电路分析第07章-一阶电路的时域分析

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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,10V,R,S,(,t,=0),1,2,R,1,2,4,R,2,4,当开关在,t=0,时从1切换到2,灯泡,R,1,和,R,2,的亮度会怎么变化?,10V,u,C,S,(,t,=0),1,2,R,1,4,R,2,4,C,1F,1,第七章 一阶电路的时域分析,7.1 动态电路的方程 及其初始条件,(),7.2 一阶电路的零输入响应,(),7.3 一阶电路的零状态响应,(),7.4 一阶电路的全响应,(,),暂态和初值求解,三种响应,2,重点,(1).,动态电路方程的建立和初始条件的确定;,(2).,一阶电路时间常数的概念 ;,(3).,一阶电路的零输入响应和零状态响应和全响应求解;,(4).,求解一阶电路的三要素方法;,(5).,自由分量和强制分量、暂态分量和稳态分量的概念;,2.,难点,(1).,应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程。,(2).,电路初始条件的概念和确定方法。,本章重点和难点,3,7.1 动态电路的方程及其初始条件,1、动态电路,包含至少一个动态元件(电容或电感)的电路为,动态电路,。,电路方程为一阶常系数微分方程为,一阶电路,。(含有,一个,独立,的动态元件),电路方程为二阶常系数微分方程。(含有,二个,独立,的动态元件为,二阶电路,),电路方程为高阶常系数微分方程。(含有,三个或三个以上,独立,的动态元件为,高阶电路,),4,稳态,暂态,暂态,换路:电路结构或参数发生突然变化。,稳态:有两类稳态电路,,直流稳态电路:,电路中电流电压均为恒定量。,正弦稳态电路:,电路中电流电压均为正弦交流量。,换路、暂态与稳态的概念,U,S,+,-,K,R,(t=0),C,+,-,u,C,(t=t,1,),1,2,5,暂态:电路换路后从一种稳态到另一种稳态的过渡过程。,过渡过程产生的原因:,外因,换路;内因,有储能元件。,电路内部含有储能元件,L,、,C,,电路在换路时能量发生变化,而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,6,例:,电阻电路,过渡期为0,+,-,u,S,i,R,1,R,2,(t=0),7,电容电路,K未动作前,电路处于稳定状态,i,=0,u,c,=0,K接通电源后很长时间,电容充电完毕,电路达到新的稳定状态,i,=0,u,c,=,U,S,+,-,u,S,R,(t=),C,+,-,u,C,i,u,S,+,-,K,R,(t=0),C,+,-,u,C,i,1,2,8,电感电路,K未动作前,电路处于稳定状态,i,=0,u,L,=0,K接通电源后很长时间,电感充电完毕,电路达到新的稳定状态,i,=,U,S,/,R,u,L,=0,+,-,u,S,R,(t= ),L,+,-,u,L,i,+,-,u,S,K,R,(t=0),L,+,-,u,L,i,1,2,9,(1)根据KCL、KVL和支路的VCR建立描述电路的方程;(建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程),2)求解常微分方程,得到电路所求变量(电压或电流)。,动态电路的分析方法 (经典法),10,动态电路的方程,应用KVL和电容的VCR得:,若以电流为变量:,u,S,+,-,K,R,(t=0),C,+,-,u,C,i,1,2,11,若以电感电压为变量:,应用KVL和电感的VCR得:,+,-,u,S,K,R,(t=0),L,+,-,u,L,i,1,2,12,一阶电路列出的方程是一阶微分方程,那么求解的时候需要知道一阶微分方程的初始值(初始条件),也就是电路中的响应在换路后的最开始一瞬间的值。,一阶电路,13,2. 