高等数学引言与逻辑课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学,工科数学分析、,常微分方程基础、,立体解析几何,两点说明,1.平时成绩的评定：以下各项分别占总成绩的10%,（1）完成作业情况；,（2）笔记整理（标明时间）与课堂表现（出席与状态）；,（3）期中测验成绩。,2.期末考试成绩占总成绩的70%。,数学的学习,与逻辑预备,知识,怎样算是学懂了一门数学课程,问题：,学习一门数学课程，或者是其中一章，一节，一次课，怎么判断自己是否学到了东西？是否学明白了这些内容？,搞清这一点，需考虑可否清晰地回答如下一些问题。,3.如何整理的？,无论是解决一个大的综合性问题（由一系列层次递进的问题组合而成，有时还会有一些值得探讨的派生问题）；还是一个小的问题（比如一个单一的问题，甚至习题），将其解决方法表现出来的，都是一个理论“体系”（可能很长很复杂，也可以短而简单）。,那么这个体系的逻辑关系是怎样构成的？,这如写一篇文章，事先须想好文章的总体提纲。先写什么，后写什么，前后如何衔接，即事先想好了“启承转合”。假设想起什么写什么，就可能缺乏条理，甚至自相矛盾。,一个成熟的数学理论，必然有其较为合理的体系结构（但不见得是唯一合理的，所以同一个理论也可能有不同的体系结构）。要学懂数学，就要理清理论的整体逻辑关系。这有助于从整体上深刻、灵活的把握相关理论内容。,如果仔细考察，会发现，很多情况下，被人们整理出来的理论体系，往往会把发明或发现者的原始思路给隐蔽起来。,有时候，理论体系所展现的次序层次，与解决问题的思考层次是反向的。,这不奇怪，因为在解决问题的时候，基本上都是从问题本身出发，逐次发现需要解决或确立的其它基础条件，并构建所需要的概念。但是，表现理论时，却先界定好概念，整理好所需的基础条件（问题）。,4.如何表达的？,每个学科，都会形成一定的语言表述范式。有些学科要求比较严格，有些相对宽松。比较而言，数学语言，差不多可以说是最严格的。,最严格的数学语言，是所谓的形式化的符号语言。一般不需要采用这么严格的语言，通常见到的是自然（日常）语言与形式符号语言相结合的语言。但是，从逻辑上讲，这样的语言也基本上可以转化成严格的形式语言（忽略某些自然语义的解释）。,掌握数学的语言，对于学习数学当然是十分重要的。初学者需要经常琢磨标准的数学表述，即,小结,不难做出判断，搞清楚前面两个问题是最主要的。如果连干什么和怎么干的都不知道，就等于什么也没学到，什么也没搞明白！,但是，如果对于整体的逻辑关系，以及数学语言的表达都不能把握，那么也就无法搞清楚前面两个问题。,较好的掌握了数学语言，并具有清晰的逻辑判断能力之后，那么学习数学的时候，所关注的往往就是前面两点了。这时候，自学数学的基本能力也会大大提高。,很多人感觉数学太难学，当然也有人说数学最容易学。说容易的人认为：数学是最讲理的，无论多大的权威，都无法改变数学所得到的结论。所以解答数学问题，不需要看什么人的脸色给出答案。,那么认为数学学习困难的原因是什么呢？,本人认为，一般可能有三方面原因：,一、逻辑思维问题；,二、抽象思维问题；,三、建立联系的能力和知识面的问题，（这一点，下面不讨论。）。,不能自觉地提高自己的逻辑和抽象思维能力，在学习数学的过程中，仅仅停留在于刚才所说的第四个层次的后半个层次上：,背数学的表达。,既不知道在干啥，也不知道怎么干的，甚至不知道为什么那样表达。于是，学习数学的过程也就变成了遭受苦难的过程。啥也没学会，啥也记不住。,前人既然都已经创造出了这一切。他们发现而且解决了问题，还系统严格的将其表达出来了，难道今天的我们还看不懂吗？！,更何况，还有很多人在交流！,一些逻辑常识,形式逻辑的基本规律（公理）,1.同一律（A是A）；,2.矛盾律（A不是非A）；,3.排中律（A，或者非A）。,说明：这里的A指的是一个没有变化的静止的对象。假设你所讨论的对象本身是变化的，那么你也要经过适当的规定，使得所讨论的对象转化成静态对象。这往往要有明确的界定，即关于对象概念的清晰定义。,对于变动不居的对象，形式逻辑的应用将可能失效。,注：很多诡辩，就是依靠或明或暗的改变“论域”达到目的的。,2.在确定的范围内对判定命题的是与非，必须确定判定标准。比如，在特定的数学教材中，总会给出主要概念的明确定义和必要的约定（算作公理）。这些是建立判定的基础。学习数学，必须对定义和约定有特别清晰的理解。决不能自以为是。