插值拟合复习要点

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 插 值,/* Interpolation */,主要,内容,2,插值函数的特点及寻求方法,1,插值的概念,4,埃尔米特插值,3,拉格朗日多项式,5,分段低次插值,1,概念,/* Concept */,函数解析式未知，或计算复杂，用函数,g,(,x,),去近似代替它，使得,g,(,x,i,),=,f,(,x,i,) (,i,= 0, ,n,),g,(,x,),f,(,x,),这类问题称为,插值问题,。函数,g,(,x,),称为,插值函数,。,x,0,x,n,称为,插值节点,或简称节点。插值节点所界的区间称为,插值区间,。,g,(,x,i,),=,f,(,x,i,),称为,插值条件,。,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,x,g,(,x,),f,(,x,),本章只讨论多项式的插值问题，即构造,n,次多项式,P,n,(x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,2,x,2,+,a,n,x,n,使满足,P,n,(,x,i,)=,y,i,2,插值函数的特点和寻求方法,插值函数的特点,它是几个函数的线性组合，有几个已知函数值，则有几项，每项的系数为已知函数值。,已知函数值前的函数叫形（状）函数，或叫基函数。,(1)、形（状）函数值在节点处是“1”，在其它节点处 是“0”。,(2)、形（状）函数之和等于1。,(3)、形（状）函数只描述函数（图象）的形状，而函数值 则是形函数的幅值。,节点处的函数值是精确的，其它各点的值是近似的。,Important！,插值函数的寻求方法,待定系数法,试凑法,混合法：试凑法和待定系数法相结合的方法。,1.已知几个边界条件,插值函数就有几项.,2.每一项由节点函数值和形函数构成.,3.形函数在本节点的值为1,其它节点为0.,3,拉格朗日插值,Lagrange Polynomial,n,1,希望找到,l,i,(,x,)，,i =,0, ,n,使得,l,i,(,x,j,)=,ij,；然后令,=,=,n,i,i,i,n,y,x,l,x,P,0,),(,),(,，则显然有,P,n,(,x,i,) =,y,i,。,l,i,(,x,),每个,l,i,有,n,个根,x,0,x,i,x,n,=,-,=,-,-,-,=,n,j,j,i,j,i,n,i,i,i,x,x,C,x,x,x,x,x,x,C,x,l,0,0,),(,),).(,).(,(,),(,-,=,=,j,i,j,i,i,i,i,x,x,C,x,l,),(,1,1,),(,Lagrange Polynomial,与 有关，而与 无关,节点,f,插值余项,/* Remainder */,分子：哪个节点的形函数缺哪个坐标,分母：哪个节点的形函数，哪个坐标在前,Important！,n,= 1,已知,x,0,x,1,;,y,0,y,1,，求,使得,1,1,1,0,0,1,),(,),(,y,x,P,y,x,P,=,=,),(,),(,0,0,1,0,1,0,1,x,x,x,x,y,y,y,x,P,-,-,-,+,=,1,0,1,x,x,x,x,-,-,0,1,0,x,x,x,x,-,-,=,y,0,+,y,1,l,0,(,x,),l,1,(,x,),n,= 2,Important！,3 Lagrange Polynomial,定理,(,唯一性,) 满足 的,n,阶插值多项式是唯一存在的。,注：,若不将多项式次数限制为,n,，则插值多项式,不唯一,。,例如 也是一个插值多项式，其中 可以是任意多项式。,4,埃尔米特插值,/* Hermite Interpolation */,不仅要求函数值重合，而且要求若干阶,导数,也重合。,即：要求插值函数,(,x,),满足,(,x,i,) =,f,(,x,i,),(,x,i,) =,f ,(,x,i,),(,mi,),(,x,i,) =,f,(,mi,),(,x,i,).,注：,N,个条件可以确定 阶多项式。,N, 1,要求在,1,个节点,x,0,处直到,m,0,阶导数都重合的插值多项式即为,Taylor多项式,其余项为,一般只考虑,f,与,f ,的值。2,n,+2个条件，可确定2,n,+1次多项式。,1,概念,/* Concept */,4 Hermite Interpolation,例：,设,x,0,x,1,x,2, 已知,f,(,x,0,),、,f,(,x,1,),、,f,(,x,2,),和,f ,(,x,1,), 求多项式,P,(,x,),满足,P,(,x,i,) =,f,(,x,i,),，,i,= 0, 1, 2，,且,P,(,x,1,) =,f ,(,x,1,), 并估计误差。,模仿 Lagrange 多项式的思想，设,解：,首先，,P,的阶数 =,3,+,=,2,1,3,),(,),(,),(,),(,),(,=,0,i,i,i,x,h,x,1,f ,x,h,x,f,x,P,h,0,(,x,),有根,x,1,x,2,，,且,h,0,(,x,1,) = 0,x,1,是重根。,),(,),(,),(,2,2,1,0,0,x,x,x,x,C,x,h,-,-,=,又:,h,0,(,x,0,) =,1 ,C,0,h,2,(,x,),h,1,(,x,),有根,x,0,x,2,),)(,)(,(,),(,2,0,1,x,x,x,x,B,A,x,x,h,-,-,+,=,由余下条件,h,1,(,x,1,) =,1,和,h,1,(,x,1,) = 0,可解。