画法几何点、直线与平面的投影

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,V,H,A,第三章 点、线、平面的投影,3,-1 点,一、点的两面投影,a,x,a,a ,A,1,A,2,X,O,a,a ,a,x,证明,投影规律：,aa,OX,aa,x,=Aa,a,a,x,=Aa,X,O,点的投影,V,H,X,O,a ,a,b ,b,c ,c,A,B,C,例题3-1：根据投影图判断点在空间的位置,二、点的三面投影,1.三面投影体系,2.点的三面投影,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a ,a,x,a,a,YH,a,Yw,点的三面投影规律：,a,a,OZ,a,YH,O =,a,Yw,O,aa,OX,3.点的投影与坐标的关系,X,Y,Z,（X，Z）,（X，Y）,（Y，Z）,V,H,W,45,例题,3-2：画出点（15，5，10）的三面投影及空间位置,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,a,a,a,A,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,例3-3,：根据点的两面投影求第三投影,45,a,辅助线,45,b,b,b,e,e,e,c,c,c,d,d,d,f,f,f,g,g,g,三、两点的相对位置,1.相对位置的判定,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,d,d,d,b,b,b,a,a,a,c,c,c,X,O,Z,Y,H,Y,W,(b),(d),不可见者用括号表示,2.重影点及其投影的可见性,3-2直线的投影,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,直线的投影可由直线上任意两点的投影决定,1. 直线的倾角：,对水平投影面的夹角,对正投影面的夹角,对侧投影面的夹角,一、各种位置直线的投影,1 投影面的平行线,2 投影面的垂直线,3 一般位置线,X,O,Z,Y,H,Y,W,b,1、 投影面的平行线,a ,a,a,b,b,实长,（1）水平线,X,O,Z,Y,H,Y,W,b,a,a,a,b,b,（2）正平线,（3）侧平线,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,水平线的投影特征：,（4）、平行线的投影特征：,（1）在与其平行的投影面上的投影反映实长；,（2）该投影与相应投影轴之间的夹角反映直线与另外两个投影面的倾角；,（3）其余的两个投影平行于投影轴，但不反映实长。,25,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,30,b,b,b,例题,1,例题3-4,：过点,A,向,右上方作一正平线,AB,使,其实长为,25,，与,H,面的倾角,=30,。,(1)铅垂线,X,O,Z,Y,H,Y,W,b,a,a,a,b,（b）,2、投影面的垂直线,(2),正垂线,(3)侧垂线,（b,）,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,X,O,Z,Y,H,Y,W,b,a,a,a,（b）,b,（1）直线在与其垂直的投影面上的投影积聚 为一点；,（2）其余的两个投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。,（4）、垂直线的投影特征：,X,O,Z,Y,H,Y,W,b,a,a,a,b,（b）,例题2,例题3-5 根据投影图判断下列直线的空间位置,b,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,（b,）,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,讨论,1、在垂直线投影图上能否量得,、,和,？,2、既然垂直线也平行于投影面，能否称它为平行线呢？,讨论,X,O,Z,Y,H,Y,W,b,a,a,a,b,（b）,b,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,3、一般位置线的投影特征：,（1）三个投影均不反映实长；,（2）三个投影均不反映直线与投影面的倾角。,3,一般位置线,A,0,z,y,x,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,实长,实长,实长,Z,a,- Z,b,直角三角形法：,两直角边、斜边、锐角,求直线对投影面的倾角及线段的实长,例题3,例题3-6,已知直线,AB,的正面投影和点,A,的水平投影,a,并知,AB=25,求,AB,的水平投影,ab,及,AB,对,V,面的倾角,。