同济材料力学顾志荣第八章弯曲变形

,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,*,材 料 力 学,讲授,:,顾志荣,插个小广告,更多同济土木考研资料请联系,QQ,：,1715333961,同济大学航空航天与力学学院顾志荣,第八章 弯曲变形,材料力学,回 顾：,弯曲内力,在外力作用下，梁的内力沿轴线 的变化规律。,弯曲应力,在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。,本 章,:,弯曲变形,在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。,第八章 弯曲变形,研究弯曲变形的目的,（,1,）刚度计算；,（,2,）解简单的超静定梁。,本章的基本内容：,一、弯曲变形的量度及符号规定；,二、挠曲线及其近似微分方程,三、计算弯曲变形的两种方法,(1),积分法,(2),叠加法,四,、刚度条件 提高梁弯曲刚度的措施,五、用变形比较法解简单的超静定梁。,第八章 弯曲变形,一、弯曲变形的量度及符号规定,第八章 弯曲变形,梁的挠度和转角,y,p,x,c,w,1,、度量弯曲变形的两个量：,（,1,）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移,称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）,（,2,）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移,称为转角。,第八章 弯曲变形,/,一、弯曲变形的量度及符号规定,梁的挠度和转角,y,p,x,c,w,（,2,）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。,2,、符号规定：,（,1,）坐标系的建立： 坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为,x,轴，向右为正；以,y,轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。,（,3,）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；,顺时针转向的转角为负。,W,（,-,）,（,-,）,第八章 弯曲变形,/,一、弯曲变形的量度及符号规定,第八章 弯曲变形,二、挠曲线及其近似微分方程,1,、挠曲线：,在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。,轴线,纵向对称面,F,q,M,弯曲后梁的轴线,（挠曲线）,第八章 弯曲变形,/,二、挠曲线及其近似微分方程,M,AB,M,CD,0,M,BC,const,答案,D,2,、挠曲线的特征：光滑连续曲线,(1),2,、挠曲线的特征：光滑连续曲线,(2),F,A,0,F,B,0,M,CD,const,答案,D,A,B,C,D,2,、挠曲线的特征：光滑连续曲线,(3),p,pl,p,pl,p,pl,p,pl,F,A,0,p,pl,A,B,C,D,M,BD,const,F,B,P,答案,C,力学公式,数学公式,1,M,EI,纯弯曲,横力弯曲,（,l,h,5,）,1,（,x,）,M,（,x,）,EI,1,（,x,）,d,2,w,d,x,2,1+(,d,w,d,x,),2,3/2,3,、挠曲线的近似微分方程,(1),曲率与弯矩,、抗弯刚度的关系,小挠度情形下,此即,弹性曲线的小挠度微分方程,横力弯曲,1,（,x,）,M,（,x,）,EI,max,（,0.01,0.001,）,l,；,(,d,d,x,),2, 1,1,（,x,）,d,2,d,x,2,1+(,d,d,x,),2,3/2,M,EI,d,2,d,x,2,（,x,）,2,o,w,x,M,M,选取如图坐标系，则,弯矩,M,与 恒为同号,(2),挠曲线近似微分方程符号及近似解释,M,EI,d,2,d,x,2,（,x,）,近似解释：,（,1,）忽略了剪力的影响；,（,2,）由于小变形，略去 了曲线方程中的高次项。,2,2,(3),选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程,d,2,d,x,2,M(x),EI,M(x),EI,d,2,d,x,2,第八章 弯曲变形,三、计算弯曲变形的两种方法,1,、,积分法,基本方法,利用积分法求梁变形的一般步骤：,（,1,）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；,分段的原则,:,凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；,凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点,；,中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间,的相互作用力，故应作为分段点；,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,(2),分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分 两次,对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：,再积分一次，得挠曲线方程：,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,(3),利用边界条件,、,连续条件确定积分常数,积分常数的数目,取决于的分段数,M,(x),n,段,积分常数,2n,个,举例：,分,2,段，则积分常数,2x2=4,个,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,积分常数的确定,边界条件和连续条件,：,边界条件,：,梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。,连续条件,：,梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。,边界条件,积分常数,2n,个,=,2n,个,连续条件,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,边界条件：,连续条件：,例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。