012,盐城检测,),设,f,(,x,),是定义在,(,1,1),上的偶函数，在,(0,1),上递增，若,f,(,a,2),f,(4,a,2,),0,，则,a,的取值范围为,_,4,已知,f,(,x,),ax,2,bx,是定义在,a,1,2,a,上的偶函数，那么,a,b,的值是,_,(2)(2012,苏州调研,),已知定义在,R,上的奇函数,f,(,x,),和偶函数,g,(,x,),满足,f,(,x,),g,(,x,),a,x,a,x,2(,a,0,，且,a,1),若,g,(2),a,，则,f,(2),_.,考向一,函数奇偶性及其应用,方法总结,奇偶函数的判断，要考虑定义域所在区间关于原点对称对于奇偶函数的性质，要善于逆用奇偶函数性质以及奇偶函数的四则运算性质解题,【,训练,1】(1),已知,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数，当,x,0,时，,f,(,x,),x,2,2,x,，若,f,(,a,2,2),f,(,a,)0,，则实数,a,的取值范围是,_,解析,(1),f,(,x,),是奇函数，且在,0,，,),上单调递增，所以,f,(,x,),在,R,上单调递增于是由,f,(,a,2,2),f,(,a,),f,(,a,),，得,a,2,2,a,，即,a,2,a,20,，解得,2,a,0,时，,x,0,，由题意得,f,(,x,),f,(,x,),，,x,2,x,ax,2,bx,，从而,a,1,，,b,1,，,a,b,0.,答案,(1)(,2,1),(2)0,【,例,2】(1),已知奇函数,f,(,x,),的定义域为,2,2,，且在区间,2,，,0,内递减，则满足,f,(1,m,),f,(1,m,2,),0,的实数,m,的取值范围是,_,；,考向二,函数奇偶性与单调性的交汇问题,又,f,(,x,),为奇函数，且在,2,0,上递减，在,2,2,上递减，,f,(1,m,),f,(,又因为,0,，所以,0,sin,1,，,于是由得,m,m,2,1,，,即,2,m,1.,综合，可知,1,m,f,(1,m,),f,(,m,1),，得,m,sin,m,1.,答案,(1),1,1),(2)(,，,1),方法总结,(1),奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于,y,轴对称,(2),奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,2,是函数,f,(,x,),的周期；,函数,f,(,x,),在,(1,2),上是减函数，在,(2,3),上是增函数；,函数,f,(,x,),的最大值是,1,，最小值是,0,；,答案,(1),试求,f,(0),的值并证明函数,y,f,(,x,),为奇函数；,(2),若,f,(,m,3,x,),f,(3,x,9,x,),f,(0),，,又,f,(,x,),在,R,上是单调函数，,f,(,x,),在,R,上是增函数，,f,(,m,3,x,),f,(3,x,9,x,)3,，,可化为：,f,(,m,1)3,x,9,x,f,(2),，,(,m,1)3,x,9,x,0,对任意,x,R,恒成立令,t,3,x,，则,t,0,，,问题等价于：,t,2,(,m,1),t,20,在,(0,，,),上恒成立，,方法总结,函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题,【,训练,3】,设,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数，且对任意实数,x,，恒有,f,(,x,2),f,(,x,),，当,x,0,2,时，,f,(,x,),2,x,x,2,.,(1),求证：,f,(,x,),是周期函数；,(2),当,x,2,4,时，求,f,(,x,),的解析式；,(3),计算,f,(0),f,(1),f,(2),f,(2 