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,*,静态场分析,一、静态场特性,二、泊松方程和拉普拉斯方程,三、静态场的重要原理和定理,四、镜像法,五、分离变量法,六、复变函数法,一、静态场特性,1.静态场基本概念,静电场,是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。,恒定电场,是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。,恒定磁场,是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。,静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。,静态场与时变场的最本质区别,：静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。,2.静态场的麦克斯韦方程组,1.静电场的泊松方程和拉普拉斯方程,二、泊松方程和拉普拉斯方程,静电场基本方程,静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。,泊松方程,拉普拉斯方程,无源区域,恒定电场的拉普拉斯方程,恒定电场基本方程,导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场,拉普拉斯方程,3.恒定磁场的矢量泊松方程,库伦规范,矢量泊松方程,恒定磁场基本方程,恒定磁场是无散有旋场。,矢量拉普拉斯方程,分解,小结：,两类静态场问题：,分布型问题：,已知场源，直接计算空间各点场强和位函数；,边值型问题：,给定边界条件，求有界空间的场分布。,静态场的边值问题，可归结为在给定边界条件下，求解,拉氏方程,和,泊松方程。,边值问题,研究方法,计算法,实验法,作图法,解析法,数值法,实测法,模拟法,定性,定量,分离变量法,镜像法、电轴法,微分方程法,保角变换法,有限差分法,有限元法,边界元法,矩量法,模拟电荷法,数学模拟法,物理模拟法,边值问题研究方法,积分法,三、静态场的重要原理和定理,1.对偶原理,（1）场源的概念,为了分析某些电磁场问题的方便，我们引入了磁荷和磁流的概念，这样场源的概念将扩大到,电荷、磁荷、电流,和,磁流,。,体磁荷密度,面磁荷密度,体磁流密度,引入以上等效场源后，,Maxwell,方程修改为,：,对应电流连续性方程，引入磁流连续性方程,电磁场的边界条件也做相应的修改,对于理想导体（=,），其边界条件为：,凡是满足理想导体边界条件的曲面称为,电壁,。,对于理想磁体（=,），其边界条件为：,凡是满足理想磁体边界条件的曲面称为,磁壁,。,磁流强度,图（a）是一密绕螺线管，电感量为L，长度为,l,通低频电流 ，我们可以将其看作一块磁铁，磁体内部有磁流K，磁铁两端分别有磁荷 和 ，因而构成一个,磁偶极子,（图b），且有,磁流强度,l,（a）,（b）,l,K,对图（c）所示,小圆环电流,就其远区辐射场而言，可以等效为图（b）所示磁流元,（c）,（2）对偶原理,只有电荷、电流,只有磁荷、磁流,存在以下对偶关系,电荷、电流,磁荷、磁流,两个方程组的数学形式完全相同，做对偶变换后可有一个方程组得到另一个方程组，可由一类边界条件得到另一类边界条件。,如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的数学形式也将是相同的，这就是,对偶原理,，亦称为,二重性原理,。具有同样数学形式的两个方程称为,对偶方程,，在对偶方程中，处于同等地位的量称为,对偶量,。,例,IL,r,z,K,l,r,z,IS,r,z,教材上总结出了静态场与恒定电场、静电场与恒定磁场之间的对偶关系。,应用对偶原理，可由一类问题的解，经过对偶量的替换，得到另一类问题的解；或者将单一问题按对偶原理分为两部分，这样工作量可以减半。,应用对偶原理，不仅要求方程具有对偶性，而且要求边界条件也具有对偶性。,在有源的情况下，对偶性依然存在，,2.叠加原理,利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问题的组合，便于求解。,若,和 分别满足拉普拉斯方程，则 和,的线性组合：,必然满足拉普拉斯方程。,3.惟一性定理,狄里赫利问题,第一类,边值问题,第二类,边值问题,第三类,边值问题,诺伊曼问题,（1）边值问题的分类,混合边值问题,（2）惟一性定理,惟一性定理,：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。,理解,静态场的边值问题能用解析法直接求解的并不多，许多问题需借助各种间接方法求解。那么用各种方法求得的边值问题的解是否正确？边值问题的解是不是独一无二的？这就是边值问题的,惟一性问题,。,惟一性定理对上述问题做了肯定的回答，它表明只要给出场域内的,位函数分布,及,边界面上的函数值,，则场分布是唯一确定的。,例：,图示平板电容器极板之间的电位，哪一个解 答正确？,答案,：（,C,）,图 平板电容器外加电源U,0,四、镜像法,待求区域的电场由分布电荷与边界条件共,同决定；,镜像法就是在待求区域之外，用一些假想,的电荷代替场问题的边界；,镜像法只使用于一些比较特殊的边界；,这些假想的电荷称为镜像电荷，大多是一,些点电荷或者线电荷；,镜像法的理论依据是唯一性定理；,镜像电荷的选取原则：,B、镜像电荷不能改变原边界条件。,A、镜像电荷必须位于待求区域之外；,1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像,镜像电荷有多大？放在什么地方？,图 平面导体的镜像,例：设无限大接地导体平面上方d处有一点电荷q，求上半空间电位。,镜像电荷为-q，放在和q对称的地方。,所以,对于两相交平面，角域夹角为,/n,，,n,为整数时，有,(2n,1),个镜像电荷。,对于平面边界，镜像电荷位于与实际电荷关于边界对称的位置上，且两者大小相，符号相反。,2.点电荷对接地导体球的镜像,例：一半径为a的导体球，外壳接地一点电荷q,1,置于距球心距离d处，求球外电位分布。,从而求得,另外，r,1,，r,2,可以表示为,镜像电荷的量值与原电荷一般不相等；,导体球在靠近点电荷一边感应密度大，而,远离的一边密度小，同时考虑到球上电荷,分布左右对称，所以镜像电荷应位于上半,球内的球心与实际电荷的连线上。,五、分离变量法（直角坐标系）,分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题。其主导思想就是将求解偏微分方程定解的问题转化为求解常微分方程的问题。,应用实例,例：,图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为 ，金属槽截面为正方形如图示,试求金属槽内电位的分布。,解：,选定直角坐标系,（D域内）,边值问题,分离变量法的前提,是假设待求函数有分离变量形式的解。,代入到二维拉氏方程：,分离常数,为实数，,为虚数。,为虚数，,为实数。,当 取不同形式的值时，的解：,为实数，,若在某一个方向的边界条件周期的，则该,坐标的分离常数必为实数，其解要选三角,函数；,若在某一个方向的边界条件是非周期的，,则该方向的解要选双曲函数；,若函数与某一坐标无关，则该方向的分离,常数为,0,。,结论：,要满足边界条件 只有选取：,为实数，,注意：不能得到A10,双曲函数,解题的一般步骤：,根据边界的几何形状和场的分布特征选,定坐标系，写出对应的边值问题（微分,方程和边界条件）；,分离变量，将一个偏微分方程，分离成,几个常微分方程；,解常微分方程，并叠加各特解得到通解；,利用给定的边界条件确定积分常数，最,终得到电位函数的解。,
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