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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,单击此处编辑母版标题样式,高数知识点总结,第一章,函数与,极限,一、函数,1.,特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,2.,反函数,3.,复合函数,4.,初等函数,二、 极限,1.,极限定义的等价形式,(,以 为例,),(,即 为无穷小,),有,第一章,函数与,极限,2.,极限存在准则及极限运算法则,3.,无穷小,无穷小的性质,;,无穷小的比较,;,常用等价无穷小,:,第一章,函数与,极限,4.,两个重要极限,或,注,:,代表相同的表达式,第一章,函数与,极限,总结：求极限的方法,1.,利用极限的定义,第一章,函数与,极限,5.,夹逼准则,(,数列极限,),3.,四则运算法则,2.,利用单调有界必有极限,(,数列有界,),4.,利用函数的连续性,第一章,函数与,极限,8.,利用洛必达法则,10.,利用定积分的定义,9.,利用泰勒公式,6.,利用两个重要极限,7.,等价无穷小的转化,三、 连续与间断,1.,函数连续的等价形式,有,第一章,函数与,极限,2.,函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,有界定理,;,最值定理,;,零点定理,;,介值定理,.,3.,闭区间上连续函数的性质,第一章,函数与,极限,第二章,导数与,微分,一、导数和微分的概念及应用,导数,:,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分,:,关系,:,可导,可微,应用,:,(1),利用导数定义解决的问题,(3),求曲线的切线与法线,(2),用导数定义求极限,求分段函数在分界点处的导数,由导数定义证明一些命题,(4),微分在近似计算与误差估计中的应用,第二章,导数与,微分,第二章,导数与,微分,二、导数和微分的求法,1.,正确使用导数及微分公式和法则,2.,熟练掌握求导方法和技巧,(1),求分段函数的导数,注意讨论,界点,处左右导数是否存在和相等,(2),隐函数求导法,对数微分法,(3),参数方程求导法,极坐标方程求导,转化,导出,第二章,导数与,微分,(4),复合函数求导法,(,可利用微分形式不变性,),(5),高阶导数的求法,逐次求导归纳,;,间接求导法,;,利用莱布尼茨公式,.,第三章,微分中值定理与导数的应用,拉格朗日中值定理,1.,微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,一、微分中值定理及其应用,2.,微分中值定理的主要应用,(1),研究函数或导数的性态,(2),证明恒等式或不等式,(3),证明有关中值问题的结论,3.,有关中值问题的解题方法,利用,逆向思维，,设辅助函数,.,一般解题方法,:,(1),证明含一个中值的等式或根的存在,多用,罗尔定理,可用原函数法找辅助函数,.,(2),若结论中涉及含中值的两个不同函数，可考虑用,柯西中值定理,.,第三章,微分中值定理与导数的应用,(3),若结论中含两个或两个以上的中值,必须,多次应用中值定理,.,(4),若已知条件中含高阶导数,多考虑用,泰勒公式,有时也可考虑,对导数用中值定理,.,(5),若结论为不等式,要注意适当,放大,或,缩小,的技巧,.,第三章,微分中值定理与导数的应用,第三章,微分中值定理与导数的应用,二、 导数应用,1.,研究函数的性态,:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率,2.,解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3.,其他应用,:,求未定式极限,;,几何应用,;,相关变化率,;,证明不等式,;,研究方程实根等,.,第四章,不定积分,一、 求不定积分的基本方法,1.,直接积分法,通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法,.,2.,换元积分法,第一类换元法,第二类换元法,(,代换,: ),3.,分部积分法,使用原则,:,1),由,易求出,v,;,2),比,好求,.,一般经验,:,按“,反,对,幂,指,三,” 的顺序,排前者取为,u,排后者取为,第四章,不定积分,二、几种特殊类型的积分,1.,一般积分方法,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,第四章,不定积分,2.,需要注意的问题,(1),一般方法不一定是最简便的方法,要注意综合,使用各种基本积分法,简便计算,.,(2),初等函数的原函数不一定是初等函数,因此不一定都能积出,.,例如,第四章,不定积分,第五章,定积分,1.,求定积分,(,常义积分和反常积分,),定积分的定义,定积分的几何意义,定积分换元法,定积分的分部积分法,2.,定积分中值定理,第五章,定积分,4.,变限函数的求导,5.,与定积分有关的求极限问题,3.,用定积分性质估值,设,则,定积分定义,洛必达法则,夹逼准则,第六章,定积分的应用,一、平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,直角坐标方程,上下限分别对应曲线的起点和终点,课本,P360,-,361:,星形线、摆线、心形线、阿基米德螺线、双纽线,第六章,定积分的应用,二、旋转体的体积,1.,曲线,y,=,y,(,x,)(,a,x,b,),绕,x,轴旋转,(,柱壳法,),2.,曲线,y,=,y,(,x,)(,a,x,b,),绕,y,轴旋转,第六章,定积分的应用,三,、平行截面面积为已知的立体体积,四、平面曲线的弧长,弧微分,:,注意,:,求弧长时积分上下限必须,上大下小,第六章,定积分的应用,2.,参数方程方程,1.,直角坐标方程,第六章,定积分的应用,3.,极坐标方程,第七章,微分方程,一,.,微分方程的概念,含未知函数及其导数的方程叫做,微分方程,.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做,微分方程的阶,.,微分方程的解,：,使方程成为恒等式的函数,.,通解,:,解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同,.,特解,:,不含任意常数的解,其图形称为,积分曲线,第七章,微分方程,确定通解中任意常数的条件,.,n,阶方程的初始条件,(,或初值条件,),:,定解条件,说明,:,通解不一定是方程的全部解,.,有解,后者是通解,但不包含前一个解,.,例如,方程,y = x,及,y = C,第七章,微分方程,二、一阶微分方程求解,1.,一阶标准类型方程求解,关键,:,辨别方程类型,掌握求解步骤,2.,一阶非标准类型方程求解,变量代换法,代换,因变量,代换,某组合式,三个标准类型,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,代换,自变量,第七章,微分方程,1.,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程,.,常用的方法,:,(1),根据几何关系列方程,(2),根据物理规律列方程,2.,利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件,.,3.,求通解,并根据定解条件确定特解,.,三,.,解微分方程应用题的方法和步骤,
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