,X,O,a,a,b,25,b,例题4,例题3-7,已知直线,AB,的水平投影,ab,，,和正面投影,a,并知,AB,对H,面的倾角为30，求,AB,的正面投影及实长,X,O,a,a,b,b,b,1,30,c,c,d,d,点在直线上，点的投影必在直线的同名投影上,定比性,：AC：CB=a c :c b =ac:cb=a,c,:c,b,二、直线上的点,b,X,O,a,a,b,d,D,d,e,e,例题3-8:,在直线,AB,上,找一点,K,AK:KB=3:2,。,b,X,O,a,a,b,3,2,k,k,例题5,例题6,例题3-9:,判定点,K是否在直线,AB,上。,k,O,Z,Y,H,Y,W,a,b,k,k,X,a,a,b,b,X,a ,a,b,b,k,k,例题7,例题3-10:,已知点,C在直线AB,上，,且,AC,=20,求,C,点的投影。,b,X,O,a,a,b,20,c,c,课后思考题,X,O,Z,Y,H,Y,W,(a)b,a,b,a,b,b,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,1、判断AB线的空间位置,A,B,C,D,E,F,H,I,L,K,O,J,M,N,课后思考题,2、请指出立体上棱线的空间位置，并画出相应的投影。,思考练习题,A,B,C,D,E,F,H,G,I,L,K,O,J,M,N,请指出立体棱线的空间位置,并找出其相应的投影,a,(d,),a,d,a,d,b,(c,),b,(c,),b,c,i,(,j,),j,i,j,i,k,(o),k,o,(k,),(o,),f,f,(f,),(h,),(h,),h,e,e,e,3-3 两条直线的相对位置关系,两条直线的相对位置,共面: 平行、相交（垂直）,不共面：交叉(垂直）,一、平行,两条直线平行,同名投影平行,c,a,b,c,d,a,b,d,平行,例一：,a,c,d,b,a,b,c,d,a,b,d,c,例二：,c,d,a,b,a,b,c,d,a,b,c,d,当两条直线为某一投影面的平行线时，必须在该投影面内判断两条直线是否平行,二、相交,两条直线相交,同,名投影相交,c,a,b,c,d,a,b,d,k,k,c,a,b,c,d,a,b,d,交点的投影符合点的投影规律,例题3-11：过点A，作直线AB，与已知直线CD相交。,a,a,c,d,c,d,例题3-12：过点A，作水平线,AB，与已知直线CD相交。,a,a,c,d,c,d,无数解,唯一解,例题3-13：过线外一点A，作正平线与CD相交。,a,a,c,d,c,d,例题3-14：从F点作直线，使其与AB、CD均相交,c,f,f,a,b,a,b,c(d),d,k,k,e,(e,),例题3-15：已知两平行线AB、CD，求作于其相交的水平线MN，使其距H面的距离为15。,a,b,a,b,c,d ,d,c,15,m,n,m,n,三、交叉,交叉直线的特征:,即不平行也不相交,d,d,c,a,b,c,a,b,e,f,e(f),判定可见性,c,a,b,c,d,a,b,d,e,f,f,(e,),g,h,g(h),例题3-16：判定重影点的可见性。,四、垂直,定理：,互相垂直的两直线，当其中有一条直线平行于投影面时，两直线在该投影面上的投影反映直角。,证明,：,bc,ab,AB,BC, BCBb,BC,平面,ABab,bc/BC,bc,平面A,Bab,逆定理也成立：,如果两直线在某一投影面上的投影互相垂直，而其中有一条直线平行于该投影面，那么这两条直线在空间一定垂直。,d,d,c,a,b,c,a,b,d,d,c,a,b,c,a,b,d,d,c,a,b,c,a,b,相交垂直,交叉垂直,垂直的两种情况：,判断垂直,d,d,c,a,b,c,a,b,d,d,c,a,b,c,a,b,例题3-17：求两直线,AB,与,CD,之间,的距离。,(f),e,f ,e,公垂线,b,X,O,a,a,b,c,d,（d）,c,例题3-18：已知矩形ABCD的一边AB 平行于H面，完成该矩形的两面投影,。,d,d,c,a,b,c,a,b,3-4,平面的投影,A,B,C,D,E,F,H,I,L,K,O,J,M,N,一、平面表示法,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,1、几何元素表示法,不在同一直线上的三个点，唯一地确定了一个平面,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,几何元素表示平面的方法,2 迹线表示法,迹线,平面与投影面的交线,Pv,P,H,Pw,二、各种位置平面,1平面的倾角,与H面夹角,与V面夹角,与W面夹角,（1）正垂面,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,2.