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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,预备知识,1.,集合的概念,在数学中，把具有某种特定性质的事物组成的总体称,否则，记为,一、集合,如果元素,在集合,中，记为,为一个,集合,.,集合中的事物称为该集合的,元素,.,只有有限个元素的集合称为,有限集,，否则称为,无限集,.,常用数集,:,自然数集,:,整数集,:,有理数集,:,复数集,:,2.,集合的运算,集合的,交,:,集合的,并,:,集合的,差,:,设 是两个集合，由此定义如下几个集合：,集合的运算满足如下运算率：,交换率,:,结合率,:,分配率,:,3.,区间和邻域,开区间,:,闭区间,:,设,是实数，且,半开半闭区间,:,无穷区间,:,注意：无穷端不能写成闭的记号,设,是实数，且 则定义,点,的 邻域,为集合：,邻域,：,如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为,点,的空,心邻域,：,1.,映射的概念,二、映射,设,是两个非空集合，如果存在一个,法则,使得,而元素,称为,的象，记作,，,即,对,中的每个元素 按此法则在,中有唯一的元素,与之对应，那么称,为,从,到,的映射,，记作,例,设,则,是,到 的映射,.,例 设,则,是,到 的映射,.,2.,几类重要映射,一一对应,：既单又满的映射称为一一对应,.,例,在前面的两例中，例,2,是一一对应，而例,1,则不是,.,设,是,到 的映射,.,满射,：若 即,使得,单射,：若,则必有,3.,逆映射与复合映射,则,：,逆映射：设,是,到 的一一映射，则对,中任一元素,例,设,可以确定,中的唯一元素 满足 称此对应,关系为映射,的,逆映射,，记为,复合映射,：设有映射,其中,称此映射为由 构成的复合映射，记为,由此可以确定一个从,到,的映射,例：设,则复合映射 为,1.,概念,三、一元函数,从数集 到实数集,的任一映射,称为定义在,上的,称为 的图象,.,而数集,则称为函数,一元函数,，通常记为 而,中的集合,的,定义域,.,注：在以后的讨论中，更多的是函数的定义域以默认的,例 则定义域为,例 则定义域为,方式给出，即定义域为使,表达式有效的一切实数,.,以下例中函数的定义域均为实数集。,例,3,符号函数,例,取整函数,1 2 3 4 5,-,2,-,4,-4 -3 -2 -1,4,3 2 1,-,1,-,3,2.,函数的几种特性,有界,无界,有界性,设函数 的定义域为 数集,如果 都有 就称,在 上有界,否则称为无界函数,.,例,在,上是有界函数，,在 上无界,.,域内是无界函数,.,例 试说明函数 在 的任何空心邻,解 设 ，取 ，,其中,则,所以 无界,.,单调性,设函数,的定义域为 区间,如果对任意的 当 时，总有,则称函数,为区间,上的单调增加函数；,如果,时，总有,则称函数,为区间,上的单调减少函数,.,图形特征：,单调增加函数图形,单调减少函数图形,奇偶性,设函数,的定义域为,关于原点对称，,如果对任意的,都有,就称,为偶函数；,如果对任意的,都有,就称,为奇函数,.,图形特征：,偶函数,奇函数,使得对任意的,当 总有,通常我们说的周期指的是最小正周期,.,周期函数,设函数 的定义域为 如果存在数,就称,为周期函数，,称为 的周期,.,例如， 的最小正周期是,例：狄利克雷函数,则任何非零有理数都是其周期，但没有最小正周期,.,3.,反函数和复合函数,反函数,设函数,是一一对应， 则其逆映,注：习惯上用,表示为自变量，所以函数 的,射 为 的反函数,.,的反函数 仍表示为,注：函数,与它的反函数 的图形,关于 对称,.,复合函数,复合函数本质上是复合映射在函数上的推广,.,当复合映射定义中的几个集合均为数集时，即得到复合,函数的定义,.,4.,基本初等函数,幂函数 （,是常数）,指数函数,对数函数,三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,反三角函数,反正弦函数,反余弦函数,反正切函数,反余切函数,5.,初等函数,由常数函数及基本初等函数经有限次的四则运算和,有限次的复合运算所得到的函数称为初等函数,.,6.,双曲函数,最后再简单介绍在工程技术中经常用到的一类函数,双曲正弦函数,双曲余弦函数,双曲函数,.,
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