插值与多项式逼近

单击此处编辑母版样式,单击此处编辑幻灯片母版样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,浙江大学机械电子工程,*,第4章 插值与多项式逼近,4,Interpolation and,Polynomial,Approximation,1,浙江大学机械电子工程,引例,你曾使用过的地图最初从何而来?世界上第一张地图是如何绘制的?,对某一地区或国家，如何根据测绘部门测量的数据绘制一张该地区的地图?,2,浙江大学机械电子工程,插值法,Interpolation,插值概念与基础理论 Introduction,插值多项式的求法,3,浙江大学机械电子工程,插值概念与基础理论,概念,在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式yf(x)来表示,4,浙江大学机械电子工程,应用,插值在工程实践和科学实验中有着非常广泛而 的应用，例如:,信息技术中的图像重建,机械零件的外观设计,实验数据与模型的分析,天文观测数据,地理信息数据的处理,社会经济现象的统计分析等等,5,浙江大学机械电子工程,大脑成像,6,浙江大学机械电子工程,汽车车轮造型,虚拟风洞,7,浙江大学机械电子工程,气象三维数据模型,油藏模型,8,浙江大学机械电子工程,插值概念与基础理论,概念,在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式yf(x)来表示,9,浙江大学机械电子工程,10,浙江大学机械电子工程,11,浙江大学机械电子工程,如何确定插值多项式？,12,浙江大学机械电子工程,13,浙江大学机械电子工程,插值余项,14,浙江大学机械电子工程,对t求导，k(x)看成常数,15,浙江大学机械电子工程,16,浙江大学机械电子工程,17,浙江大学机械电子工程,4.3 Lagrange Approximation,18,浙江大学机械电子工程,当 n=1 时,称线性插值,当 n=2 时,抛物线插值,19,浙江大学机械电子工程,20,浙江大学机械电子工程,21,浙江大学机械电子工程,22,浙江大学机械电子工程,编制程序时，可用二重循环来完成计算，即先固定k，令J从0到n(j,k)作乘积得,然后对k作和得Ln(x)的值相应的程序框图为:,23,浙江大学机械电子工程,MATALAB实现Lagrange插值,%lagrange insert,function y=lagrange(x0,y0,x),n=length(x0);m=length(x);,for i=1:m,z=x(i),s=0.0,for k=1:n,p=1.0;,for j=1:n,if j=k,p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);,end,end,s=p*y0(k)+s;,end,y(i)=s;,end,x=0.4:0.1:0.8;,y=-0.916291 -0.693147 -0.510826,-0.356675 -0.223144;,lagrange(x,y,0.54),ans =,-0.6161,24,浙江大学机械电子工程,22 差商与牛顿基本括值多项式,前面构造的拉格朗日插值多项式，其形式具有对,称性，既便于记忆，又便于应用与编制程序但是，由,于公式中的 都依赖于全部插值节点，在增加或减少节点时，必须全部重新计算,为克服这个缺点，插值多项式可以如何构造？,25,浙江大学机械电子工程,这种形式的插值多项式称为n次牛顿插值多项式,Newton Polynomials,26,浙江大学机械电子工程,27,浙江大学机械电子工程,28,浙江大学机械电子工程,29,浙江大学机械电子工程,30,浙江大学机械电子工程,31,浙江大学机械电子工程,Program 4.2(Newton Interpolation Polynomial),程序42(牛顿插值多项式) 构造和计算经过点,的次数小于等于N的牛顿多项式：,32,浙江大学机械电子工程,33,浙江大学机械电子工程,34,浙江大学机械电子工程,35,浙江大学机械电子工程,36,浙江大学机械电子工程,37,浙江大学机械电子工程,38,浙江大学机械电子工程,利用MATALAB进行插值计算,一维插值,39,浙江大学机械电子工程,40,浙江大学机械电子工程,分段低次插值,41,浙江大学机械电子工程,Runge现象产生,x=-5:1:5;,y=1./(1+x.2);,x0=-5:0.1:5;,y0=lagrange(x,y,x0);,y1=1./(1+x0.2);,plot(x,y),plot(x0,y0,-r),42,浙江大学机械电子工程,分段线性插值,分段抛物插值,3.1 分段线性插值与分段抛物插值,43,浙江大学机械电子工程,利用MATLAB软件进行插值,高维插值,44,浙江大学机械电子工程,气旋变化情况可视化,45,浙江大学机械电子工程,46,浙江大学机械电子工程,47,浙江大学机械电子工程,应用实例分析,48,浙江大学机械电子工程,49,浙江大学机械电子工程,50,浙江大学机械电子工程,51,浙江大学机械电子工程,52,浙江大学机械电子工程,53,浙江大学机械电子工程,54,浙江大学机械电子工程,55,浙江大学机械电子工程,56,浙江大学机械电子工程,思考题：,57,浙江大学机械电子工程,This Class Is Over,Thanks for Your Attention!,58,浙江大学机械电子工程,三次样条插值,59,浙江大学机械电子工程,三次样条插值函数求法,60,浙江大学机械电子工程,边界条件：,61,浙江大学机械电子工程,三次样条插值函数简化计算方法,由,确定两个积分常数,62,浙江大学机械电子工程,63,浙江大学机械电子工程,64,浙江大学机械电子工程,65,浙江大学机械电子工程,66,浙江大学机械电子工程,67,浙江大学机械电子工程,68,浙江大学机械电子工程,