线性代数居余马第5章特征值与特征向量

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第5章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,5.1 矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵,定义5.1,设,A,是复数域,C,上的,n,阶矩阵,，如果存在数,C,和非零,n,维向量,x,，,使得,A,x,=,x,则称,为,A,的特征值，,x,为,A,的属 ( 对应,),于特征值,的特征向量。,注意:,特征向量,x,是非零向量, 是齐次线性方程组,5.1.1 特征值和特征向量的基本概念,(,I,A,),x,=,0,的非零,解。,应满足,|,I,A,|=0,即,是多项式,det(,I,A,),的零点。,定义5.1,设,n,阶矩阵,A,=(,a,ij,),则,称为,A,的 特征多项式。,(,I,A,),称为,A,的 特征矩阵。,|,I,A,|=0,称为,A,的特征方程。,n,阶矩阵,A,的特征多项式在复数域上的,n,个根都是矩阵,A,的特征值，其,k,重根叫做,k,重特征值。,例,n,阶对角矩阵,A,，上(下)三角形矩阵,B,的特征值,都是它们的,n,个主对角元,a,11, a,22,a,nn,。,因为它们的特征多项式为,I,-,A,=,I,-,B,=(,a,11,)(,a,22,),(,a,nn,),得基础解系：,x,2,=(1,1,0),T,x,3,=(1,0,1),T,。,k,1,x,1,+,k,2,x,2,（k,1,k,2,是不全为零的任意常数）,是,A,关于,2,的全部的特征向量。,例,求,矩阵,的特征值及特征向量。,解,：,A,的特征方程为,A,的特征值为:,1,=0,2,= 2(二重特征值)。,对于,1,=0，求解(,1,I,A,),x,=,0,，,即,得基础解系：,x,1,=(,1,1, 1),T,。,k,x,1,(k,0为任意常数,),是,A,的属于,1,的全部特征向量。,对于,2,= 2，求解(,2,I,A,),x,=,0,即,定理5.1,若,x,1,x,2,是,A,属于,0,的两个的特征向量，则,k,1,x,1,+,k,2,x,2,也是,A,属于,0,的特征向量(其中,k,1,k,2,是任意常数，,但,k,1,x,1,+,k,2,x,2,0,)。,证,：,x,1,，,x,2,是齐次线性方程组,(,I,A,),x,=,0,的解,，,所以,，,k,1,x,1,+,k,2,x,2,也是(,I,A,),x,=,0,的解，故当,k,1,x,1,+,k,2,x,2,0,时，也是,A,的属于,0,的特征向量。,(,I,A,),x,=,0,的,解空间,称为,A,的关于,的,特征子空间,，记作,V,。,dim,V,=,n ,r,(,I,A,),=,k,1,x,1,+,k,2,x,2,|,x,2,=(1,1,0),T,x,3,=(1,0,1),T,k,1,k,2,R,=,L,(,(1, 1, 0),T, (1, 0, 1),T,),5.1.2 特征值和特征向量的性质,如例中，,=,k,x,|,x,=(,1,1, 1),T,k,R,=,L,(,1,1, 1),T,);,定理5.2,若,n,阶矩阵,A,=(,a,ij,),的,n,个特征值为,1,2,n,，,则,称,A,的主对角元的和,为,A,的迹，记作,tr(,A,),。,*证：,设,(*),=,n,+c,1,n,1,+,+c,k,n,k,+,+c,n,-,1,+c,n,(*)式可表示为 2,n,个行列式之和, 其中展开后含,n,1,项的,行列式有下面,n,个：,它们的和等于,(,a,11,+,a,22,+,+,a,nn,),n,1,=,(*)式中不含,的常数项为,所以，,由根与系数的关系及常数项相等，得,由定理5.2,得：,矩阵,A,可逆的充要条件是,A,的任意一个,特征值不等于零,；或,A,为奇异阵的充要条件是,A,至少有一个特征值等于零。,A,的一个特征值可对应很多特征向量；但,A,的一个特征,向量不能属于不同的特征值。