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第1课时数学思想,一、函数与方程思想,函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点,1函数的思想,用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题使问题获得解决函数思想是对函数概念的本质认识,2方程的思想,在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决,3函数与方程的思想在解题中的应用,(1)函数与不等式的相互转化，对函数,y,f,(,x,)，当,y,0时，就转化为不等式,f,(,x,)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式,(2)数列的通项与前,n,项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要,(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论,(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切,(2011浙江卷)设,x,，,y,为实数，若4,x,2,y,2,xy,1，则2,x,y,的最大值是_,对于满足0,p,4的实数,p,，使,x,2,px,4,x,p,3恒成立的,x,的取值范围是_,二、数形结合思想,1数形结合的数学思想,包含,“,以形助数,”,和,“,以数辅形,”,两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质,2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则,(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应,(2)双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错,(3)简单性原则不要为了,“,数形结合,”,而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线,3数形结合思想解决的问题常有以下几种,(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围,(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围,(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系,(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式,(5)构建立体几何模型研究代数问题,(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题,(7)构建方程模型，求根的个数,(8)研究图形的形状、位置关系、性质等,答案：,B,答案：,B,三、分类讨论思想,1分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度,2分类讨论的原则,(1)不重不漏,(2)标准要统一，层次要分明,(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论,3分类讨论的常见类型,(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等,(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前,n,项和公式、函数的单调性等,(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等,(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等,(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法,(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用,(2011福建卷)已知,a,，,b,为常数，且,a,0，函数,f,(,x,),ax,b,ax,ln,x,，,f,(e)2(e2.718 28,是自然对数的底数),(1)求实数,b,的值；,(2)求函数,f,(,x,)的单调区间,解析：,(1)由,f,(e)2得,b,2.,(2)由(1)可得,f,(,x,),ax,2,ax,ln,x,，从而,f,(,x,),a,ln,x,.,因为,a,0，故：,当,a,0时，由,f,(,x,)0得,x,1；由,f,(,x,)0得0,x,1；,当,a,0时，由,f,(,x,)0得0,x,1；由,f,(,x,)0得,x,1.,综上，当,a,0时，函数,f,(,x,)的单调递增区间为(1，,)，单调递减区间为(0,1)；,当,a,0时，函数,f,(,x,)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，,),四、转化与化归思想,转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题,1转化与化归的原则,(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决,(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据,(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决,(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解,2常见的转化与化归的方法,转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式常见的转化方法有：,(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题,(2)换元法：运用,“,换元,”,把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题,(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径,(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的,(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题,(6)构造法：,“,构造,”,一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题,(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径,(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定,(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决,(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合,A,，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集,U,，通过解决全集,U,及补集,U,A,获得原问题的解决，体现了正难则反的原则,(1)求证：,CO,平面,AOB,；,(2)在线段,CB,上是否存在一点,F,，使得平面,DEF,平面,AOC,，若存在，试确定,F,的位置；若不存在，请说明理由,(2)在线段,CB,上存在一点,F,，使得平面,DEF,平面,AOC,，此时,F,为线段,CB,的中点,如图，连接,DF,，,EF,，因为,D,、,E,分别为,AB,、,OB,的中点，,所以,DE,OA,.,又,DE,平面,AOC,上，,所以,DE,平面,AOC,.,因为,E,、,F,分别为,OB,、,BC,的中点，,所以,EF,OC,.,又,EF,平面,AOC,，所以,EF,平面,AOC,，又,EF,DE,E,，,EF,平面,DEF,，,DE,平面,DEF,，所以平面,DEF,平面,AOC,.,解析：,假设存在适合条件的,m,，,由,f,(,x,)是R上的奇函数可得,f,(0)0.,又在0，,)上是增函数，,故,f,(,x,)在R上为增函数,由题设条件可得,f,(cos 2,3),f,(4,m,2,m,cos,)0.,答案：,A,答案：,D,答案：,D,解析：,C,1,：(,x,1),2,y,2,1，,C,2,：,y,0或,y,mx,m,m,(,x,1),当,m,0时，,C,2,：,y,0，此时,C,1,与,C,2,显然只有两个交点；,答案：,B,5方程sin,2,x,cos,x,k,0有解，则,k,的取值范围是_,6若关于,x,的不等式,m,(,x,1),x,2,x,的解集为,x,|1,x,2，则实数,m,的值为_,答案：,2,返回目录,
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