,与,h,0,(,x,),完全类似。,(,x,),h,1,有根,x,0,x,1,x,2,h,1,),)(,)(,(,),(,2,1,0,1,x,x,x,x,x,x,C,x,-,-,-,=,h,1,又:,(,x,1,) =,1 ,C,1,可解。,其中,h,i,(,x,j,) =,ij,h,i,(,x,1,) = 0,(,x,i,) = 0,(,x,1,) = 1,h,1,h,1,与 Lagrange 分析完全类似,2,方法,/* Method */,混合法,试凑,待定系数,4 Hermite Interpolation,一般地，已知,x,0, ,x,n,处有,y,0, ,y,n,和,y,0, ,y,n,，,求,H,2,n,+1,(,x,),满足,H,2,n,+1,(,x,i,) =,y,i,，,H,2,n,+1,(,x,i,) =,y,i,。,解：,设,+,=,n,i,),(,),(,),(,=,0,i,i,x,h,x,h,y,i,x,H,2,n,+1,n,=,0,i,y,i,其中,h,i,(,x,j,) =,ij,h,i,(,x,j,) = 0,(,x,j,) = 0,(,x,j,) =,ij,h,i,h,i,h,i,(,x,),有根,x,0, ,x,n,除了,x,i,外都是,2,重根,),(,),(,),(,2,x,l,b,x,a,x,h,i,i,+,=,由余下条件,h,i,(,x,i,) =,1,和,h,i,(,x,i,) = 0,可解,a,和,b,(,x,),h,i,有根,x,0, ,x,n,除了,x,i,外都是,2,重根,h,i,),(,),(,i,l,i,2,(,x,),x,x,c,x,-,=,h,i,又:,(,x,i,) =,1 ,c,= 1,h,i,),(,x,),(,i,l,i,2,(,x,),x,x,-,=,设,则,3,推广,/* Evolution */,5,分段低次插值,/* piecewise polynomial approximation */,例：,在,5, 5,上考察 的,L,n,(,x,)。取,-,5,-,4,-,3,-,2,-,1,0,1,2,3,4,5,-,0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,n,越大，,端点附近抖动,越大，称为,Runge 现象,L,n,(,x,),f,(,x,),分段,低次,插值,5 Piecewise Polynomial Approximation,分段线性插值,/* piecewise linear interpolation */,在每个区间 上，用,1阶多项式,(直线) 逼近,f,(,x,),:,记 ，易证：当 时，,一致,失去了原函数的光滑性。,给定,在 上利用两点的,y,及,y,构造,3次Hermite函数,导数一般不易得到。,分段Hermite插值,/* Hermite piecewise polynomials */,内容提要：,函数逼近的概念,最小二乘原理,第三章,函数逼近与曲线拟合,/* Approximation Theory */,用简单的函数,P,（,x,）,近似地代替函数,f,（,x,），是数值分析最基本的概念和方法之一。近似代替又称逼近，函数,f,（,x,）叫做被逼近函数，,P,（,x,）,叫做逼近函数。,插值法也是逼近的已知方法，不过，它要求逼近函数,P,（,x,）,与被逼近函数,f,（,x,）在节点处有相同的函数值（甚至导数值），但在非节点，误差可能很大，所谓龙格现象，就是一例。,本章主要研究在逼近多项式次数确定为尽量低的情形下，使其逼近的误差在某种意义上达到最小。也就是要使计算简单，还有使逼近的精度尽可能地高。,函数逼近的概念,/* Approximation Theory */,第三章,曲线拟合与函数逼近,/* Approximation Theory */,仍然是已知,x,1,x,m,;,y,1,y,m, 求一个简单易算的近似函数,P,(,x,),f,(,x,)。,但是,m,很大；,y,i,本身是测量值，不准确，即,y,i,f,(,x,i,),这时没必要取,P,(,x,i,),=,y,i, 而要使,P,(,x,i,),y,i,总体上,尽可能小。,常见做法：,使 最小,/* minimax problem */,太复杂,使 最小,不可导，求解困难,使 最小,/* Least-Squares method */,最小二乘原理,对 为多项式情形,定义：设f(x)在a,b上有函数表,其中,求一个m(n)次多项式,使偏差,的平方和 最小的方法称为最小二乘法,x,x,0,x,1,x,2, x,n,y,y,0,y,1,y,2, y,n,最小二乘原理,按照极值理论，要使得R达到极小，必须有：,称,n,次方程组为正则方程组，通过它可以求出,求解步骤,由观测数据表中的数值，点画出函数粗略的图形,从粗略图形中确定近似公式的函数类型,通过最小二乘原理确定函数中的未知参数,第三章,曲线拟合与函数逼近,/* Approximation Theory */,关键问题,选什么形式的函数进行拟合？主要凭经验。与问题的运动规律及所观测数据有关,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,可选形式,在不好判断时，都可选幂级数，因为任何函数都可以展开成幂级数,非线性曲线的数据拟合,当 不是多项式时,幂函数,指数函数,对数函数,可以将自变量x和变量y看成其他变量的函数，原来是非线性的问题就转化为线性问题，如：,令 ，则经过变换后得,