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,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,主要内容,第十二讲,特征值与特征向量,特征值与特征向量的概念、求法；,特征值与特征向量的性质.,基本要求,理解矩阵的特征值与特征向量的概念，,了解其性质，并掌握其求法.,1,一、特征值与特征向量的概念,第二节,方阵的特征值与特征向量,定义,设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零列向,量 使关系式,成立，,那么这样的数 称为方阵 的,特征值；,非,零向量 称为方阵 的,对应于特征值 的特征向量.,注意：,关系式 是特征值与特征向量满足的条,件式，由此可知 必须为方阵.,零向量显然满足关系式 ，但零向量不,是特征向量.,特征向量是非零向量.,2,二、特征值与特征向量的求法,1.,结论的引入,若 是 的特征值， 是 的对应于 的特征向,量，则有,方程 有非零解，且 是它的,一个非零解,是代数方程 的根.,3,以 为未知数的一元 次方程,称为方阵 的,特征方程.,以 为变元的 次多项式 ，即,称为方阵 的,特征多项式.,4,2.,结论, 矩阵 的特征方程 的根就是 的,特征值. 在复数范围内 阶矩阵有 个特征值(重,根按重数计算)., 设 是方阵 的一个特征值，则齐次方程,的全体非零解就是 的对应于特征值 的全部特,征向量；,齐次方程 的基础解系就是,对应于特征值 的全体特征向量的最大无关组.,5,例1,求矩阵 的特征值和特征向量.,解,析：这是一道非常简单的求特征值和特征向,量的题目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和,步骤.,的特征多项式,所以 的特征值为,6,当 时，对应的特征向量应满足,即,解得,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,7,当 时，对应的特征向量应满足,即,解得,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,8,例2,求矩阵,的特征值和特征向量.,解,的特征多项式,所以 的特征值为,9,当 时，解齐次方程 ，,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,10,得基础解系,当 时，解齐次方程 ，,所以对应于 的全部特征向量为,11,例3,求矩阵,的特征值和特征向量.,解,的特征多项式,所以 的特征值为,12,当 时，解齐次方程 ，,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,13,得基础解系,当 时，解齐次方程 ，,所以对应于 的全部特征向量为,( 不同时为0,).,14,说明,例2和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致.但是，要注意它们的区别，在例2中，对应于2重特征值 仅有一个线性无关特征向量；在例3中，对应于2重特征值 有两个线性无关特征向量.,15,三、特征值与特征向量的性质,设 阶矩阵 的 个(在复数范围内,),特征值为,则,( 的,迹,),1.,特征值的性质,若 是 的特征值，且 ，则 是矩阵,的特征值.,证明,举例,证明,举例,16,若 是 的特征值，则 是矩阵 的,特征值.,一般地，若 是 的特征值，且,则 是矩阵 的特征值.,说明,如果 ，则上述结论中的幂指数可取任意实数.,证明,若 是 的特征值，且 ，则 是 的,特征值.,证明,特征值的性质,17,若 阶矩阵 的秩为 ，则 0 一定,是的特征值. 但是必须注意 0 不一定 是重特,征值.,证明,设 为 阶矩阵，则 与 的特征值相同.,证明,特征值的性质,18,若 是 的对应于 的特征向量，则,也是 的对应于 的特征向量.,若 是 的对应于 的特征向量，则,也是 的对应于 的特征向量.,2.,特征向量的性质,设 是方阵 的 个特征值，,依次是与之对应的特征向量，,如果,互不相等，则 线性无关.,证明,举例,19,例4,设3阶矩阵 的特征值 为求,解,析：此例的目的是熟悉特征值的性质(1)(2)(3),根据性质(1)知，求得 的全部特征值，就可求,得 . 此方法提供了求行列式的一个方法，即,方阵 的行列式= 的全部特征值之积.,因为的特征值为 ，全不为0，,所以 可逆，且,则有,故 的特征值为,20,因此,21,例5,设 和 是矩阵 的两个不同的特征向量，,对应的特征向量依次为 和 ，,证,根据题设，有,析：要证明一个向量不是特征向量，通常用,反证法.,用反证法，假设 是 的特征向量，,则存在数 ，使,证明 不是,的特征向量.,22,因为 ，所以 线性无关，故,即有,与题设矛盾.,因此 不是 的特征向量.,23,四、小结,设 是 阶矩阵，若有数 和非零列向量 ，使,则称 是 的特征值， 为 的对应于 的特征向量.,矩阵 的特征值是特征方程 的根.,矩阵 的对应于特征值 的特征向量是齐次方程,的非零解.,特征值和特征向量的性质.,24,特征值的性质的证明,证,因为 是 的 个特征向量，则有,即,令 ，即得,另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的,展开式中，只有对角元之积含有,25,这些项中不含,比较两端的 的系数，可得,即,证毕,特征值的性质的证明,26,特征值的性质的证明,因为 是 的特征值，,证,所以存在非零向量 使,又由 知,，,可逆，且 ，所以,这表明 是矩阵 的特征向量.,证毕,27,特征值的性质的证明,证,因为 是 的特征值，,所以存在非零向量 使,用 左乘上式两端得,这表明 是矩阵 的特征向量.,类似地，可以证 是矩阵 的特征向量.,证毕,28,特征值的性质的证明,证,因为 是 的特征值，,所以存在非零向量 使,又因为 ，所以,这表明 是矩阵 的特征向量.,证毕,29,特征值的性质的证明,证,因为,所以 而,有非零解,因此存在非零向量 ，使,这表明 0 是 的特征值.,证毕,30,特征值的性质的证明,证,根据特征值满足的条件：是特征方程,的根，所以要证 与 的特征值相同，,只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的特征多项式相同.,因为,所以 与 的特征多项式相同，从而 与 的,特征值相同,.,证毕,31,特征向量的性质的证明,证,设存在 使,是方阵 的特征值，,依次是与之对应的特征向量，即有,因为,所以,即,即,(1),(2),(3),32,类推下去,有,(,m),把以上 个等式合写成矩阵等式，得,上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行,列式，,当 互不相等时， 该行列式,不等于0，从而该矩阵可逆. 于是有,特征向量的性质的证明,33,即,又,因此必有,所以 向量组线性无关.,证毕,特征向量的性质的证明,34,
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