12.2 一阶微分方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,CH1_,*,12.2,一阶微分方程,一 可分离变量方程,或者,或者,解法：,这就是原方程的通解。,1,CH1_,例,1,求下列微分方程的通解,（,1,）,（,2,）,解,（,1,）,（,2,）,2,CH1_,二 齐次方程,解法：,令,则,原方程化为,这就是原方程的通解。,3,CH1_,例,2,求下列微分方程的通解,（,1,）,（,2,）,解,（,1,）,令,则原方程化为,即,（,2,）,原方程可变形为,令,4,CH1_,则有,即,5,CH1_,三 一阶线性微分方程,若,则称为齐次的；,若,则称为非齐次的。,1,齐次线性方程,的通解,解法：,（,通解公式,）,6,CH1_,2,非齐次线性方程,的通解,解法：（,常数变易法,）,设,是非齐次,线性方程,的解，,所以,（,通解公式,）,则有,7,CH1_,例,3,求微分方程,的通解。,解,8,CH1_,例,4,设,可微，求解积分方程,解,积分方程两边对,求导得,即,解得,在积分方程中取,得到,将,代入,上式得,故积分方程的解是,9,CH1_,例,5,求微分方程,的通解。,解,原方程可变形为,这是一个以,为未知函数的一阶线性微分方程。,因此原方程的通解为,或,10,CH1_,四 伯努力（,Bernoulli,）方程,R,且,解法：,令,则,这是关于,的一阶线性微分方程，,解出,，然后用,代回，即得到原方程的通解。,11,CH1_,例,6,求微分方程,的通解。,解,令,则,原方程化为,解得,原方程通解是,或,12,CH1_,五 全微分方程（恰当方程）,若微分方程,的左端恰好是,某个函数,的全微分，即,则称该微分方程为全微分方程。,检验方法：,解法：,求,的一个原函数,再写出全微分方程,的通解,13,CH1_,例,7,求微分方程,的通解。,解,因此原方程是全微分方程。,所以原方程的通解是,或,14,CH1_,积分因子,：,若,不是全微分方程，,但存在非零函数,使得微分方程,成为全微分方程，,如：,的积分因子有,等。,为,的一个积分因子。,则称,15,CH1_,例,8,求微分方程,的通解。,（,即例,5,）,解,原方程可变形为,两边乘积分因子,得,即,所以原方程的通解是,16,CH1_,例,9,求微分方程,的通解。,解,原方程可变形为,两边乘积分因子,得,即,所以原方程的通解是,17,CH1_,