013),思维启迪,(1),只需证明,f,(,x,T,),f,(,x,),，即可说明,f,(,x,),是周期函数；,(2),由,f,(,x,),在,0,2,上的解析式求得,f,(,x,),在,2,0,上的解析式，进而求,f,(,x,),在,2,4,上的解析式；,(3),由周期性求和,(1),证明,f,(,x,2),f,(,x,),，,f,(,x,4),f,(,x,2),f,(,x,),f,(,x,),是周期为,4,的周期函数,(2,),解,x,2,4,，,x,4,，,2,，,4,x,0,2,，,f,(4,x,),2(4,x,),(4,x,),2,x,2,6,x,8,，,又,f,(4,x,),f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),x,2,6,x,8,，,即,f,(,x,),x,2,6,x,8,，,x,2,4,(3),解,f,(0),0,，,f,(2),0,，,f,(1),1,，,f,(3),1.,又,f,(,x,),是周期为,4,的周期函数，,f,(0),f,(1),f,(2),f,(3),f,(4),f,(5),f,(6),f,(7),f,(2 008),f,(2 009),f,(2 010),f,(2 011),0.,f,(0),f,(1),f,(2),f,(2 013),f,(0),f,(1),1.,探究提高,判断函数的周期只需证明,f,(,x,T,),f,(,x,)(,T,0),便可证明函数是周期函数，且周期为,T,，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题,函数奇偶性问题在高考中至多考一道填空题，且可能与函数单调性和周期性进行有机融合，判断函数奇偶性，除要用好定义，灵活运用奇偶函数的性质也会大大方便解题思维过程,热点突破,6,函数奇偶性的判定方法,审题与转化,第一步,：奇偶函数运算性质满足奇,奇奇，奇,偶非奇非偶，偶,偶偶,第二步,：若,f,(,x,),是奇函数或偶函数，则,|,f,(,x,)|,是偶函数,一,、,奇偶函数运算性质及其应用,【,示例,】(2011,广东卷改编,),设函数,f,(,x,),和,g,(,x,),分别是,R,上的偶函数和奇函数，则下列结论：,|,f,(,x,)|,g,(,x,),是奇函数；,|,f,(,x,)|,g,(,x,),是偶函数；,f,(,x,),|,g,(,x,)|,是奇函数；,f,(,x,),|,g,(,x,)|,是偶函数，其中恒成立的是,_,规范解答,第三步,：因为,g,(,x,),是奇函数，所以,|,g,(,x,)|,是偶函数，又,f,(,x,),是偶函数，所以,f,(,x,),|,g,(,x,)|,是偶函数，所以仅恒成立,反思与回顾,第四步,：函数,|,f,(,x,)|,不一定具有奇偶性，但,f,(|,x,|),一定是偶函数另外，若,f,(,x,),是偶函数，则必有,f,(,x,),f,(|,x,|),还有，本题要求结论恒成立，是为了排除,f,(,x,),0,，,g,(,x,),0,这一特殊情况,审题与转化,第一步,：,y,|,f,(,x,)|,图象关于,y,轴对称，可得,y,|,f,(,x,)|,是偶函数,第二步,：,y,|,f,(,x,)|,是偶函数,|,f,(,x,)|,|,f,(,x,)|.,规范解答,第三步,：若,y,f,(,x,),是奇函数，则,f,(,x,),f,(,x,),，从而,|,f,(,x,)|,|,f,(,x,)|,|,f,(,x,)|,，反之不成立，故填必要不充分,二、探求函数,f,(,x,),是奇偶函数的充要条件,【,示例,】(2011,山东卷改编,),对于函数,y,f,(,x,),，,x,R,，,“,y,|,f,(,x,)|,的图象关于,y,轴对称,”,是,“,y,f,(,x,),是奇函数,”,的,_,条件,解析,由题意，,g,(,x,),|,x,a,|,是偶函数，所以,a,0.,答案,0,解析,因为,y,f,(,x,),x,2,是奇函数，,f,(1),1,，所以,f,(1),1,2,f,(,1),(,1),2,0,，即,f,(,1),3,，所以,g,(,1),f,(,1),2,1.,答案,1,高考经典题组训练,1,(2011,浙江卷,),若函数,f,(,x,),x,2,|,x,a,|,为偶函数，则实数,a,_.,2,(2012,上海卷,),已知,y,f,(,x,),x,2,是奇函数，且,f,(1),1.,若,g,(,x,),f,(,x,),2,，则,g,(,1),_.,答案,10,解析,正确；当,x,Q,时，,x,Q,，,D,(,x,),D,(,x,),1,，当,x,为无理数时，同理可证,D,(,x,),D,(,x,),0,，即对任意,x,R,，,D,(,x,),D,(,x,),，所以正确若,x,为无理数，则,x,1,也是无理数，故有,D,(,x,1),0,D,(,x,),；同理，若,x,为有理数，则有,D,(,x,1),1,D,(,x,),，综上，,1,是,D,(,x,),的周期不正确；正确,答案,
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