计算方法 第二章 数值积分

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,3.,49,第,2,章 数值积分,1,机械求积,2,牛顿,-,柯特斯公式,3,龙贝格算法,4,高斯求积公式,5,数值微分,引言,依据微积分基本定理,只要找到被积函数 的原函数 ，,，,便有牛顿,-,莱伯尼兹公式,由于大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数， 而实验,测量或数值计算给出的通常是一张函数表，所以牛顿,-,莱伯尼兹公式,往往不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。,牛顿,(,Newton,1643,年,-1727),莱布尼茨（,Gottfried Wilhelm Leibniz,，,1646,年,1716,年）,数值求积的基本思想1,依据积分中值定理，,就是说，底为 而高为 的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形,的面积。,数值求积的基本思想2,依据积分中值定理，,就是说，底为 而高为 的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形,的面积。,取 内若干个节点 处的高度 ，通过加权平均的方法,生成平均高度 ，这类求积公式称,机械求积公式,：,式中 称为,求积节点,， 称为,求积系数,，亦称伴随节点的,权,。,重要,代数精度的概念1,数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供求积,公式对于“尽可能多”的函数是准确的。,如果机械求积公式对 均能准确成立，,但对 不准确，则称机械求积公式具有,次代数精度,。,重要,代数精度的概念2,代数精度的概念3,代数精度的概念4,数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供求积,公式对于“尽可能多”的函数是准确的。,如果机械求积公式对 均能准确成立，,但对 不准确，则称机械求积公式具有,次代数精度,。,事实上，令求积公式对 准确成立，即,得,可见，在求积公式节点给定的情况下，求积公式的构造问题本,质上是个解线性方程组的代数问题。,m=n,时,存在唯一解.,插值型的求积公式,设已给 在节点 的函数值，作插值多项式,其中,由于多项式的求积是容易的，令,这样得到的求积公式称为,插值型,的求积公式，其求积系数为,定理,机械求积公式至少有 次代数精度的充分必要条件是它,是插值型的。,重要,定理的证明,3.2,牛顿柯特斯公式,设分 为 等份，步长 ，取等分点,构造出的插值,型求积公式（其中 ）,称作 阶,牛顿柯特斯 公式(,Newton-Cotes),。,Cotes,系数与,a,b,无关.,牛顿柯特斯公式2,设分 为 等份，步长 ，取等分点,构造出的插值,型求积公式（其中 ）,称作 阶,牛顿柯特斯 公式,。一阶和二阶牛顿柯特斯公式分别是,梯形公式,柯特斯系数见,P.61, 8,阶柯特斯系数中有负数.,和,辛甫生公式,四阶牛顿柯特斯公式，也称为,柯特斯公式,：,重要,几种低阶求积公式的代数精度,阶的牛顿柯特斯公式至少有 次代数精度，事实上，二阶的,辛甫生公式与四阶的柯特斯公式在精度方面会获得 “额外” 的好处，,它们分别有,3,次和,5,次代数精度。,因此，在几种低阶的牛顿柯特斯公式中，人们更感兴趣的是梯,形公式（它最简单、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。,几种低阶求积公式的余项1,几种低阶求积公式的余项2,几种低阶求积公式的余项,利用线性插值的余项公式以及积分中值定理，我们可以得到梯形公式的余项：,利用埃尔米特插值的余项公式以及积分中值定理我们可以得到辛甫生公式的余项：,另外，我们可以得到如下柯特斯公式的积分余项：,复化求积公式,在使用牛顿柯特斯公式时，通过提高阶的途径并不总能取得,满意的效果，为了改善求积公式的精度，一种行之有效的方法是复,化求积。类似于等距离分段插值.,将 分为 等份，步长 ,分点,所谓复化求积公式，就是先用低阶的求积公式求得每个子段,上的积分值 ，然后用 作为积分 的近似值。,复化梯形公式有如下形式：,其余项为：,复化求积公式2,复化求积公式的截断误差,梯形法的递推化,实际计算中，由于要事先给出一个合适的步长往往很困难，所,以我们往往采用变步长的计算方案，即在步长逐步分半的过程中，,反复利用复化求积公式进行计算，直到所求得的积分值满足精度要,求为止。,设 表示复化梯形求得的积分值，其下标 是等分数，由此,则有递推公式,其中，,梯形法的递推化2,梯形法的加速,梯形法的算法简单，但精度低，收敛的速度缓慢。如何提高,收敛速度以节省计算量呢？,由复化梯形公式的截断误差公式可得，,整理得，,这可以作为事后误差估计.