,性质1,若,是,A,的,特征值,x,是,A,的属于,的特征向量。则,(1),k,是,k,A,的,特征值（,k,为任意常数）；,(2),m,是,A,m,的,特征值;,(3),若,A,可逆，则,1,为,A,1,的一个特征值，而且,x,仍然是矩阵,k,A,A,m,和,A,1,的分别对应于特征值,k,m,和,1,的特征向量。,证,(2)(3),由,A,x=,x,得,A,2,x=,A,(,x,),=,(,A,x,),=,(,x,),=,2,x,，,继续得,A,m,x=,m,x,。,A,1,(,A,x)=,A,1,(,x,),=,(,A,1,x,),所以，,(,A,1,x,),=,1,x,。,性质2,矩阵,A,和,A,T,的,特征值相同。,证：,det,(,I,A,),=,det,(,I,A,),T,=,det (,(,I,),T,A,T,)=,det,(,I,A,T,),*定理5.3 设,A,是,n,阶矩阵，若,有一个成立，则,A,的所有特征值,i,(,i,=1,2,n,),的模（对实特征值是指绝对值）,|,i,|,1。,证明（见教材,p229）,略去。,例,3,设,解 (1),A,的特征值为:,1,=0 (二重特征值),2,= 2。,求,A,的,特征值和特征向量,；,求可逆矩阵,P,使,P,1,AP,为对角阵。,对于,1,=0，求解(,1,I,A,),x,=,0,，,即,得基础解系：,x,1,=(1,1,0),T,x,2,=(,1,0,1),T,则,k,1,x,1,+ k,2,x,2,(,k,1,k,2,不全为0)是,A,的属于,1,的全部特征向量。,则,AP=P,且,|,P,|0,所以，,P,1,AP=,为对角矩阵。,A,的属于,2,的全部特征向量为,k,3,x,(,k,3,0为任意常数,)。,对于,2,= 2，求解(,2,I,A,),x,=,0,即,得基础解系：,x,3,=(,1,2, 1),T,解,：,(2),将,A,x,i,=,i,x,i,(,i,=1, 2, 3),排成矩阵,5.1.3 相似矩阵及其性质,定义5.3,对于矩阵,A, B,，,若存在可逆矩阵,P,，,使,P,1,AP=B,则称,A,相似于,B,，,记作,A,B,。,矩阵的相似关系是一种等价关系，具有以下性质：,(1),自反性,A,A,；,(2),对称性,若,A,B,，,则,B,A,；,(3),传递性,若,A,1,A,2,A,2,A,3,，,则,A,1,A,3,。,相似矩阵还有以下,性质：,(1),C,1,(,k,A,+t,B,),C,=k,C,1,AC,+t,C,1,B,C,(,k, t,F,);,(2),C,1,(,AB,),C,=(,C,1,AC,) (,C,1,B,C,);,(3),若,A,B,，,则,A,m,B,m,（,m,为正整数）；,(4),若,A,B,，,则,f,(,A,),f(,B,)，,其中,f,(,x,),=a,m,x,m,+a,m-,1,x,m-,1,+,+a,1,x+a,0,是个多项式。,f,(,A,),=a,m,A,m,+a,m-,1,A,m-,1,+,+a,1,A,+a,0,I,(,a,i,F, i=,0,1,m,),，,f,(,B,),=a,m,B,m,+a,m-,1,B,m-,1,+,+a,1,B,+a,0,I,。,定理5.4,若矩阵,A,与,B,相似，则它们的特征多项式相等，,即,I,A,=,I,B,证,A,B,，,即存在可逆矩阵,P,，,使得,P,1,AP=B,即,I,B,=,I,P,1,AP,=,P,1,(,I,A,),P,=,P,1,I,A,P,=,I,A,注意：此定理的逆命题不成立。例如：,I,A,=,I,B,=(,2),2,但,A,与,B,不相似，因为对任何可逆矩阵,P,，,P,1,A,P,=,P,1,(2,I,),P,=2,I,=,A,B,。,5.2 矩阵可对角化的条件,定理5.5,n,阶矩阵,A,与对角阵相似,的充要条件是,A,有,n,个,线性无关的特征向量。,证,必要性,设,P,1,AP,=,diag(,1,2,n,) =,即,AP=P,(1),将矩阵,P,按列分块为,P,=(,x,1,x,2,x,n,),(1),式即为,即,x,1,x,2,x,n,是,A,的,n,个线性无关的特征向量(因为,P,可逆，所以,x,1,x,2,x,n,线性无关)。