垂直面,Pv,Pw,Ph,2.垂直面,（2）铅垂面,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,2.垂直面,（3）侧垂面,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,垂直面的投影特性,正垂面,铅垂面,侧垂面,1,在与平面垂直的投影面上，其投影积聚成一条直线。该直线与投影轴的夹角，反映平面与另两个投影面的夹角。,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,2,在与倾斜的投影面上的投影为类似形。,3、平行面,（1）水平面,Y,w,z,x,0,Y,H,a,b,c,a,b,c,b,a,c,（2）正平面,Y,w,z,x,o,Y,H,a,b,c,a,b,b,a,c,c,（3）、侧平面,a ,a,b,Y,w,z,x,o,Y,H,a,b,b,c,c,c,平行面的投影特性,Y,w,z,x,0,Y,H,a,b,c,a,b,c,b,a,c,Y,w,z,x,o,Y,H,a,b,c,a,b,b,a,c,c,a ,a,b,Y,w,z,x,o,Y,H,a,b,b,c,c,c,1,在与其平行的投影面上的投影反映实形,。,2,在另外两个投影面上，其投影积聚成一条直线，且平行于投影轴,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,在三个投影面上的投影都是类似形，不直接反映与投影面的夹角。,4、一般位置面,例题3-19：根据投影判定平面的位置,a,b,c,a,b,c,a,b,a,b,c,c,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,c,c,c,a,a,b,b,c,c,b,b,c,c,a,a,a,b,c,a,b,c,正平面,铅垂面,正垂面,水平面,侧垂面,侧平面,例题3-20：,指出围成立体各平面的空间位置并找出相应的投影,A,B,C,D,E,F,H,I,L,K,O,J,M,N,三、,平面内的点和直线,1、平面内的点,点在平面内，则该点必在已知平面内的一条直线上,平面内的直线,2、平面内的直线,如果直线在平面内，它必须通过平面内的两点；或通过平面内的一点，且平行于平面内的一条直线,特殊位置平面上的点可根据其积聚性求出,一般位置平面上的点的确定要依靠平面上的直线作为辅助直线,a,b,c,c,b,a,k,k,a,b,c,c,b,a,k,k,例题3-21：判断K点是否在平面上,例题3-22：已知MN是平面ABCD内的一条直线，求其水平投影。,a,b,c,d,a,b,d,c,m,n,m,n,绿色的直线在平面内吗？,例题3-23：已知平面ABC内的点D的正面投影，求其水平投影。,a,b,c,a,b,c,d,d,例题3-24：判定点K、E点是否在平面ABC内。,a,b,c,a,b,c,e,e,k,k,不在！,在！,平面是可以无限延伸的,例题3-25： 完成ABCD的投影。,a,b,c,d,a,b,c,o,d,3、平面内的特殊位置线,（1） 平面内的投影面平行线,特点：,在平面上,具有平行线的投影特征,例题3-26：在平面内画出水平线、正平线和侧平线,a,b,c,a,b,c,在平面上可以画出许多条正平线，但方向是一致的。,一般位置平面内平行线的空间形态,一般位置平面内投影面的平行线的空间形态,讨论：,1 在一般位置平面内能否画出投影面的垂直线？,2 在水平面内能画出几种投影面 的特殊位置线？,3 在铅垂面内能画出几种投影面 的特殊位置线？,H,2 、平面的最大斜度线,M,N,A,B,最大斜度线,垂直于平面内投影面平行线的直线,最大斜度线与投影面夹角最大,证明：,2,1,a,B,1,最大斜度线,垂直于平面内投影面平行线的直线,最大斜度线与投影面夹角最大,H,M,N,A,B,2,1,a,B,1,最大坡度线,垂直于平面内水平线的直线,意义,：,最大斜度线与投影面夹角反映了平面与投影面的夹角。,例题3-27：求三角形ABC与H面的倾角,a,b,c,a,b,c,1 求水平线,2 求最大坡度线,3 求,角,讨论2,一条最大坡度线能否决定一个平面？,k,k,想一想,包含水平线AB作一与H面倾角为30的平面,a,b,a,b,c,c,30,d,d,课堂练习题：,3-5 线与面、面与面的相对位置,平行关系,如果一条直线平行于平面内的任意一条直线，则该直线与该平面互相平行,一、 直线与平面平行,例题1,：过点A,作一水平线,AB,使,其与平面,E,CD,平行,。