插值与拟合方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2. 插值法,在生产和实验中，常常需要根据一张表格表示的函数推算该表中没有的函数值.解决此类问题的简单途径之一利用插值法。,插值在数学发展史上是一个老问题，它是和Gauss, Lagrange, Newton等在著名数学家连在一起的。它最初来源于天体计算由若干观测值计算人一时刻星球的位置。现在，插值法在工程技术和数据处理有许多直接应用，而且也是数值积分、数值微分的基础。,2.1 插值概念与基础理论,2.1.1 插值问题的提法,对于给定的函数表,x,x,0,x,1,.,x,n,Y=f(x),y,0,y,1,.,y,n,(其中 在a,b上连续，,x,0，,x,1，,x,n,是 a,b上的 n+1个互异的点)，在某函数类,(x),中求一个函数,(x),，使,(x,i,)=y,i, (i=0,1,2,n) (2),（1）,并用,函数,(x),作为函数 y=f(x) 的近似函数，即,y= f(x) (x) , ( xa,b ),这类问题称为,插值问题,。 a,b称为,插值区间,，,x,0, x,1, . , x,n,称为,插值节点,，（2）称为,插值条件,，插值条件是选择近似函数的标准，满足此条件的近似函数,(x),称为,插值函数,，,f(x),称为,被插值函数,。,函数类,(x),有多种取法，常用的有代数多项式、三角函数和有理函数。,最简单的插值函数是代数多项式,，相应的插值问题称为,多项式插值,。,最简单的插值函数是代数多项式,，相应的插值问题称为,多项式插值,。,根据所给函数表（1），求一个次数不高于n的多项式,P,n,(x)=a,0,+a,1,x+a,n,x,n, (3),使,p,n,(x,i,)=y,i, （ i= 0,1,2,，n） (4),满足插值条件（4）的多项式（3），,称为函数y=,f(x) 在节点,x,0,，x,1,，x,n,处的n次插值多项式。,2.2.2,多项式插值的理论基础,求,的n次插值多项式,的几何意义，就是,上的若干个节点，作一条代数曲线,来近似代替曲线,。如图所示。,通过曲线,a,0,+a,1,x,0,+a,n,x,0,n,=y,0,a,0,+a,1,x,1,+a,n,x,1,n,=y,1,.,(5),a,0,+a,1,x,n,+a,n,x,n,n,=y,n,插值多项式的存在唯一性,由插值条件（4）知，插值多项式P,n,(x)的系数a,0,a,1, a,n,满足下列线性方程组,由于,x,i,互异，所以(6)右端不为零，从而方程组(5)的解 a,0,a,1,a,n,存在且唯一。于是有,而,a,i,(i=0,1,2,n)的系数行列式是Vandermonde行列式,(6),定理1,满足插值条件（4）的n次次插值多项式是存在且唯一的。,误差估计,从前面的分析知道，用代数多项式,来近似代替曲线,。,除了在节点处没有误差外，,在其它点上一般都有误差。若记,的截断误差（插值余项）,则,就是用,代替,定理2,设,则对任意,为,在n+1个节点,，有余项,其中,任意的,存在。,上的n次插值多项式，,（7）,应当指出，余项表达式只有在 f(x) 的高阶导数存在时才能应用。, 在 （a，b）内的具体位置通常不可能给出，如果我们可以求出,，,那么插值多项式,L,n,(x)逼近f(x),的截断误差是,(11),2.2 插值多项式的求法,在前面讨论插值多项式的存在唯一性时，实际上已提供了它的一种求法，即通过求解线性方程组来确定其系数a,i,(i=0,1,2,n),但是这种方法不仅计算量大，而且因不能获得简明的表达式而给理论和应用研究带来不便。在这里我们学习两种简便而实用的求答。,2.2.1 拉格朗日插值多项式,在线性代数中知道，所有次数不超过n次的多项式构成一个n+1维线性空间。其基有各种不同的取法。因此尽管满足条件（4）的n次插值多项式是唯一的，然而它的表达式可以有多种不同的形式。如果取满足条件：,的一组n次多项式,作为上述,线性空间的基，则容易看出,因此，由n+1个代数多项式,线性生成的多项式（10）就是满足插值条件的n次插值多项式。,（10）,（9）,满足条件（9）的多项式,称为n+1个节点的n次基本插值多项式（或n次基函数）,显然，求拉格朗日多项式的关键是求n次插值基函数。,因此，可设,因为,为,n,次多项式，且,两种特殊的,Lagrange插值多项式,1.线性插值(两点插值),最简单的插值是线性插值(此时n=1),这时插值问题就是求一次多项式,P,1,(x)=a,0,+a,1,x,使它满足条件,P,1,(x,0,)=y,0, P,1,(x,1,)=y,1,这时,于是线性插值多项式为,即,它就是通过M,0,(x,0,y,0,)和M,1,(x,1,y,1,)两点的线段.,2.抛物插值,线性插值仅仅用两个节点以上的信息，精确度较差。为了提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值问题(n=2)：,这时,由此得到抛物插值多项式,抛物插值又称三点插值.,例2,已知,的函数表,10 11 12 13 14,2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 2.6391,并估计误差。,分别用拉格朗日线性和抛物线插值求,的近似值，,2.3 分段低次插值,插值的目的是数值逼近的一种手段，而数值逼近，为了得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在，我们来讨论一下这个问题。