同时由此可知，,这样导出的加速公式是辛甫生公式：,龙贝格算法1,龙贝格算法2,我们可以在步长逐步分半过程中将粗糙的积分值 逐步加工为,精度较高的积分值 ：,或者说将收敛缓慢的梯形值序列 加工成收敛迅速的积分值序,列 ，这种加速方法称为,龙贝格算法,。,龙贝格算法3,作业,高精度的求积公式,不失一般性，设 ，考虑下列求积公式, 有,n,个系数和,n,个节点.,我们将会看到，适当选取系数和求积节点 可以使上述求积公式具有 次代数精度，这种高精度的求积公式称为,高斯（,Gauss,）公式,，高斯公式的求积节点称为,高斯点,。,Gauss,(1777-1855)是德国数学家 ，也是科学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家,有“数学王子”之称。高斯最出名的故事就是他十岁时，计算算术题：123100？。,Gauss,在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。,物理学家、数学家卡尔,弗里德里希,高斯,高斯,（,Johann Carl Friedrich Gauss,）（,1777,年,4,月,30,日,1855,年,2,月,23,日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学家之一，有数学王子的美誉，并被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名。高斯,1777,年,4,月,30,日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，,1855,年,2,月,23,日卒于哥廷根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。,1795,1798,年在格丁根大学学习,1798,年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从,1807,年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。,高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。,1792,年，,15,岁的高斯进入,Braunschweig,学院。在那里，高斯开始对高等数学作研究。独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”,(Law of Quadratic Reciprocity),、“质数分布定理”,(prime numer theorem),、及“算术几何平均”,(arithmetic-geometric mean),。,1795,年高斯进入哥廷根大学。,1796,年，,19,岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果，就是,正十七边形尺规作图之理论与方法,。,5,年以后，高斯又证明了形如,Fermat,素数,边数的正多边形可以由尺规作出。,1855,年,2,月,23,日清晨，高斯于睡梦中去世。,高斯的肖像已经被印在从,1989,年至,2001,年流通的,10,德国马克的纸币上,日本 元 福泽谕吉，近代启蒙思想家和教育家。明治维新时期的日本重要大臣。,日本 元 新渡户稻造，大教育家，农学家。名著,武士道, ,”东京大学预备校“一高”的校长、东京女大的首任校长。,Gauss,公式1,Gauss,公式2,高斯点的基本特性,尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是由于所归结,的方程组是非线性的，而它的求解存在实质性的困难，所以我们要,从研究高斯点的基本特性着手解决高斯公式的构造问题。,设 是求积公式中的高斯点，令,则有如下结论：,定理,节点 是高斯点的充分必要条件是多项式,与一切次数 的多项式 正交，即成立,定理证明,Gauss,公式3,作业,求两个节点的高斯求积公式,勒让德多项式,以高斯点 为零点的 次多项式,称为,勒让德,(Legendre),多项式,。,一般的，勒让德多项式可以依据,来求得。,，,，,，,，,，,3.5,数值微分,按照数学分析的定义，导数 是差商 当,时的极限。于是我们可以用差商作为导数的近似值从而获得一种简,单的数值微分方法。如果所用的差商分别为向前、向后以及中心差,商，那么我们就可分别建立如下的三种数值微分法,其中第三种方法称为,中点方法,。,插值型的求导公式,设已知 在节点 的函数值，利用所给定数据,作 次插值多项式 ，并取 的值作为 的近似值，这,样建立的数值公式,统称为插值型求导公式。,应当指出，即使 与 处处相差不多， 与 在,某些点仍然可能出入很大。一般的，我们只用它求取某个节点 上,的导数值，这是我们才有某种意义下比较准确的余项公式来保证导,数值的精度。,