,解：边界条件：,连续条件：,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,积分常数的物理意义和几何意义,物理意义：将,x=0,代入转角方程和挠曲线方程，得,即坐标原点处梁的转角，它的,EI,倍就是积分常数,C,；,即坐标原点处梁的挠度的,EI,倍就是积分常数,D,。,几何意义：,C,转角,D,挠度,(4),建立转角方程和挠曲线方程；,(5),计算指定截面的转角和挠度值，特别注意 和 及其所在截面。,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,A,q,B,L,例,题 悬臂梁受力如图所示。求 和 。,X,y,x,取参考坐标系,Axy,。,解：,1,、列出梁的弯矩方程,2,、,积分一次：,积分二次：,（,1,）,（,2,）,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,3,、确定常数,C,、,D.,由边界条件：,代入（,1,）得：,代入（,2,）得：,代入（,1,）（,2,）得：,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,代入得：,将,（与,C,比较知： ）,（与,D,比较知： ）,常数,C,表示起始截面的转角,刚度,(,EI,),因此,常数,D,表示起始截面的挠度,刚度,(,EI,),第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,例,题,一简支梁受力如图所示。试求 和 。,A,L,F,C,a,b,y,x,解：,1,、求支座反力,x,2,、分段列出梁的弯矩方程,BC,段,x,AC,段,B,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,BC,段,AC,段,3,、确定常数,由边界条件：,（,1,）,（,2,）,由光滑连续条件：,（,3,）,（,4,）,可解得：,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,则简支梁的转角方程和挠度方程为,BC,段,AC,段,4,、求转角,代入得：,代入得：,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,5,、求,。,求得 的位置值,x,。,则由,解得：,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,代入 得：,若 则：,在简支梁情况下，不管,F,作用在何处（支承除外），,可用,中间挠度代替，其误差不大，不超过,3%,。,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,积分法求梁变形举例：用积分法求图示梁的 、 、 、 ：,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,分段建立弯矩方程：,AB,段：,（,0x,1, ),BC,段：,（,）,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,二,、,分段建立近似微分方程，并对其积分两次：,AB,段：,即：,（,1,）,（,2,）,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,BC,段：,（,3,）,（,4,）,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,三,、利,用边界条件、连续条件确定积分常数,由边界条件确定,C,1,、,D,1,：,当,当,时，,由（,1,）式得,C,1,=0,；,时，,由（,2,）式得,D,1,=0,。,由连续条件确定,C,2,、,D,2,：,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,当,时，,即联立,(1),、,(3),式子：,，,当,时，,，即联立,(2),、,(4),式：,即得：,D,2,=0,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,四,、,分段建立转角方程、挠曲线方程：,AB,段：,（,5,）,（,6,）,BC,段：,（,7,）,（,8,）,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,五求梁指定截面上的转角和挠度,当,时，由（,5,）式得，,由（,6,）式得，,当,时，由（,7,）式得，,由（,8,）式得，,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,叠加法前提,小变形,力与位移之间的线性关系,挠度、转角与载荷（如,P,、,q,、,M,）均为一次线性关系,轴向位移忽略不计。,2,、叠加法,简捷方法,须记住梁在简单荷载作用下的变形,挠曲线方程、转角、挠度计算公式。,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,叠加法的两种处理方法：,（,1,）荷载叠加：,叠加原理：,在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。,第八章 弯曲变形,/,三、计算弯曲变形的两种方法,w,w,w,已知,：,q,、,l,、,EI,求,：,w,C,B,例题,w,w,w,例题,怎样用,叠加法确定,C,和,w,C,?,w,w,w,w,w,w,w,w,（,2,）逐段刚化法：,例题,:,试用叠加法求图示阶梯形变截面悬臂梁自由端,C,的挠度,由于梁的抗弯刚度,EI,在,B,处不连续，若由挠曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作量较大。可用叠加法求解。,假定,AB,段刚化，研究自由端,C,对截面,B,的相对挠度,;,2.,解除,AB,段的刚化，并令,BC,段刚化。,A,B,C,2EI,EI,l/2,l/2,p,p,c,B,w,c1,),(,24,3,),2,(,3,3,1,-,=,-,=,EI,Pl,EI,l,P,w,c,w,B,P,M,B,=Pl/2,A,B,C,w,c2,w,B,悬臂梁,BC,由梁的变形连续条件，直线,BC,因,AB,段的弯曲变形而移位到,的位置，使,C,点有相应的挠度,将图（,b,）和（,c,）两种情况的变形叠加后，即可求得自由端,C,的挠度,这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。