概率论与数理统计第7讲

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论与数理统计第7讲,本讲义可在网址,或,下载,1,例4,某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.,解,将一次射击看成是一次试验.设击中的次数为,X,则,X,b,(400,0.02).,X,的分布律为,于是所求概率为,P,X,2=1,-,P,X,=0,-,P,X,=1,=1,-,(0.98),400,-,400(0.02)(0.98),399,=0.9972,2,注:,有时利用对立事件求概率比直接求更简便.,3,例5,设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备工人的方法,其一是由4人维护,每人负责20台;其二是3人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.,4,解,按第一种方法.以,X,记第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数,以,A,i,(,i,=1,2,3,4)表示第,i,人维护20台中发生故障不能及时维修,则知80台中发生故障不能及时维修的概率为,P,(,A,1,A,2,A,3,A,4,),P,(,A,1,)=,P,X,2.而,X,b,(20,0.01),故有,5,P,(,A,1,A,2,A,3,A,4,),0.0169按第二种办法.以,Y,记80台中同一时刻发生故障的台数.此时,Y,b,(80,0.01),故80台中发生故障而不能及时维修的概率为,结果表明,在后一种情况尽管任务重了(每人平均维护约27台),但工作效率不仅没有降低,反而提高了.,6,5.几何分布,在独立重复试验中,事件,A,发生的概率为,p,设,X,为直到,A,发生为止所进行的次数,显然,X,的可能取值是全体自然数,且由伯努利定理知其分布为,P,X,=,k,=(1,-,p,),k,-,1,p,0,p,1,k,1 (2.3),定义6,若一随机变量,X,的概率分布由(2.3)给出,则称,X,服从参数为,p,的几何分布.,7,P,X,=,k,=(1,-,p,),k,-,1,p,0,p,m,+,n,|,X,m,=,P,X,n,m,n,N,(2.4)事实上,因为,而,同理,P,X,m,+,n,=,q,m,+,n,P,X,n,=,q,n,代入即证得(2.4)式.,9,P,X,m,+,n,|,X,m,=,P,X,n,m,n,N,(2.4),注,:所谓无记忆性,意指几何分布对过去的,m,次失败的信息在后面的计算中被遗忘了.进一步还可以证明:一个取自然数值的随机变量,如果具有(2.4)式表达的无记忆性,则,X,一定服从几何分布,故无记忆是几何分布的一个特性.,10,例6,某射手连续向一目标射击,直到命中为止,已知他每发命中的概率是,p,求所需射击发数,X,的概率分布.,11,12,6.超几何分布,引例,一个袋子中装有,N,个球,其中,N,1,个白球,N,2,个黑球(,N,=,N,1,+,N,2,),从中不放回地抽取,n,(1,n,N,)个球,设,X,表示取到白球的数目,则根据古典概型易算得,X,的分布,这里规定,当,a,100,np,0为常数).则对于任意给定的,k,有,27,把每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件,此类事件如:地震,火山爆发,特大洪水,意外事故等等.则由泊松定理知,n,重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,28,例8,某公司生产一种产品300件.根据历史生产记录知废品率为0.01.问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?,解,把每件产品的检验看作一次伯努利试验,它有两个结果:,检验产品300件就是作300次独立的伯努利试验.用,X,表示检验出的废品数,则,X,b,(300,0.01),我们要计算,P,X,5.,29,X,b,(300,0.01),我们要计算,P,X,5.对,n,=300,p,=0.01,有,l,=,np,=3应用(2.7)式得,查附表1,知,P,X,5,1,-,0.916082=0.083918,30,例9,一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道,某种商品每月的销售数可以用参数,l,=5的泊松分布来描述,为了以95%以上的把握保证不脱销,问商店在月底至少应进某种商品多少件?,31,解,设该商品每月的销售数为,X,已知,X,服从参数,l,=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品,m,件,求满足,P,X,m,0.95的最小的,m,.即,查泊松分布表得,于是得,m,=9件.,32,例10,自1875年至1955年中的某63年间,上海市夏季(5-9月)共发生大暴雨180次,试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型.,解,每年夏季共有,n,=153(=31+30+31+31+31+30)天,每次暴雨发生以1天计算,则夏季每天发生暴雨的概率,p,=180/(63,153).将暴雨发生看做稀有事件,利用泊松分布来建立上海市一个夏季暴雨发生,k,(,k,=0,1,2,)次的概率分布模型.,33,夏季每天发生暴雨的概率,p,=180/(63,153).设,X,表示夏季发生暴雨的次数,由于,故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为,34,由上述,X,的概率分布计算63年中上海市夏季发生,k,次暴雨的理论年数63,P,X,=,k,并将它与资料记载的实际年数作对照,这些值及,P,X,=,k,的值均列入下表:,X,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,p,k,0.055,0.160,0.231,0.224,0.162,0.094,0.045,0.019,0.007,0.002,0.001,0,理论年数,3.5,10.1,14.6,14.1,10.2,5.9,2.8,1.2,0.44,0.12,0.05,0,实际年数,4,8,14,19,10,4,2,1,1,0,0,0,35,由上表可见,按建立的概率分布模型计算的理论年数与实际年数总的来看符合得较好,这表明所建立的模型是能够近似描述上海市夏季暴雨发生次数的概率分布.,36,课堂练习1.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.2.一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号灯显示的时间相等.以,X,表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求,X,的概率分布.,37,作业 习题2-2 第53页开始第12,14,16题,38,