必要性得证。,(2),得,A,x,j,=,j,x,j,(,x,j,0,j,=1,2,n,),(3),充分性,若,A,有,n,个线性无关的特征向量,x,1,x,2,x,n,即(3)式成立，由(3)式可得(2)式，从而(1)式成立。充分性得证。,A,与对角阵,相似，,的主对角元是,A,的特征值，若不计,其排列顺序，则,唯一，称,为,A,的相似标准形。,与对角阵相似的矩阵,称为,可对角化矩阵,。,定理5.6,矩阵,A,属于不同特征值的特征向量是线性,无关的。,证,：设,A,的,m,个互不相同的特征值为,1,2,m,，,其对应的,特征向量分别为,x,1,x,2,x,m,。,对,m,作归纳法。,当,m,=1,时，,x,1,0,，,线性无关；假设,m=k,时， 命题成立；对,m=k,+1，,设,a,1,x,1,+,a,2,x,2,+,+,a,k,x,k,+,a,k,+1,x,k,+1,=,0,(1),则,A,(,a,1,x,1,+,a,2,x,2,+,+,a,k,x,k,+,a,k+,1,x,k,+1,)=,0,即,a,1,1,x,1,+,a,2,2,x,2,+,+,a,k,k,x,k,+,a,k,+1,k,+1,x,k,+1,=,0,(2),k,+1,(,1) ,(2),得,a,1,(,k,+1,1,),x,1,+,a,2,(,k,+1,2,),x,2,+,+,a,k,(,k,+1,k,),x,k,=,0,由于,x,1,x,2,x,k,线性无关，,a,i,(,k,+1,i,)=0,i,=1,2,k,，,又因为,k,+1,i,所以，,a,i,=0,i,=1,2,k,。,代入,(1)，,得,a,k,+1,=0。,所以，,x,1,x,2,x,k,+1,线性无关。由归纳法得证。,推论,：,n,阶矩阵,A,有,n,个不同的特征值，则,A,与对角阵相似。,注意：这里的条件是充分的，但不是必要的,。,则由,r,1,+ r,2,+,+ r,m,个向量组成的向量组,证,：设,*定理5.7 设,1,2,m,是,n,阶矩阵,A,的,m,个互不相同的,特征值,，,属于,i,的线性无关的特征向量为,是线性无关的。,(1),(1),式化为,y,1,+,y,2,+,+,y,m,=,0,(3),其中,y,i,是,A,属于,i,的特征向量或为,零向量,。,但,y,i,不能是,A,属于,i,的特征向量。否则,，,(2),(,i,=1.2,m,),由于不同特征值对应的的特征向量是线性无关的， 即有,y,1,+,+,y,i,0,(,i,=1,m,),，（,3）,式不能成立。所以，,y,1,=,=,y,m,=,0,(4),线性无关, 和(4), (2) 得,再由,即,是线性无关的。,定理5. 8,设,0,是,n,阶矩阵,A,的,k,重特征值，,属于,0,的线性,无关的特征向量的最大个数为,l,则,k,l,。,将,x,1,x,2,x,l,扩充为,C,n,的基,x,1,x,l,x,l,+1,x,n,，,x,l+,1,x,n,一般不是特征向量，但,Ax,j,C,n,，,可用,C,n,的基表示:,Ax,j,= b,1j,x,1,+,+b,l,j,x,l,+b,l,+,1,j,x,l,+,1,+,+b,nj,x,n, j=,l,+1,n,(2),将(1)、 (2)式中的,n,个等式写成一个矩阵等式：,证：,由,Ax,i,=,0,x,i,，,x,i,0,i,=1,l,(1),记,P,=,x,1,x,l,x,l,+1,x,n,(3)式为：,(3),因为相似矩阵的特征多项式相同。,是,的,n,l,次多项式,所以 ,0,是,A,的大于或等于,l,重的,特征值，即,k,l,。,所以 ,0,的特征子空间的维数小于或等于,特征值的重数，,即,由于,及,即,*定理5.9,n,阶矩阵,A,与对角阵相似,的充要条件是,:,A,的每,个特征值对应的,特征向量线性无关的最大个数等于该,特征值,的重数,（每个,特征子空间的维数,等于该,特征值的重数）。,例1,设,问,A,是否与对角阵相似？若,与对角阵相似，求对角矩阵,及,可逆矩阵,P,，,使得,P,1,A,P,=,，再求,A,k,(,k,为正整数)。