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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三章 第二节,矩阵的秩,标准型中的,r,秩,定义,定义,3,：矩阵,A,中，任取,k,行,k,列，位于交叉点处的元素形成的,k,阶行列式。称为矩阵,A,的,k,阶行列式,。,定义,4,：,A,是有个不等于,0,的,r,阶子式，且所有,r+1,阶子式全都等于,0,。则,r,称为矩阵,A,的,秩,。,零矩阵的秩规定为,0,。,基本常识,秩：非零子式的最高阶数。,非零矩阵的秩一定是正整数。,m,行,n,列的矩阵,A,：秩不会超过行数或列数。,转置之后，秩不变。,方阵的秩,A,是,n,阶方阵,可逆矩阵，非奇异矩阵，,满秩矩阵,。,不可逆矩阵，奇异矩阵，,降秩矩阵,。,行阶梯矩阵的秩,等于非零行数,等价矩阵的秩相同,定理,2,：,证明思路：只需要证明三种基本的变换都不改变矩阵的秩即可,这里只考虑,行,变换的三种情形，,列,变换同理。,首先考虑的是，在三种行变换下，,A,变成,B,之后，有：,互换,两行之后，新矩阵的子式和原来的可能相同或变成相反数。,秩不变,数乘,某一行之后，新矩阵的子式和原来的可能相同或变成原来,k,倍。,秩不变,一行加在另一行上，变换后的秩不会变小。,B,的秩不小于,A,的秩,综合结果,前两种变换不影响秩。,第三种变换（消元变换），秩可能变大。,但是注意到初等变换可逆：,所以三种变换都不改变秩。,列变换也是相同道理。,结论：,等价矩阵的秩相同,。,推论,P,，,Q,是两个可逆矩阵，则：,回忆：,A,、,B,行等价,PA=B,A,、,B,列等价,AQ=B,A,、,B,等价,PAQ=B,计算秩,寻找非零子式,照样选择这三列，,选择适当的三行。,行变换不改变列关系,它和原矩阵的这三列之间,也是行变换的关系。,秩相同。,系数矩阵和增广矩阵的秩,行变换,未知数矩阵,秩的性质,增加一列（行）,列变换,矩阵加法,矩阵乘法,以后再证明,例题,8,例题,9,列满秩矩阵在方程组中的特殊性质,
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