电路的初始条件,(1),t,= 0,与,t,= 0,的概念,认为换路在,t,=0时刻进行,0,:,换路前一瞬间,0,:,换路后一瞬间,初始条件:,电路中所求变量(电压或电流)及其1至(n1)阶导数在,t,= 0,时的值,也称,初始值。,独立初始条件,:,u,C,(0,+,),i,L,(0,+,),14,对于线性电容,在任何时刻,t,时,它的,u,c,和,i,c,之间的关系为:,令,t,0,=0,-,、,t,=0,+,则得:,(2) 电容的初始条件,换路瞬间,若电容电流保持为有限值,,则,电容电压(电荷)换路前后保持不变,。,当,i,C,(,x,)为有限值时:,电荷守恒,结论:,15,对于线性电感,在任何时刻,t,,它的,u,和,i,L,之间的关系为:,令,t,0,=0,-,、,t,=0,+,则得:,(3) 电感的初始条件,换路瞬间,若电感电压保持为有限值,,则,电感电流(磁通链)换路前后保持不变,。,当,u,L,(,x,)为有限值时:,磁通链守恒,结论,16,如何根据换路定则求其它的电量?,(3) 换路定则,换路前后瞬间,若电容电流保持为有限值,则电容电压换路前后保持不变。,换路前后瞬间,若电感电压保持为有限值,则电感电流换路前后保持不变。,(1)电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,(2)换路定律反映了能量不能跃变。,17,1. 求 :, 给定,;, 时,原电路为直流稳态:,C,开路,L,短路, 时,电路未进入稳态,: ,,2. 根据换路定则确定独立初始条件,3. 求非独立初始条件,画 时的等效电路:,C,电压源,(,u,C,(0,+,)有关),,,L,电流源,(,i,L,(0+)有关),特殊情况 :,C短路,,,L,开路,再利用直流电阻电路的计算方法求出其他非独立初始条件。,(4) 初始值的计算,18,例1:电路如图,已知,电路换路前已达稳态,,求,u,c,(0,) 和,i,c,(0,)。,解:,由换路定则,可得,由0,等效电路可求得,19,例2:电路如图,已知电路换,路前已达稳态,求,u,L,(0,) 、,i,(0,)、,i,1,(0,) 和,i,L,(0,)。,解:,由换路定则得:,由0,等效电路可求得,20,例71,如图7-1(,a,)所示电路中直流电压源的电压为U,0,。当电路中的电压和电流恒定不变时打开开关S。试求,u,C,(0,+,),,i,L,(0,+,)、,i,C,(0,+,)、,u,L,(0,+,)和,u,R2,(0,+,) 。,图 7-1,R,2,U,O,R,1,i,L,L,u,C,i,C,S,(,t,=0),(a),u,R2,u,L,21,(2)根据换路定则得:,R,2,u,L,(0,+,),i,C,(0,+,),(3) 画t=0,时的等效电路图:,解,: (1) 求,电容相当于开路,电感相当于短路,所以:,22,作业 P190,191,71 ( a ),72 (b),要求在图中标出各电压、电流的符号以及参考方向,23,动态电路,无外施激励电源,,仅由动态元件的初始储能所产生的响应(电流和电压),称为动态电路的,零输入响应,。,图 72,RC,电路的零输入响应,u,R,u,C,U,0,S,(,t,=0),R,i,一、,RC,电路的零输入响应,7.2 一阶电路的零输入响应,24,在图6-2所示,RC,电路中,开关,S,闭合前,电容,C,已充电,其电压,u,C,=,U,0,,如图所示。开关闭合后,电容储存的能量将通过电阻以热能形式释放出来。现把开关动作时刻取为计时起点(,t,=0) 。开关闭合后,即,t,0,时,根据KVL可得,而,u,R,=,Ri,, 代入上述方程,有,25,这是一阶齐次微分方程,初始条件,u,C,(0,+,)=,u,C,(0,)=,U,0,,令此方程的通解为,u,C,=,Ae,p,t,,代入上式后有,特征根为,相应的特征方程为,根据,u,C,(0,+,)=,u,C,(0,)=,U,0,,以此代入,u,C,=,Ae,p,t,,则可求得积分常数,A,=,u,C,(0,+,)=,U,0,。