数值分析课件第八章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,特征值性质和估计,第,8,章 矩阵特征值计算,一、特征值问题及其性质,二、特征值估计与扰动,2,幂法及反幂法,一、,幂法,幂法是一种求实矩阵,A,的按模最大的特征值,1,及其对应的特征向量,x,1,的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。,A=1 1 0.5;1 1 .25;.5 .25 2,u=1,1,1,v=A*u,v1=max(v),u=v/v1,二、,加速方法,1.,原点平移法,三、反幂,法,反幂法可求非奇异实矩阵的按模最小特征值及特征向量。,反幂法计算公式,:,A=2 1 0;1 3 1;0 1 4,p=1.2679,B=A-p*eye(3);,L U P=lu(B);L,U,P,v=U1 1 1, mu=max(v);u=v/mu,v=U(L(P*u), mu=max(v);u=v/mu,lamda=p+1/mu,3,正交变换与矩阵分解,本节介绍豪斯霍尔德变换和吉文斯变换及其在矩阵分解中的应用,.,一、,Householder,变换,二、吉文斯（,Givens,）变换,三、矩阵的,QR,分解与舒尔分解,定理,18 (Schur,分解,),：,任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上,(,下,),三角矩阵。,也可以采用,Givens,变换和,Schmidt,正交化方法进行,QR,分解。,4 QR,方法,Rutishauser(1958),利用矩阵的三角分解提出计算矩阵特征值的,LR,算法，,Francis(1961,1962),利用矩阵的,QR,分解建立计算矩阵特征值的,QR,方法,.,QR,方法是一种变换方法，是计算一般,(,中小型,),矩阵全部特征值问题的最有效方法之一,.,目前,QR,方法主要用来计算：,（,1,）上海森伯格阵全部特征值问题；,（,2,）对称三对角阵全部特征值问题,.,下面主要介绍求非奇异矩阵的全部特征值的基本,QR,方法。,一、基本,QR,方法,Q, R=qr(A), A=R*Q,