平面线性系统的奇点及相

目录 上页 下页 返回 结束,目录 上页 下页 返回 结束,5.3,平面线性系统的奇点及相图,5.3.1,几个线性系统的计算机相图,5.3.2,平面线性系统的初始奇点,本节我们仍考虑被称为,平面系统的,二维自治系统,(5.3.1),其中 ，在上 连续且满足解的,存在唯一性条件。,为了研究系统（,5.3.1,）的轨线的定性性态，,必须弄清其奇点及其邻域内的轨线分布。比如,上节我们已知系统的任何出发于常点的轨线，,不可能在任一有限时刻到达奇点。反过来如果系,统的某一解 ，满足：,则点 一定是系统的奇点,。,一般来说，奇点及其附近轨线的性态是比较,复杂的。又因为对于系统的任何奇点 均,可用变换,(5.3.2),把（,5.3.1,）变为：,(5.3.3),且,(5.3.3),的奇点 即对应于,(5.3.1),的,移变换，所以不改变奇点及邻域轨线的性态。,奇点 。又因为变换,(5.3.2),只是一个平,因此，我们可假设 是,(5.3.1),的奇点，且,性态即可。所以设,(5.3.1),中的右端函数满足：,(5.3.4),如果 均是,的线形函,数。我们称之为,线性系统,，即,只须讨论,(5.3.1),的奇点,及其邻域的轨线,(5.3.5),5.3.1,几个线性系统的计算机相图,一个自治系统在奇点邻域的相图对奇点邻,域轨线的性态有很大的帮助。,Maple,可以方便地,画出其图形，给我们一个直观的形象。,Maple,画轨线图时候先要调入微分方程的软,件包，接着定义方程，给出变量及其范围，指定,初值，再给出步长、颜色等。看几个具体的例子。,例,5.3.1,用,Maple,描出系统,(5.3.6),在奇点附近轨线的相图。,解,用,Maple,解得,相,图,5.7,。,5.3.2,平面线性系统的初等奇点,考虑到一般的平面线性系统,（,5.3.5,）,其中系数矩阵 为,常数矩阵,。,如果 ，则 是系统,这时的奇点称为,系统的高阶奇点,。,下边讨论系统（,5.3.5,）的初等奇点。,根据线性代数的理论，必定存在非奇异,实矩阵 ，使得 成为 的若当,的惟一的奇点，这个奇点称为孤立奇点,.,而,则称 非为孤立奇点,而非孤立奇点充满一条直线，,（,Jordan,）标准型，且若当标准型的形式由,的特征根的不同情况而具有以下几种形式：,因而对系统（,5.3.5,）作变换,即 ，其中,是上边所说的,实可逆矩阵,，则系统,(5.3.5),变为,:,(5.3.10),从 而变换的几种形式就能容易的得出,平面系统（,5.3.10,）的轨线结构，至于,原方程组,(5.3.5),的奇点及附近的轨线结构只须,用变换,返回到就行了。,由于变换 不改变奇点的位置与类,型，因此我们只对线性系统的标准方程组给出,讨论。,记,设 的特征方程为：,则,特征方程为,，特征根为,(5.3.11),由特征根的不同情况分为四种情况来讨论,:,1.,特征根为不相等的同号实根,此时对应的标准型为,(5.3.12),容易求出其通解为,（,5.3.13,）,其中 是任意常数，对应于零解，,对应的 轴正负半轴都是轨线；,对应的 轴正负半轴是轨线；,当 时候，再分两种情况讨论：,（,1,），,同号且均为负数,这时消去 得,（,5.3.14,）,所以轨线均为以 顶点的抛物线，且,当 时由,我们可知：,当,时,即切线切 轴趋于,点。,当,时,即切线切 轴趋于,点。,且由于,(5.3.14),知此时原点 是,渐近稳定的,，,所以系统在原点及附近的相图如下图所示：,图,5.11(a),图,5.11(b),我们把这样的奇点称为,稳定结点,。,（,2,），,同号均为正数,这时关于,(1),的讨论在此适用只需将,改为 所以此时的奇点称为,不稳定结点,，,轨线分布如图,5.11,类似，仅是图上的箭头反向。,2.,为异号实根,这时仍有,(5.3.13),和,(5.3.14),，所以两个坐标轴的,正负半轴仍为轨线，但是由于 ，奇点附近,的轨线成为双曲线的且,若 ，则当 时，,若 ，则当 时，,轨线均以 轴,轴为渐近线，系统在原点及,附近的轨线分布如,:,图,5.12(a),图,5.12(b),这种奇点成为,鞍点,，,它是不稳定奇点,。,3.,为重根,这时由,Jordan,块,的不同分为两种：,(1),标准型为,(5.3.15),且当 时，,即 是渐近稳定的；,反之，当 时,为不稳定的。此时的,奇点称为,临界结点,（,星形结点,），,(2),若,Jordan,块,为二阶时，标准型为,(5.3.16),其通解为,(5.3.17),仍对应的是零件即奇点,对应的是 轴为轨线，但是,轴,不再是轨线，时消去 得出：,(5.3.18),由上式知：,又因为,所以有,因此所有轨线均切 轴于,点，这种奇点,称为,退化结点,。且当 时为,稳定的退化结点,，,当 时为,不稳定的退化结点,。,4.,这时系统的标准型为,(5.3.19),取极坐标变换,(5.3.19),即,化为,:,(5.3.20),下边分两种情况,:,（,1,）,此时解,(5.3.20),得出,其中 是任意常数，消去,得,这是,一族对数螺线,，这样的奇点称为,焦点，,且当 时是,稳定焦点,，时是,不稳定焦点,，,的正负决定了 增加时轨线是顺时针还是逆,时针绕原点旋转的。,(2),这时特征值是一对纯虚数,于是系统在极坐标下,的通解为：,为任意的常数且 。显然这是一族以原点,为中心的同心圆，这样的奇点称为,中心,，,中心是,稳定奇点,但不是渐近稳定的,。,归纳上边的讨论得出，系统,(5.3.5),的奇点,是初等奇点时候根据它的系数矩阵 的,特征方程,(5.3.11),有如下分类：,1,）当 时，为,鞍点,；,2,）当 且 时是结点且 是稳,定的，不稳定的；,3),当 且 时,是,临界结点或退,化结点,且 是稳定的，是不稳定的；,4),当 时是,焦点且,为稳定的，为不稳定的,;,5),当 且 时，是中心。,由此知道参数 平面，被 轴，正,轴,别对应于系统的鞍点区，焦点区，结点区，,及曲线 分成了几个区域，分,中心区，退化和临界结点区等等，,点。,但是 平面的,轴对应的是系统的高阶奇,例,5.3.6,画出下面的线性系统的奇点附近相图,解,容易算出,所以,是系统的鞍点。,我们求解如下：,(,当 时,),得到,.,同样的可以分析画出奇点附,近的轨线分布如,图,5.18,所表示。,x,y,O,x,y,O,O,x,y,y,x,y,x,