,26,这样求得满足初始条件的微分方程的解为,电路中的电流为,放电过程中电容电压,u,C,的表达式,电阻上的电压,27,这三者都是按同样的指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中 的大小,仅取决于电路的结构和元件的参数。,(b),(a),图6-3,u,C,u,R,和,i,随时间变化的曲线(,=,RC,),t,u,C,u,R,O,U,0,2,0.135,U,0,0.368,U,0,t,i,O,U,0,/R,2,0.135,0.368,28,时间常数,t,的大小反映了电路过渡过程时间的长短,RC电路的,时间常数,(time constant):,=,RC,t,大过渡过程时间长,t,小过渡过程时间短,物理含义,电压初值一定:,C,大(,R,一定),W,Cu,2,/2 储能大,R,大(,C,一定),i,u,/,R,放电电流小,放电时间长,0,U,0,u,C,t,大,小,29,的物理意义:,U,0,衰减到,0.368,U,0,所需时间.,将,不同时刻的电容电压值列于表6-1中。,t,0,2,3,4,5,.,u,c,U,0,0.368 U,0,0.135 U,0,0.05 U,0,0.018 U,0,0.007U,0,.,0,理论上: t=,时u,c,才衰减为零。,工程上认为:经过3,5的时间过渡过程结束,因为经历,5,的时间u,c,已衰减为初始值的0.7%)。所以,电路的时间常数决定了零输入响应衰减的快慢,时间常数越大,衰减越慢,放电持续的时间越长。,30,图7-4 时间常数,的几何意义,的,几何意义,:,u,C,曲线上任意一点的切线所得的次切距,*,。,t,u,C,O,U,0,u,C,(,t,0,+,),u,C,(,t,0,),B,C,A,备注:次切距是指切点在定直线(通常为x轴)上的垂足到切线与定直线交点间的距离。,31,例: 如图 (,a,)所示电路中开关S原在位置1,且电路已达稳态。,t,=0时开关由1合向2,试求,t,0,时的电流,i,(,t,)。,(b),u,C,R,1,4,R,2,4,C,1F,i,(a),10V,R,u,C,S,(,t,=0),1,2,R,1,2,4,R,2,4,C,1F,i,32,解: 首先求出:,换路后,电路如图 (b)所示,,电容通过电阻,R,1,、,R,2,放电,,由于,R,1,、,R,2,为并联,设等效电阻为,R,,有:,所以,t,0,+,时,33,图7-5所示电路在开关S动作之前电压和电流已恒定不变,电感中有电流 。在,t,=0时开关由1合到2,具有初始电流,I,0,的电感,L,和电阻,R,相连,构成一个闭合回路,如图7-5(b)。在,t,0时,根据KVL,有,图 75,RL,电路的零输入响应,U,O,R,1,i,u,L,S,(,t,=0),1,2,L,R,i,u,L,L,R,u,R,+,(b),(a),二、,RL,电路的零输入响应,34,而,u,R,=,Ri,, ,电路的微分方程为,这也是一阶齐次微分方程。令,i,=,Ae,p,t,,代入上式后有,特征根为,相应的特征方程为,35,故电流为,根据,i,(0,+,)=,i,(0,)=,I,0,,代入上式可求得,A,=,i,(0,+,) =,I,0,,而有,电阻和电感上的电压分别为:,36,t,i,u,R,u,L,O,RI,0,I,0,-,RI,0,u,R,u,L,i,图 67,RL,电路的零输入响应曲线,令时间常数,,,当电阻的单位为,电感的单位为H,,的单位为s,它称为,RL,电路的时间常数。,37,经典法解题步骤:,根据换路后的电路列写微分方程;,求对应齐次方程的通解;,由初始条件确定积分常数;,写出,f(t,),。,求解RC、RL电路的零输入响应方法:,经典法和列标准式法,列标准式法步骤:,求初始值,f,0,;,求电路的时间常数;,响应为,;,更简洁方便、推荐用此方法,38,例73 图7-8所示是一台300kW汽轮发电机的励磁回路。已知励磁绕组的电阻,R,=0.189,,电感,L,=0.398H,直流电压,U,=35V。电压表的量程为50V,内阻,R,v,=5k。开关未断开时,电路中电流已经恒定不变。在t=0时,断开开关。