,A,P,M,B,=Pl/2,B,C,w,c2,w,B,p,c,B,w,c1,p,例题,:,用,叠加法求,AB,梁上,E,处的,挠度,w,E,=,w,E,1,+,w,E,2,=,w,E,1,+,w,B,/ 2,w,E,1,p,w,E,2,p,w,B,=?,w,B,=,w,B,1,P,P,pl,+w,B,2,+,w,B,3,W,B2,=CC,W,B3,=C,C,第八章 弯曲变形,四、,刚度条件 提高梁弯曲刚度的措施,刚度条件：,w,许用挠度，,许用转角,工程中，,w,常用梁的计算跨度,l,的若干分之一表示，例如：,对于桥式起重机梁：,对于一般用途的轴：,在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：,第八章 弯曲变形,/,四、刚度条件 提高梁弯曲刚度的措施,梁的变形除了与载荷与梁的约束有关外，还取决于以下因素：,材料,梁的变形与弹性模量,E,成反比；,截面,梁的变形与截面的惯性矩 成反比；,跨长,梁的变形与跨长,l,的,n,次幂成正比,第八章 弯曲变形,/,四、刚度条件 提高梁弯曲刚度的措施,(1),减小跨度，增加支座，或加固支座。,例如受,q,作用的简支梁：,方法：,增加支座：,L,A,B,q,L,A,B,q,第八章 弯曲变形,/,四、刚度条件 提高梁弯曲刚度的措施,加固支座：,L,A,B,q,L,A,B,q,(2),选用合理截面， 。,常采用工字形、箱形截面，以提高惯性矩。与强度不同的是要,提高全梁或大部分梁的惯性矩，才能使梁的变形有明显改善。,(3),合理安排载荷作用点，以降低 。,方法：,使载荷尽量靠近支座，载荷大多数由支座承担。例如：,A,l,F,C,a,(4),其它：,因钢的,E,基本相同，所以材料的杨氏模量对,变形影响不大。,第八章 弯曲变形,五、用变形比较法解简单超静定梁,1,、超静定的概念,2,、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想：,(1),解除多余约束，变超静定梁为静定梁；,(2),用静定梁与超静定梁在解除约束处的变形比较，建立协调方程；,(3),通过协调方程（即补充方程），求出多余的约束反力。,3,、简单超静定梁求解举列。,第八章 弯曲变形,/,五、用变形比较法解简单超静定梁,超静梁,未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目，,仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或,静不定问题）。,超静次数,=,未知力的数目,-,独立平衡方程数,B,q,L,4,个约束反力，,3,个平衡方程，,静不定次数,=1,1,、超静定的概念,第八章 弯曲变形,/,五、用变形比较法解简单超静定梁,2,、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想,：,(1),确定超静定次数。,(2),选择基本静定梁。,静定梁,(,基本静定基,) ,将超静定梁的多余约束解除，得到相应,的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以,及内力。,多余约束,杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束,或多余杆件。,多余约束的数目,=,超静定次数,B,q,L,多余约束的数目,=1,第八章 弯曲变形,/,五、用变形比较法解简单超静定梁,静定梁,(,基本静定基,),选取,(,2),解除,A,端阻止转动的,支座反力矩 作为多余约束,即选择两端简支的梁作为基本静定梁。,B,q,L,A,(,1),解除,B,支座的约束,以 代替，即选择,A,端固定,B,端自由的悬臂梁作为基本静定梁。,B,q,L,A,第八章 弯曲变形,/,五、用变形比较法解简单超静定梁,(2),基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条,件。一般来说，求解变形时，,悬臂梁最为简单，其次,是简支梁，最后为外伸梁。,基本静定基选取可遵循的原则：,(1),基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；,第八章 弯曲变形,/,五、用变形比较法解简单超静定梁,A,B,q,L,B,q,L,A,B,q,L,A,3,、列出变形协调条件。,比较原静不定梁和静定基在解除约,束处的变形，根据基本静定梁的一,切情况要与原超静定梁完全相同的,要求，得到变形协调条件。,第八章 弯曲变形,/,五、用变形比较法解简单超静定梁,本例：,(,1),4,、用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。,仅有,q,作用，,B,点挠度为：,仅有 作用，,B,点挠度为：,因此,解得,:,B,q,l,A,第八章 弯曲变形,/,五、用变形比较法解简单超静定梁,5,、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。,本例：,(,1),B,q,L,A,（ ）,第八章 弯曲变形,/,五、用变形比较法解简单超静定梁,B,q,L,A,(+),(-),B,q,L,因此,6,、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。,第八章 弯曲变形,/,五、用变形比较法解简单超静定梁,例,题,图示静不定梁，等截面梁,AC,的抗弯刚度,EI,，拉杆,BD,的抗拉,刚度,EA,，在,F,力作用下，试求,BD,杆的拉力和截面,C,的挠度 。,F,l/2,l/2,A,B,C,D,l,1,、选择基本静定梁。,解：,F,l/2,l/2,A,B,C,2,、列出变形协调条件。,而,（,1,）,第八章 弯曲变形,/,五、用变形比较法解简单超静定梁,解得：,代入,（,1,）：,3,、在基本静定梁上由叠加法求 。,在,F,力单独作用下：,在 力单独作用下：,F,l/2,l/2,A,B,C,第八章 弯曲变形,/,五、用变形比较法解简单超静定梁,解得：,在本例中，在,F,力作用下，拉杆,BD,伸长，因而,B,处下,移，,B,处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即,第八章 弯曲变形,/,五、用变形比较法解简单超静定梁,例,题,图示结构，悬臂梁,AB,与简支梁,DG,均用,No.18,工字钢制成,BC,为圆截面钢杆,直径,d=20cm,梁与杆的弹性模量均为,E=200GPa,，,若载荷,F=30KN,，试计算梁内的最大弯曲正应力与杆内的最大正,应力以及横截面,C,的铅垂位移 。,F,2m,B,C,D,A,G,2m,2m,1.4m,第八章 弯曲变形,/,五、用变形比较法解简单超静定梁,