,(,证明见,教材,p237,),A,的特征值为,1,= 2 (单重根),2,=2 (三重根),对于,1,= 2 ，求解(,1,I,A,),x,=,0,。,对于,2,= 2，求解(,2,I,A,),x,=,0,即,x,1,+,x,2,+,x,3,+,x,4,=,0,，,得基础解系,x,21,=(1,1,0,0),T,x,22,=(1, 0,1, 0),T,x,23,=(1,0,0,1),T,属于,1,的特征向量为,k,x,1,|,x,1,=(1,1,1,1),T,k,0,。,A,有4个,线性无关的特征向量，所以，,A,与对角阵相似。,由,P,1,AP=,，,得,A=P,P,1,，,A,k,= P,P,1,P,P,1,P,P,1,= P,k,P,1,所以,则,P,1,AP=,例2,n,阶矩阵,A,为主对角元全为2的上三角矩阵，且,存在,a,ij,0(,ij),问,A,是否与对角阵相似？,I,A,=(,2),n,=0,=,2,是,A,的,n,重特征值。因为,解：,设,即,A,的,线性无关的特征向量少于,n,个,，,A,不,与对角阵相似。,*例3,矩阵如例1，,f,(,x )= x,3,2,x+,5,求,可逆阵,P,和对角阵,，,使得,P,1,f,(,A,),P,=, 其中,f,(,A,),=,A,3,2,A,+,5,I,。,解：,(见教材,p231 “,(4),若,A,B,，,则,f,(,A,),f,(,B,)”,）,由,P,1,A,P,=,=,diag(,2, 2, 2, 2),得,A,=,P,P,1,f,(,A,),=,A,3,2,A,+,5,I,=,（,P,P,1,),3,2,(,P,P,1,)+5,I,=,P,(,3,2,+5I ),P,1,于是,所以,i,2,=,i,（,i,=1, 2,n,）,。于是,i,=0,或 1，,由,A,2,=A, A,A,2,=A,(,I A,)=,0,得,r(,A,),+,r(,I,A,), n,(1),又,r(,A,),+,r (,I,A,),r,(,A,+,(,I,A,),),=,r,(,I,),=,n,(2),由(1) 和,(2),得：,r(,A,),+,r (,I,A,),=n，,或,r (,I,A,),=n,r(,A,),即,1,=,1时，,(,I,A,),x,=,0,因此，含,n,(,nr,),=r,个线性无关的特征向量,x,1,x,n-r,；,2,=,0时，,(,2,I,A,),x,=,0 ,即,A,x,=,0,因此，,含,nr,个线性无关的特征向量,x,r,+1,x,n,。,记 ,x,1,x,r,x,r,+1,x,n,=,P,则,P,1,A,P,=diag(1,1,0,0) ，,其中的个数等于,r,。,例4,设,A,是,n,阶,幂等矩阵,(,A,2,=,A,),，,r,(,A,)=r,(,0r,n,),。证明:,A,相似于,=,diag(1,1,0,0),其中的个数等于,r(,A,)。,证,：设,A,x,i,=,i,x,i,，,从而,A,2,x,i,=,i,2,x,i,，,又,A,2,=,A,，,5.3.1 实对称矩阵的特征值和特征向量,定义5.4,元素为复数的矩阵和向量称为复矩阵和复向量。,定义5.5,设,为复矩阵,A,叫做,A,的共轭矩阵,其中,的共轭复数。,显然,当,A,为实对称矩阵时,当且仅当,x,=,O,时,等号成立,。,共轭矩阵有以下性质：,(5) 若,A,可逆，则,(6) 若,A,为方阵，则,(7) 若,x,为,n,维复向量,，,定理5.10,实对称矩阵,A,的特征值都是实数。,证,设,是,A,的任一个特征值， (,A,),T,=,A,，,A,x,=,x,(,x,0,),只需证,=,。,故得,=,， 即,都是实数。,定理5.11,实对称矩阵,A,的属于不同特征值的特征向量是正交的。,证,设,A,x,i,=,i,x,i,x,i,0,(,i,=1, 2),1,2,（实数），则,1,x,2,T,x,1,=,x,2,T,A,x,1,=,x,2,T,A,T,x,1,=(,A,x,2,),T,x,1,= (,2,x,2,),T,x,1,=,2,x,2,T,x,1,而,1,2,，所以,x,2,T,x,1,=(,x,1,x,2,)=0，,即,x,1,与,x,2,是正交的。