,图 7-8 例7-3图,求,:(1)电阻、电感回路的时间常数;(2)电流,i,的初始值 ;,(3)电流,i,和电压表处的电压,u,v,;(4)开关断开时,电压表处的电压。,i,u,V,L,R,U,V,S,R,V,39,解 (1) 时间常数,(2) 开关断开前,由于电流已恒定不变,电感,L,两端电压为零,故,由于电感中电流不能跃变,电流的初始值,i,(0,+,)=,i,(0,)=185.2 A。,(3) 按 ,可得,i,u,V,L,R,U,V,S,R,V,40,电压表处的电压,(4) 开关刚断开时,电压表处的电压,在这个时刻电压表要承受很高的电压,其绝对值将远大于直流电源的电压U,所以在切断电流时必须考虑磁场能量的释放。,41,例7-3 图7-8(a)所示电路,开关S合在位置1时电路已达稳态,,t,0时开关由位置1合向位置2,试求,t,0,时的电流,i,(t)。,2,i,1,2,S,2,W,6,W,6,W,3,W,9V,0.25F,i,(a),i,2,i,6V,2,W,6,W,(b),i,1,i,2,+,-,u,C,42,零状态响应:,电路在零初始状态下(动态元件的初始储能为零)由外施激励引起的响应。,图7-10,RC,电路的零状态响应,u,R,u,C,S,(,t,=0),R,i,C,U,S,一、,RC,电路的零状态响应,7.3 一阶电路的零状态响应,43,在图7-9的,RC,串联电路中,开关,S,闭合前电路处于零初始状态,即,u,C,(0,-,)=0。在,t,=0时刻,开关,S,闭合,电路接入直流电压源,U,S,。根据KVL可得,而,u,R,=,Ri,, 代入上述方程,有,这是一阶线性非齐次方程。方程的解由两个分量组成,即非齐次方程的特解 和对应的齐次方程的通解 ,即,44,不难求得特解为,而齐次方程 的通解为,代入初始值,可求得,其中,=,RC,。因此,45,而:,t,u,C,i,O,u,C,i,u,C,以指数形式趋近于它的最终值,U,S,,到达该值后,电压和电流不再变化,电容相当于开路,电流为零。,46,47,i,L,u,L,L,R,I,S,S,(,t,=0),i,R,图7-12,RL,电路的零状态响应,图7-12所示为,RL,电路,直流电流源的电流为,I,S,,在开关打开前电感中的电流为零。开关打开后 ,电路的响应为零状态响应。电路的微分方程为,二、,RL,电路的零状态响应,48,初始条件为 。电流,i,L,的通解为,式中 为时间常数。,特解为 ,积分常数 ,所以,49,习 题 P191-193,7-4,7-8,7-11,50,当一个,非零初始状态,的一阶电路,受到激励,时,电路的响应称为一阶电路的,全响应,。,图7-14 一阶电路的全响应,u,R,u,C,S,(,t,=0),R,i,C,U,S,U,0,7.4 一阶电路的全响应,51,图7-14所示电路为已充电的电容经过电阻接到直流电压源,U,S,。设电容原有电压为,U,0,,开关,S,闭合后,根据KVL可得,初始条件,方程的通解,取换路后达到稳定状态的电容电压为特解,则,52,代入初始条件 ,可求得,其中,=,RC,。因此,为上述方程对应的齐次方程的通解,所以电容电压,电容电压在t,0时的全响应,53,电路的稳态分量,电路的瞬态分量,全响应稳态分量+瞬态分量,全响应的分解,54,可写作,电路的零输入响应,电路的零状态响应,全响应零输入响应+零状态响应,55,全响应可以由初始值、特解和时间常数三个要素决定。若初始值为,f,(0+)、特解为稳态解,f,(,),时间常数为,,则全响应,f,(,t,)可写为,只要知道,f,(0,+,)、,f,(,)和,这三个要素,就可以根据上式写出直流激励下一阶电路的全响应,这种方法为三要素法。,三要素法不仅可以求一阶,RC,电路的,u,C,(t,),以及一阶,RL,电路的,i,L,(t,),,它可以求解一阶电路的其他任何响应(,i,c,i,R,u,L,u,R,)。,三要素法不仅适用于一阶电路的全响应,而且适用于一阶电路的零输入响应和零状态响应。,三要素法,56,例74 图7-15(a)所示电路中,U,s,=10V,,I,s,=2A,,R,=2,,L,=4H。