,再比如，数学问题的答案，需要用数学的语言和符号以符合逻辑关系的方式推导并表示给出。仅仅通过直观对某个具体情况的描述（尽管有意义和启发作用），不能算作正确的答案。,注：脑筋急转弯给出的答案，主要是改变题目中没有明确说出的、但又是通常被人默认的论域或判别标准。,但是，数学不允许这类脑筋急转弯，因为那只是诡辩！,命题&命题函项,1.命题.可以判定真假的陈述语句（的语义）称为命题。,例1：3是偶数；8是偶数；温家宝是美国财长。,例2：x是偶数；y=f(x);0.3=sinx (x是实数);,x是刘德华的粉丝（x是女士）。,上面例2中的语句都不能判断真假。因为里面有变元符号，只有用属于论域的常元（某个具体对象）替换这里的变元，才使其成为命题，这样的语句（或公式）称为“命题函项的开式”（或开命题）。,那么是否含有变元符号的语句或公式变都不是命题呢？不能这样死记硬背。现在观察如下几个例子：,例1：x不小于0（假设已经默认论域是自然数集）。,例2：若x大于y,并且y大于z,则x大于z（默认论域为实数集）。,例3：任意（实数）x，x大于0.,不难看出，上面三例都是可以判断真假的语句，因此也都分别表述了一个命题。可是它们的表达式中也都有变元。,那么如何辨析那些含有变元的语句或公式（命题函项）实际上已经表述了命题，而哪些还是命题函项而非命题呢？,事实上,，,稍微思考就会发现：例1的句子等价于“,任意,自然数x不小于0”；例2的句子等价于“对于,任意,的实数x、y、z，只要x大于y，y大于z，则有x大于z”.,例4：x小于3；存在x（x小于3）；任意x（x小于3）。,例5：x小于y；存在x(x小于y)；任意x（x小于y）；,对任意x，存在y（x小于y）；存在x，对任意y（x小于y）。,比较这些句子，可以发现，一个在语法表述上正确的语句或公式，只要语句（公式）中的变元都受到量词（中学提到过这个概念）的约束，这个语句（公式）其实也就是命题了。,而前面某些表面上没有量词的语句（或公式），其实都已经蕴含了量词在句子中的作用。,上面的讨论表明，量词的理解和使用，是特别重要的。不夸张的说，对于语言表述进行形式（或符号）逻辑的分析，其最主要的内容，就是对其中量词关系的分析。,因此，有必要对量词（以及逻辑连接词）再做一些说明。,关于逻辑词（连接词和量词）,3.关于量词的说明,：（1）量词与量词符号；,（2）量词的日常语言解释：全称量词符号解释“任意一个”，或解释为“对于任意一个”（特别是后面紧跟着单称量词），不要解释为“对于所有的”（,切记这一点！后面还会说明产生这种现想的原因,）；,单称量词符号解释为“存在（某个）”。,1连接词. 有“若则”；“并且”；“或者”；“非”，分别由符号表为： 。,2.量词.全称（或任意）量词如： ；,单称（或存在）量词如： 等等。,(b)一个约定：如果将一个开式（即存在自由变元的命题函项）看做命题，那么它将被看做有前置全称量词的命题函项，即已作为闭式看待。,特别的，一个含有自由变元的蕴含式，如：,“ 若A(x)，则B(x)”，,总被解读为：“,对任意x（若A（x）,则B（x）,”。,（c）在一个命题函项中，如果一个变元符号x不属于某个特定量词 的辖域之内，即便该量词辖域中也有变元符号x出现，这两个变元符号x却并不指 代同一个对象（详略）。,思考题,（1）陈述句“a、b、c都是等于0的数”的否定式应该如何表述？,（2）有人说：“若A则B”的否定式是“若A则非B”，你认为对吗？说说你的看法,可以举例说明理由吗？,（3）判断命题“若abc=0,则a、b、c都等于0”的真假，并给出它的否定式。,（4）设A是如下一个命题：,“对任意一个人x，都存在一个人y（y是x的亲兄弟）。”,请写出“非A”的陈述语句。并判断其真假。,如果你认为“非A”是真的，说说怎么证明你的结论，即说明怎样才算是证明了“非A”是真的。,（5）设 是一个数列，将下面用符号表示的公式：,“翻译”成自然语言表述的语句，讨论它是否是命题，或在何,种情况下它是一个命题。,它的否定形式应如何表达?请用两种方式给出，一是自然,语言的描述；二是用符号的形式化表达。,（5+）（接续上题）分别对如下三种情况讨论所给命题,的真假：,（i）,数列的通项（第n项）为（2n+3）的倒数；,（ii）数列通项为n；,（iii）数列通项为（-1的n次方）。,并讨论：如果你认为命题为真，你该如何证明其为真；如,果你认为命题为假，你应如何验证它是假的。,理由是：,试讨论这里存在什么问题？说说你的看法。,半费之讼：普罗泰戈拉与欧提勒士,