大学物理动理论

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第7章,气体动理论,(3),7.5 麦克斯韦速率分布律,1、速率分布的概念,前面得到的气体分子的方均根速率,是一个统计速率。对单个分子其速率完全是偶然的，取值可以在0 之间的任一个。,平衡态下，气体分子分布在各个速率区间的分子数占总,分子数的百分率 ,大部分分子分布在哪个速率区间,0 时，,O,2,分子速率分布的统计数据,统计数据表明:,速率很大和速率很小的分子数占总分子数的比率,均很小，大多数分子以中等速率运动。,速率区间,(m/s),速率区间,(m/s),以下,以上,2、,麦克斯韦速率分布律,设总分子数为,N,N,表示速率在,v,v,+,v,区间内的分子数。,N,与,v,、,v,有关。,表示速率处在,v,v,+,v,区间内的分子数占总,分子数的百分率。,（1）速率分布函数,也与,v,、,v,有关。,分子速率在,v,附近单位速率区间内的分子数占总,分子数的比率。,是,v,的连续函数,。,当 时，,用 表示。,函数 称为,速率分布函数,其,物理意义,是:,分子速率在,v,附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分律,。对单个分子而言就是,任一分子速率处在,v,附近单位速率区间的概率(几率)。,f,(,v,),v,（2）麦克斯韦速率分布函数,是分子的质量,玻耳兹曼常数,（3）速率分布曲线,以,v,为横坐标，为纵坐标，画出的,曲线称为,速率分布曲线,。,f,(,v,),v,v,2,v,1,分布曲线的物理意义：,小矩形的面积,表示速率处在,v,v,+,d,v,区间内的分子数占总分子数的百分率。,曲边梯形的面积,表示速率处在,v,1,v,2,区间内的分子数占总分子数的百分率。,曲线下的总面积,归一化条件,3、,三种统计速率,最可几速率,(,最概然速率,),v,p,f,(,v,),v,v,p,v,p,把整个速率区间分成许多相等的小区间,则速率大小与 相近的气体分子数占总分子数的比率为最大。,可由求极值条件 求得,分布曲线极大值对应的速率叫最可几速率。,物理意义:,讨论两种情况：,（1）,m,0,一定,曲线高峰右移,同时高度下降。,（2）,T,一定,，,f,(,v,),v,v,p1,v,p2,f,(,v,),v,1.平均速率,大量分子速率的算术平均值叫平均速率。,若用,d,N,表示速率在,v,v,+d,v,区间内的分子数,，,v,连续分布时，上式过渡到积分。,2.方均根速率,速率平方的平均值,方均根速率,f,(,v,),v,三种速率中，,最大，,次之，最小,附录:,三种统计速率的计算,速率分布函数中令,则,速率平方的平均值,讨论思考题：,试说明下列各式的物理意义,速率在 的所有分子速率总和被总分子数除,速率在 区间内的分子数,速率在 区间内的分子数占总分子数的比率,并非 之间的分子的平均速率,速率在 的所有分子速率总和,分子平动动能的平均值,速率在 内的分子的平均速率,f,(,v,),v,T,1,T,2,例1、,图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？,解：,(1),T,1,T,2,(2),绿：氧,白,：氢,例2、,处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中自由电子(“电子气”模型)。设导体中自由电子数为,N,电子速率最大值为费米速率,，且已知电子速率在,v,v,+d,v,区间的概率为：,A,为常数,（1）,画出电子气的速率分布曲线,（2）由 定出常数,A,（3）求,O,v,f,(,v,),解：,（1）,（2）,由归一化条件确定常数A,（3）,例3、,求速率在,v,1,v,2,区间内的分子的平均速率。,解：,7.6,玻耳兹曼分布律,(了解),1、麦克斯韦速度分布律,分子动能,上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即,上述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子的速度方向，更详细的描述应指出气体分子是如何按速度分布的，如以 表示分子的速度，分别表示速度沿,x,y,z,的分量，则理论表明，平衡态下，在速度分量区间,内的分子数d,N,与总分子数,N,的比率为,全“,速度空间”捕捉粒子的概率为1,“速率区间,v,v,+,v,”对应“,速度空间”中半径为,v,、厚度为 d,v,的“球壳”，所以粒子在,速率区间内的概率为,2、玻耳兹曼分布律,当系统,在保守力场中,处于平衡态时，坐标介于,内，同时速度介于,的分子数为,式改写一下,式中,n,0,为势能 时单位体积内具有的各种速度的分子总数，上式称为,玻耳兹曼分布律,(又称玻耳兹曼分子按能量分布律)。,式对所有速度积分得体积元 内的总分子数,式中的中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件,令 ，式写成,称为分子数密度按势能分布的规律,重力场中分子数密度按高度分布的规律,n,0,为,z,=0 处,的分子数密度,由理想气体状态方程得：,理想气体状态方程的另一形式,等温气压公式,高度计原理,作 业,8，13，15,21,气体动理论,