偏导数及其在经济中的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上一页,目录,下一页,退 出,7.3 偏导数及其在经济中的应用,一.偏导数的定义与计算,定义1,设函数 在点 的某一邻域内有定义，当,y,固定在 ，而 在 处有改变量 时，相应地，函数有改变量,如果,存在,则称,在点 处对有,x,的偏导数,记为,或,上一页,目录,下一页,退 出,同理,可定义,对,y,的偏导数,还可使用以下记号,上一页,目录,下一页,退 出,定义2,如果函数 在区域,D,内每一点(,x,，,y,)处对,x,的偏导数都存在，那么这个偏导数就是,x,y,的函数，称为函数 对,x,的,偏导函数,，记作,，,，,，,即,同理，可定义,上一页,目录,下一页,退 出,例1 求,在点 处的偏导数.,解,所以,上一页,目录,下一页,退 出,例2 求,的偏导数 .,注意到对y求偏导数的时候,x始终不变,所以我们可以先把x的值代入,简化运算.,解,上一页,目录,下一页,退 出,例3 求,的偏导数.,解,例4 求,的偏导数.,解,由对称性可知,上一页,目录,下一页,退 出,二.偏导数的几何意义,偏导数的几何意义可直接由一元函数导数的几何意义得出，由于 就是 在 的导数，而 在几何上可以看作是平 面 截曲面 得到的截线 .因此，的几何意义是:截线 在点 的切线 对,x,轴的斜率，如下图所示.,图7-18,同理,可得,的几何意义.,上一页,目录,下一页,退 出,三.偏导数与连续性的关系.,在一元函数中,我们知道函数可导必连续,那么在二元函数中,偏导数与连续性有什么样的关系呢?,例7 考察函数,在点(0,0)处的偏导数与连续性.,上一页,目录,下一页,退 出,解,由第二节的例4我们知道,f,(,x,y,),在(0,0)处没有极限,所以不连续.由此我们可知道,偏导数存在并不能推出函数在该点是连续的,.,上一页,目录,下一页,退 出,四.高阶偏导数,设函数,z,=,f,(,x,y,),在区域,D,内具有偏导数 和 ，如果这两个函数又存在偏导数，则称之为函数,z,=,f,(,x,y,),的,二阶偏导数,.按照对变量求导次序的不同,共有下列四种不同的二阶偏导数(等号右边为记号):,上一页,目录,下一页,退 出,其中 与 称为,二阶混合偏导数,.,类似地，可以定义三阶、四阶、,n,阶偏导数.把二阶及二阶以上的偏导数统称为,高阶偏导数,.,例8 设,求二阶偏导数.,解,.,上一页,目录,下一页,退 出,定理1,如果函数,z,=,f,(,x,y,)的两个二阶混合偏导数,及 在区域,D,内连续，则在该区域内有,.,例9 验证函数 满足拉普拉斯方程,.,上一页,目录,下一页,退 出,证,令,则 ,.于是,由函数关于自变量的对称性，可推断,上一页,目录,下一页,退 出,五.偏导数在经济中的应用,1.边际分析,设函数,z,=,f,(,x,y,)在点的偏导数存在，称,为函数,z,=,f,(,x,y,)在点 处对,x,的边际，称 是对,x,的边际函数.,类似地，称 为,z,=,f,(,x,y,)在点 处对,y,的边际，称 是对,y,的边际函数.,上一页,目录,下一页,退 出,边际 的经济含义是:在点 处,当,y,保持不变而,x,多生产一个单位,z,=,f,(,x,y,)近似地改变 个单位.,例10 某汽车生产商生产,A,B,两种型号的小车，其日产量分别用,x,y,(单位：百辆)表示，总成本(单位：百万元)为,求当,x,=5,y,=3时，两种型号的小车的边际成本，并解释其经济含义.,上一页,目录,下一页,退 出,解,总成本函数的偏导数,当,x,=5,y,=3时，,A,型的小车边际成本为,B,型的小车边际成本为,其经济含义是：当,A,型小车日产量为5百辆，,B,型小车日产量为3百辆的条件下.,上一页,目录,下一页,退 出,(1)如果,B,型小车日产量不变而,A,型小车日产量每增加1百辆，则总成本大约增加53百万元；,(2)如果,A,型小车日产量不变而,B,型小车日产量每增加 1百辆，则总成本大约增加17百万元.,2.偏弹性分析,设函数,z,=,f,(,x,y,)在点的偏导数存在，,z,=,f,(,x,y,)对,x,的偏改变量记为,称 的相对改变量 与自变量,x,的相对改变量,之比,上一页,目录,下一页,退 出,为函数,f,(,x,y,)在点 处对,x,从 到 两点间的弹性.,令,x,0，则式上式的极限称为,f,(,x,y,)在点 处对,x,的偏弹性，记为 ，即,对,x,偏导数的经济含义是：在 处，当,y,不变而,x,产生1%的改变时，,f(x,y),近似地改变%.,上一页,目录,下一页,退 出,类似地，可定义,f,(,x,y,)在点 处对,y,的偏弹性，记为 ，即,称,为,f,(,x,y,),分别对,x,和,y,的偏弹性函数.,上一页,目录,下一页,退 出,需求偏弹性分析,设某产品的需求量,Q,=,Q,(,p,y,),其中,p,为该产品的价格,y,为消费者收入，则称,为需求,Q,对价格,p,的偏弹性.,为需求,Q,对收入,y,的偏弹性.,上一页,目录,下一页,退 出,例11设某城市计划建设一批经济住房，如果价格(单位：百元/平方米)为,p,，需求量(单位：百间)为,Q,，当地居民年均收入(单位：万元)为,y,，根据分析调研，得到需求函数为,求当,p,=30,y,=3时，需求,Q,对价格,p,和收入,y,的偏弹性，并解释其经济含义.,解,上一页,目录,下一页,退 出,又,因此，需求,Q,对价格,p,和收入,y,的偏弹性分别为,其经济含义是：当价格定在每平方米3000元，人均年收入3万元的条件下，若价格每平方米提高30元而人均年收入不变，则需求量将减少9%；若价格不变而人均年收入增加100元，则需求量将增加9%.,上一页,目录,下一页,退 出,交叉弹性分析,设有,A,，,B,两种相关的商品，价格分别为 和 ，消费者对这两种商品的需求量 和 由这两种商品的价格决定，需求函数分别表示为,及,对需求函数 ,当 不变时，需求量 对价格 的偏弹性 称为直接价格弹性，即,上一页,目录,下一页,退 出,对需求函数 ,当 不变时，需求量 对价格 的偏弹性 称为交叉价格弹性，即,需求量 的交叉价格弹性 ,可用于分析两种商品的相互关系：,(1)若 0，则表示当商品,A,的价格 不变，而商品,B,的价格 上升时，商品,A,的需求量将相应地增加.,上一页,目录,下一页,退 出,(3)若 =0，称两商品相互独立.,例13某品牌数码相机的需求量,Q,，除与自身价格(单位：百元),有关外，还与彩色喷墨打印机的价格(单位：百元),有关，需求函数为,求 =20,=5时需求量,Q,的直接价格弹性和交叉价格弹性，并说明数码相机和彩色喷墨打印机是相互补充关系还是相互竞争关系？,上一页,目录,下一页,退 出,解,时,故需求量,Q,的直接价格弹性为,需求量,Q,的交叉价格弹性为,.,上一页,目录,下一页,退 出,由 0，故数码相机和彩色喷墨打印机是相互补,充关系.,