,b ,b,a ,a,X,O,e,c,d,d ,e ,c ,例题2,：判定直线,AB,与平面,E,CD,是否,平行,。,O,e,e,c,c,d,d,X,a,a,b,b,例题3,：判定直线,AB,与平面,E,CD,是否,平行,。,O,e,e,c,c,d,d,X,b,b,a,a,例题4,：过点,C,作一平面平行于直线,AB,。,c,c,平行于一条直线的平面可以有无数个,O,X,b,b,a,a,如果平面内的两条相交直线平行于另一平面内的两条相交直线，则两平面互相平行,二、两平面平行,例题5,：过点,A,作一平面与平面,DEFG,平行,O,X,a,a,d,d,e,g,f,e,g,f,例题6,：判定两正垂面是否平行,。,e,e,c,c,d,d,a,a,b,b,g,g,例题7,：判定两平面是否平行,。,e,e,c,c,d,d,a,a,b,b,g,g,相交问题,1、,共有点,：既属于直线又属于平面,2、,可见性,：,重影点,c ,e,e ,c,d,d ,1、特殊位置直线与一般面相交,（,利用积聚性求交点）,k ,k,当相交的两个元素中有一个是特殊位置时，从有积聚性的投影下手解题,O,X,b ,b,a ,(a),2、一般线与投影面垂直面相交,（,利用积聚性求交点）,O,X,b,b,k,k,e,e,c,c,d,d,a,a,e,e ,f,f ,d,d ,a,a ,c ,b ,c,4、一般面与投影面垂直面相交,（利用积聚性求交线）,k ,l ,k(l),两垂直面的交线是垂直线,e,e ,c,c ,d,d ,a ,a,b,b ,3、一般线与一般面相交,（,用辅助线(平面) 求交点）,k ,k,交点是可见与不可见的分界点,P,H,用辅助平面（线）求交点的一般步骤：,1,含已知直线的一个投影作一辅助面（通常为垂直面）；,3,交线的投影与已知直线的同名投影相交，得交点,；,4,判定可见性：利用重影点。,e,e ,c,c ,d,d ,a ,a,b,b ,k ,k,P,H,2 求该,辅助面与已知平面的交线,；,基本作图题,e,e ,c,c ,d,d ,a ,a,b,b ,k ,k,例题8,：求直线,AB,与平面,E,CD,的,交点,4、两平面相交,交线共有线,例题9,：求两平面的交线，并判断可见性,。,a,b,c,d,e,f,g,f,e,g,5、两一般面相交,（利用线面交点法求交线）,m,m,n ,n,全交,温故知新,例题10,：求两平面的交线，并判断可见性,。,m ,m,n ,n,例题11,：求两平面的交线，并判断可见性,。,m ,m,n ,n,互交,特殊情况：,用辅助平面求两平面的交线,Pv,k ,k,Qv,l ,l,平面扩大后再交,垂直,（往往是综合性的）,如果一条直线垂直于平面内的任意两条相交直线，则直线与平面互相垂直,e,e ,c,c ,d,d ,a ,a,b,b ,1,求垂直线,：其正面投影垂直于正平线的正面投影；水平投影垂直于水平线的水平投影；,2,求交点,k,k ,3,判别可见性,不可见,不可见,例题12,：过点A作直线,AB,垂直,于平面,E,CD,，,并求交点,。,1 求垂直线：其正面投影垂直于正平线的正面投影；水平投影垂直于水平线的水平投影；,2 求交点,3 判别可见性,基本作图题,e,e ,c,c ,d,d ,a ,a,b,b ,k,k ,例题13,：过点A作平面与直线,垂直,。,c,c,b ,b,O,e,e ,d,d ,X,a ,a,基本作图题,例题14,：判定直线,AB,与平面,E,CDF,是否垂直,。,d ,c,c ,b ,b,O,e,e ,d,X,a ,a,f ,f,例题15,：判定直线,AB,与铅垂面是否垂直,。,b ,b,O,X,a ,a,与铅垂面垂直的线一定是水平线且水平投影垂直于平面的水平投影,例题16,：已知矩形,ABCD的一边,AB,的,两个投影及邻边,AC,的正面投影，要求完成矩形的投影,。,c,d,d ,c ,b,O,X,a ,a,b ,线面垂直思路解决的几种常见的应用题：,1,已知平面，求垂直线,2,已知直线，求垂直面,3,求点到平面的距离问题,4 ,垂直问题中，反映的构建很重要。,参与相交的两个平面都是特殊位置时，其交线的投影如何求出？,思考题一,两个平面的交线应该在投影图上画多长？,思考题二,a ,b ,a,b,3、两平面垂直,包含与平面垂直线的所有平面都与该平面垂直,例题17,：包含直线作一平面，与已知平面垂直。,例题18,：判定两平面是否垂直。,例题19,：判定两平面是否垂直。,直线与平面、平面与平面的相对位置：,小 结,平行,定理,几何作图,平面与平面,定理,直线与平面,求交点,几何作图,特殊位置的平面和直线,一般位置的平面和直线,平面与平面,求交线,直线与平面,垂直于面内的正平线和水平线,几何作图,平面与平面,含垂直线,直线与平面,相交,垂直,已知直线求平面,已知平面求直线（平面）,特殊位置的平面和直线,判定平行,