单自由度系统在一般激励下的受迫振动

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,6,讲 单自由度系统在一般激励下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,6.1,周期激励作用下的受迫振动,6.2,任意激励作用下的受迫振动,6.3,响应谱,周期振动,展成傅氏级数,一个周期,T,中的平均值,n,=1,2,3,n,=1,2,3,基频,6.1,周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,一个周期振动可视为频率顺次为基频 及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。,在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析,周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。,周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。,周期振动的谐波分析,6.1,周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。这种分析振动的方法称为频谱分析。,由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。,这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。,周期振动的谐波分析,6.1,周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项近似表示周期振动。,例 已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。,解矩形波一个周期内函数,F,(,t,),可表示为,表示,F,(,t,),的波形关于,t,轴对称，故其平均值为零。,周期振动的谐波分析,6.1,周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,n,=1,，,2,，,3,于是，得,F,(t),的傅氏级数,F,(,t,),是奇函数，在它的傅氏级数中也只含正弦函数项。在实际的振动计算中，根据精度要求，级数均取有限项。,F,(,t,),的幅值频谱如图所示。,周期振动的谐波分析,6.1,周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,非周期函数的连续频谱,函数,f,(,t,),的傅氏积分公式,f,(,t,),的傅氏变换,的傅氏逆变换,又称非周期函数,f,(,t,),的频谱函数。频谱函数的值一般是复数。,连续频谱,f,(,t,),称为非周期函数,6.1,周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 试求图示单个矩形脉冲的频谱图形。,可求得频谱函数,f,(,t,),的傅氏积分为,解,:,f,(,t,),可表示为,非周期函数的连续频谱,6.1,周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,其振幅频谱,频谱图,傅氏积分和变换，是研究瞬态振动与随机振动的重要工具。实际应用时，可使用计算机运算或应用各种快速傅氏分析仪器,(FFT),。,非周期函数的连续频谱,6.1,周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,6.1,周期激励作用下的受迫振动,先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。,设粘性阻尼系统受到周期激振力,谐波分析方法，得到,系统的运动微分方程为,周期,基频,Mechanical and Structural Vibration,由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应,6.1,周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例,弹簧质量系统，受到周期性矩形波的激励。试求系统的稳态响应。,(,其中,),解：周期性矩形波的基频为,矩形波一个周期内函数,将矩形波分解为,固有频率,6.1,周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,可得稳态响应,将矩形波分解为,从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于,频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大,因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。,画出系统的响应频谱图,奇数,6.1,周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,6.2,任意激励作用下的受迫振动,物块受到冲量的作用时，物块的位移可忽略不计。但物块的,速度却变化明显。根据力学中的碰撞理论，可得物块受冲量,作用获得的速度,设冲量的大小为,作用在单自由度系统中，求响应。,对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。,1.,用冲量描述瞬态作用,Mechanical and Structural Vibration,如果取 为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应,初位移,初速度,得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应,如果 作用在 的时刻，未加冲量前，系统静止，则物块的响应为,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,同理，如果在,t,=0,时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，得其响应,如果 作用在 的时刻，则物块的响应为,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,用,(,t,),函数表示作用在极短时间内冲击力,6.2,任意激励作用下的受迫振动,表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。,但它对时间积分是有限数,1,。,函数的定义是,从积分式可见，如果时间以秒计，,(,t,),函数的单位是,1/s,。,用,单位脉冲,(unit impulse),函数,(,t,),表示,冲击力,冲量,表示施加冲量的瞬时,Mechanical and Structural Vibration,如果在,t,=0,的瞬时施加冲量，则相应的冲击力,当 ，即施加单位冲量时，冲击力为,F,是冲击力,(,t,),函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。,单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为,单位脉冲力作用等价于冲量 作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，,根据初始条件可确定,A,和,。最后得其响应,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,为了应用方便，单位脉冲函数的响应用,h,(,t,),表示。得单,自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应,有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应,称为单自由度系统的时域响应函数,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,h,(,t,),有以下特性,不难发现,h,(,t,),的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实质上是系统动特性在时域的一种表现形式。,h,(,t,),是单位脉冲冲量的响应，其量纲为,位移,/,冲量,。,系统对单位脉冲力的响应,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,6.2,任意激励作用下的受迫振动,作用有一任意激振力,F,(,t,),欠阻尼情形物块的运动微分方程,将激振力看作是一系列元冲量的叠加,元冲量为,得到系统的响应,Mechanical and Structural Vibration,由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应等于系统在 时间区间内各个元冲量的总和，即,得到系统的响应,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,上式的积分形式称为卷积。因此，线性系统对任意激振力的响应等于激励与单位脉冲响应函数的卷积。这个结论称为博雷尔,(Borel),定理，也称杜哈梅,(Duhamel),积分。,对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应,用单位脉冲函数响应表示，得到单自由度系统对任意激振力响应的统一表达式,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为,对于无阻尼振动系统的响应为,t,t,1,即激振力停止作用后，物块的运动称为剩余运动。,以,为初始条件的运动,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 无阻尼弹簧质量系统受到突加常力,F,0,的作用，试求其响应。,积分后得响应为,代入,在突加的常力作用下，物块的运动仍是简谐运动，只是其振动中心沿力,F,0,的方向移动一距离,解：取开始加力的瞬时为,t,=0,，受阶跃函数载荷的图形如图所示。设物块处于平衡位置，且 。,也是弹簧产生的静变形。,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,若阶跃力从,t,=,a,开始作用，则系统的响应为,t,a,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,解：在 阶段，系统的响应显然与上例的相同，即,例,2-10,无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲,作用，试求其响应。,当,t,t,1,时，,F,(,t,)=0,，得,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,系统的响应为,t,t,1,实际上，在,t,t,1,阶段，物块是以,t,=,t,1,的位移,x,1,和速度 为初始条件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。,将初始条件,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,6.2,任意激励作用下的受迫振动,作为研究线性振动系统的工具，,拉普拉斯变换,方法有广,泛的用途。它是求解线性微分方程，特别是常系数的线性微,分方程的有效工具。用拉氏变换可简单地写出激励与响应间,的代数关系。,现在说明如何用拉氏变换方法求解单自由度具有粘性欠,阻尼系统对任意激励的响应。由物块的运动微分方程,其中,f,(,t,),表示任意激振力。并设,t,=0,时，,对式两端各项作拉氏变换,Mechanical and Structural Vibration,如不计运动的初始条件，即令 ，则写成,传递函数,在拉氏域中，系统的响应是系统的传递函数和激励的乘积。,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,对式两端各项作拉氏变换,经整理得,是系统的响应在拉氏域中的表达式,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 具有粘性欠阻尼的系统，受到阶跃力,F,(,t,)=,F,0,的作用，且,t,=0,时，试用拉氏变换方法求系统的响应。,解：系统的传递函数由式求出,阶跃力的拉氏变换为,响应的拉氏变换为,引入记号,上式写成,例 题,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,其中系数可由部分分式方法确定,最后得到,对上式作拉氏逆变换，即得响应,例 题,6.2,任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 题,系统基础有阶跃加速度 ，初始条件为 ，求质,量,m,的相对位移。,解：由牛顿