,我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，n) 上的n次插值多项式Pn (x) 的余项,设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时时，余项随n增大而减少，这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这样吗？,1901年龙格(Runge) 给出一个例子:,定义在区间-1，1上，这是一个光滑函数，它的任意阶导数都存在，对它在-1，1上作等距节点插值时，插值多项式情况，见图:,从图中，可见，在靠近-1或1时，余项会随n值增大而增大，如P,12,(0.96)=36!但f(0.96)=0.25,从图中，还可发现，在0附近插值效果是好的，即余项较小，另一种现象是插值多项式随节点增多而振动更多。,这种插值多项式当节点增加时反而不能更好地接近被插之数的现象，称为,龙格现象,。,上述现象和定理，告诉我们用高次插值多项式是不妥当的，从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍入误差的增大，从而引起计算失真。那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一种办法。实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。,分段线性插值的构造,：,设f(x)是定义在a,b上的函数，在a,b上节点,a= x,0, x,1,x,2,x,n-1,x,n,=b,的函数值为 y,0, y,1,y,2,y,n-1,y,n 。,(x)在每个子区间xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是一次插值多项式;,这种分段低次插值称为,分段线性插值,.在几何上就是用折线段带代替曲线,故分段线性插值又称为,折线插值,.,分段线性插值曲线图：,曲线的光滑性较差,在节点处有尖点,但如果增加节点的数量,减小步长,会改善插值效果,分段二次插值,即：选取跟节点x最近的三个节点x,i-1,x,i, x,i+1,进行二次插值，即在区间x,i-1, x,i+1,，取：,这种分段的低次插值叫分段二次插值，在几何上就是用分段抛物线代替y=f(x)，故分段二次插值又和分段抛物插值。,什么是样条:,是 指飞机或轮船等的制造过程中为描绘,出光滑的外形曲线(放样)所用的工具,样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线,在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的,1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数,2. 4,三次样条,插值,-(1),定义1.,、三次样条插值函数,x,i,0,1,2,3,y,i,0,0.5,2,1.5,x,i,1,2,4,5,y,i,1,3,4,2,在科学实验中，经常需要从一组实验数据( xi,yi)出发，求函数y=f(x)的一个近似表达式y=y(x)（通常称为经验公式）。从几何上看，就是通过给定m个数据点，求曲线y=f(x)的一条近似曲线y=y(x)使这条曲线尽可能与所给的m个点相吻合。,2.5 曲线拟合的最小二乘法,例1 考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表,是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数,的记录:,2.5.1 最小二乘法的提法,要求出拉伸强度和倍数的关系，插值法虽然在一定程度上，可以根据函数表求函数的近似表达式。但用来解决这里提出的问题存在明显缺陷：,1. 实验提供的数据带有误差，使用插值法会保留这些误差，从而失去原数据表示的规律。,2.实验数据往往很多，用插值法得到的近似表达式明显缺乏使用价值。,为了获得便于应用的经验公式，不用插值标准可能更合适，最小二乘法是解决这类问题的一种较好方法。,并且24个点大致分,布在一条直线附近,-(1),必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点,一般使用,在回归分析中称为残差,称为平方误差,在回归分析中称为残差平方和,从而确定,(1),中的待定系数,残差的大小可以衡量近似函数的好坏。,求出,使残差的平方和最小的方法称为曲线拟合的,最小二乘法或最佳平方逼近。,用最小二乘法求近似函数（经验公式）的,基本步骤,如下：,(1) 确定近似函数类,即确定近似函数,的形式。,这并非单纯的数学问题,与其它各领域的专门知识有关.数学上,通常根据在坐标纸上所描点的情况来选择,的形式,(2) 最小二乘解。,即求使残差的平方和最小的近似函数,求系数,使,2.5.2 最小二乘法的求法,多项式拟合,设已知点,求m次多项式,来拟合函数,达到最小。,于是得线性方程组,即,当拟合函数是一元函数时，所对应的函数图形是平面曲线。这时，数据拟合问题的几何背景是寻求一条近似逼近给定离散点的曲线，故称为,曲线拟合问题,。,由于函数,达到最小,由高等数学知识有,-(3.1),方程组(3.1)称为,法方程组,.可以证明,该方程组有唯一解,并且相应的函数,就是满足（3.1）的,最小二乘解,。,2.5.3 用Matlab作最小二乘拟合,例2,设一发射源强度公式为,观测数据如下:,试用最小二乘法确定I与t的关系式。,解,将观测数据化为,所以,即,于是,