,),(,),(,),(,x,x,x,x,l,l,T,T,=,x,A,x,x,A,x,T,T,),(,),(,),(,=,=,T,5.3.2 实对称矩阵的对角化,定理5.12,对于,n,阶实对称矩阵,A,，存在,n,阶正交矩阵,T,，,使得,T,1,A,T,=diag(,1,2,n,),证,用,数学归纳法,。,n,=1，,结论显然成立；,假设对,n, 1,阶实对称矩阵,B,存在,n, 1,阶正交矩阵,Q,，,使得,Q,1,B,Q,=,1,。对,n,阶矩阵,A,，设,A,x,1,=,1,x,1,其中,x,1,是长度为的,特征向量。现将,x,1,扩充为,R,n,的一组标准正交基,x,1,x,2,x,n,A,x,j,(,R,n,),可由这组基线性表示：,记,P,=,x,1,x,2,x,n,(,P,为正交矩阵)，上式用分块矩阵表示为,令,T=PS,（,两个正交矩阵之积也是正交矩阵），,T,1,=,T,T,，,即得,T,1,A T,=diag(,1,2,n,),其中,1,2,n,是,A,的,n,个特征值。,因此,b,=,0,，,B,=,B,T,为,n,1,阶实对称矩阵。由归纳假设，可知,存在,n, 1,阶正交矩阵,Q,，,使得,Q,1,B,Q,=,1,。令,由于,P,1,=,P,T, (,P,1,A,P,),T,=,P,T,A,T,(,P,1,),T,=,P,1,A,P,所以它是实对称矩阵。,=,diag(,1,2,n,),得基础解系:,x,1,=(2, 1, 0),T,x,2,=(2, 0, 1),T,用,Schmidt,正交化方法，先正交化，取,1,=,x,1,=(2, 1,0 ),T,例,设,求正交矩阵,T,，,使,T,1,AT,为对角矩阵。,解,对于特征值,1,=1，由(,1,I,A,),x,=,0,，,即,可取,2,=,(2, 4, 5),T,，,则有,T,1,A,T,= diag(,1,2, ,3,) = diag(1, 1, 10),解得,x,3,=(1, 2, 2),T,，,将其单位化得,对于特征值,2,=10，由(,2,I,A,),x,=,0,，,即,将,1,2,单位化:,取正交矩阵,例,证明：若,n,阶实对称矩阵,A,和,B,的特征值,相同，则,A,B,，,且,存在正交矩阵,T,使,T,1,A,T,=,B,。,证,设,1,2,n,是,A,和,B,的特征值，则存在,正交阵,T,1,和,T,2,，,使得,T,1,1,A,T,1,=diag(,1,2,n,)=,T,2,1,B,T,2,于是,T,2,T,1,1,A,T,1,T,2,1,=,B,令,T = T,1,T,2,1,（,T,是正交矩阵,，且,T,1,=T,2,T,1,1,），,就有,T,1,A,T,=,B,例3,若,n,阶实对称矩阵,A,和,B,的特征值完全相同，,证明,存在正交矩阵,T,和,n,阶矩阵,Q,使,A=QT,和,B=TQ,同时成立 。,证 由于,实对称矩阵与对角阵,相似，,对角元,为特征值,1, ,2,n,，,所以，,AB,且存在正交阵,T,1,使,T,1,1,AT,1,=B,或,A=T,1,B,T,1,1,记,T,1,1,=,T,（,T,还是正交阵），,AT,1,=Q,B= TQ,，,则,A= T,1,B,T,1,1,=T,1,TQ,T,1,1,=IQT=QT,命题成立。,例4,设,A,和,B,都是,n,阶实对称矩阵，若存在正交矩阵,T,，使,T,1,A,T,T,1,B,T,都是对角阵，则,A,B,是实对称矩阵,。,证,由(,A,B,),T,=,B,T,A,T,=,B,A,所以，,A,B,对称的充要条件是,A,B,可交换,。,设,T,1,A,T,=diag(,1, ,2,n,)=,1,T,1,B,T,=diag(,1, ,2,n,)=,2,则,1,2,=,diag,(,1,1, ,2,2,n,n,) =,2,1,于是,A,B,=,T,1,T,1,T,2,T,1,=,T,1,2,T,1,=,T,2,1,T,1,=,T,2,T,1,T,1,T,1,=,B,A,所以， (,A,B,),T,=,B,A,=,A,B,即,A,B,是实对称矩阵,。,