非线性回归模型的线性化

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 非线性回归模型的线性化,在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数,变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们,通过一些例子来讨论这个问题。,线性模型的含义,线性模型的基本形式是,:,线性模型的线性包含两重含义：,（,1,）变量的线性,变量以其原型出现在模型之中，而不是以 或,之类的函数形式出现在模型中。,（,2,）参数的线性,因变量,Y,是各参数,i,的线性函数。,这种模型称为,标准的线性回归模型,非线性回归模型的分类：,1,虽然被解释变量,Y,与解释变量 之间不存在线性关系，但与未知参数 之间存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被称为,非标准线性回归模型,。,其一般形式为：,其中 是关于 的,p,个已知的非线性函数， 是（,p+1,）个未知参数,2,虽然被解释变量,Y,与解释变量 和未知参数 之间不存在线性关系，但是可以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为可,线性化的非线性回归模型,如柯布道格拉斯生产函数模型：,3,如果被解释变量,Y,与解释变量 和未知参数 之间都不存在线性关系，而且也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为,不可线性化的非线性回归模型,4.2线性化方法,1,、非标准线性回归模型的线性化方法,非标准线性回归模型的线性化方法是,变量替换法。,非标准线性回归模型的一般形式为：,1,、非标准线性回归模型的线性化方法,非标准线性回归模型的线性化方法是,变量替换法。,非标准线性回归模型的一般形式为：,u,令,则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型,4.2,线性化方法,下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性回归模型,（,1,）多项式函数模型,多项式函数模型的一般形式为：,令,则可将原模型化为标准的线性回归模型,例：,y,t,=,b,0,+,b,1,x,t,+,b,2,x,t,2,+,b,3,x,t,3,+,u,t,令,x,1t,=,x,t,，,x,2t,=,x,t,2,，,x,3t,=,x,t,3,，上式变为,y,t,=,b,0,+,b,1,x,1t,+,b,2,x,2t,+,b,3,x,3t,+,u,t,这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。,(,b,1,0,b,2,0,b,3,0),(,b,1,0,b,3,0,b,2,0),(,b,1,0,b,2, 0),(, 0),（,4,） 、,S-,型曲线模型,S-,性曲线模型的一般形式为：,首先对上式做倒数变换得：,令,则可将原模型化为标准的线性回归模型,2,可线性化的非线性回归模型的线性化方法,下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性回归模型,（,1,）指数函数模型,指数函数模型的一般形式为,对上式两边取对数得到,令,则可将原模型化为标准的线性回归模型；,（,1,）指数函数模型,（,2,）幂函数模型（,全对数模型）,幂函数模型的一般形式为：,对上式两边取对数得到：,令,则可将原模型化为标准的线性回归模型：,对于柯布,-,道格拉斯（,C-D,）生产函数模型,其中，,Y,表示产出量，,K,表示资金投入量，,L,表示劳动投入量，,u,是随机误差项，,A,、 和 为未知参数。试利用天津市,1980,年,1996,年的有关统计资料，估计天津市全社会的,C-D,生产函数模型。,例,., ：,天津市,GDP,函数,(,教材第,95,页,),首先建立天津市的,C-D,生产函数模型,i=1,，,2,，,17,两边取对数得到：,令,则可将,C-D,生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型,例,.,例,4.2,：天津市,GDP,函数,=,-,10.46 + 1.02 X,1,t,+ 1.47,X,2,t,(-8.1) (34.7) (6.2),R,2,= 0.9986, DW = 1.7, N = 17,因为,1.02 + 1.47= 2.49,，所以此生产函数属于规模报酬递增函数。,3,、不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要求掌握）,