试求S闭合后电路中的电流,i,L,和,i,。,t,/,s,i,L,/A,O,3,-2,(c),(a),i,L,L,R,U,S,S,(,t,=0),a,b,I,S,i,57,解: (1) 求初始值,i,L,(0+),按照三要素方法,解得,i,L,i,L,L,R,U,S,S,(,t,=0),a,b,I,S,i,(2) 求稳态解,i,L,(),(3) 求时间常数,由KCL,解得:,58,例 如图所示,开关合在1时已达稳定状态。,t,=0时,开关由1合向2,试求,t,0时的,u,L,。,2A,S,2,1,4,4,i,L,0.1H,u,L,2,8V,2,i,1,i,1,解,59,i,L,0.1H,u,L,10,12V,u,oc,R,eq,(b),2A,S,2,1,4,4,i,L,0.1H,u,L,2,i,1,i,1,(a),u,oc,2A,4,4,2,i,1,i,1,(c),1A,4,4,2,i,1,i,1,(d),60,换路后,应用戴维宁定理得出等效电路如图7-16(b)所示,其中,u,oc,=12V,,R,eq,=10,。,所以:,61,t,/,s,i,L,/A,O,1.2,-4,t,/,s,u,L,/V,O,52,(c),(d),电流,i,L,和电压,u,L,的波形见图 (c)、(d)。,62,例75 图7-16所示电路中,开关S闭合前电路已达稳定状态,t=0时S闭合,求t 0时电容电压,u,c,的零状态响应、零输入响应和全响应,并定性绘出波形图。,1A,S,(t=0),4,2,0.5F,u,c,1.5,u,1,0.5V,u,1,图7-16,63,三要素法注意事项,如果求,u,C,(,t,),(RC电路)或,i,L,(,t,),(RL电路),:,直接求对应的三要素即可。,如果求,u,C,(,t,)或,i,L,(,t,)之外的,其他响应,:可以先求出,u,C,(,t,),或,i,L,(,t,),,然后根据元件的,伏安关系,,,KCL,,,KVL,等规律得到。也可以直接求其他响应量的三要素。,64,求初始值,f,(0,+,):,a.题目已知;b. 根据,换路前电路,求,u,C,(0,-,),或,i,L,(0-),,再由,换路定则,得到,u,C,(0+),或,i,L,(0+),;c. 其他初始值的计算在,换路后电路,中求得,此时C看成电压源(电压为,u,C,(0+),),L看成电流源(电流为,i,L,(0+),)。,求时间常数,:, =R,eq,C,或,L,/,R,eq,R,eq,可通过求,动态元件以外部分的戴维宁等效电路的,R,eq,得到。没有受控源,独立源置零,电阻串并联计算得到,R,eq,;如有受控源,用外加电源法或开路短路法求得,R,eq,。,求稳态解,f,(,):,在,换路后,电路中,,C开路, L短路,,求得,f,(,)。,65,电路如图(,a,)所示,已知,C,=0.5F,R,=2,R,1,=6,R,2,=3,U,s,1,=18V,U,s,2,=9V,i,CS,=0.5,u,1,。,开关S打开前,电路已达稳态,,t,=0时将开关S打开。求S打开后电流,i(t),随时间变化的规律。,(a),附加例题,U,S,2,S,i,R,2,U,S,1,R,1,C,R,i,CS,u,1,66,U,c,(0_),首先求换路前的u,c,(0,),电路如图(,b,)所示:,i,18V,2,0.5u,1,u,1,6,3,9V,i,2,i,1,i,3,解法一:,解法二:,67,i,18V,0.5u,1,u,1,6,3,9V,其次求换路后的i(0,),电路如图(,c,)所示:,由换路定律知,所以,再求i(,):,u,c,68,最后求时间常数,,所以要求出虚线框内二端网络的戴维南等效电路,。,开路电压u,oc,C,18V,0.5u,1,u,1,6,3,9V,短路电流i,sc,所以,时间常数,R,eq,C0.5 S,求得R,eq,=1,69,习 题 P195,7-19,7-20,70,
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