逻辑代数及其化简

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,逻辑代数的基本公式,交换率,A+B=B+A,AB=BA,结合率,A+(B+C)=(A+B)+C,A(BC)=(AB)C,分配率,A(B+C)=AB+AC,A+(BC)=(A+B)(A+C),吸收率,A+AB=A,A(A+B)=A,0,1,率,A+1=1,A+O=A,A0=0,A1=A,互补率,重叠率,A+A=A,AA=A,非非率,反演率,包含率,第四章逻辑函数及其简化,一、基本逻辑运算：,与、或、非,三种。,二、复合逻辑运算：,与非、或非、与或非、异或、同或,五种,三、逻辑代数的基本定律和规则,1、逻辑函数间的相等,2,、逻辑代数的基本公式,（,1,）、代入规则,任何一个含变量,A,的等式中，如果将出现,A,的地方，都代之一个逻辑函数,F,，则等式仍然成立。,例,1,：分配率,A(B+C) = AB+AC,令：,C = EF,代入公式,A(B+,EF,),证,:A(B+EF),用乘对加的分配率证明,例,2,:,则：,令：,A = CD,证：,代入规则之所以正确：,是因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样，只有两种可能取值,(,0 ,1,),所以可以将逻辑函数当作一个逻辑变量对待。,3,、逻辑代数三个规则,= AB+AEF,= AB+A,EF,有了代入规则，基本定律不受变量限制，扩大了基本公式的应用范围。,（,2,）、反演规则：,（摩根定理）,目的：,求原函数的反函数,已知函数为,F,，将,F,中的所有,“,”,换为,“,”,，,“,”,换为,“,”,，,0,换为,1,，,1,换为,0,，原变量换为反变量，反变量换为原变量。得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作,例,1,:,已知,解：,由反演规则直接得出,由反演率得,2,、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。,本例说明：,1,、由反演规则求反函数，比直接用反演率求反函数方便、简单。,三个规则,例,2:,已知,解：,利用反演规则直接写出,注意：不属于单个变量上的反号保持不变。,（,3,）、对偶规则：,对偶式：已知函数为,F,，将,F,中的所有,“,”,换为,“,”,，,“,”,换为,“,”,，,0,换为,1,，,1,换为,0,，,变量保持不变,。得到的函数式就是原函数的对偶式,F,。,例：,首先了解什么是对偶式；,三个规则,对偶规则：,如果两个函数,F,和,G,相等，那么它们各自的对偶式,F,和,G,也相等。,例,：,F = A(B+C),由乘对加的分配率知：,F=,A+BC,由加对乘的分配率知,:,G= (A+B)(A+C),G = AB+AC,F = A(B+C)=AB+AC,F = G, F= G,F= A+BC = (A+B)(A+C),三个规则,掌握对偶规则的目的：,当证明某一等式相等后，根据对偶规则，其对偶式也相等。使证明的式子数目减少一半。起到事半功倍的效果。,2,、逻辑代数的基本公式,交换率,A+B=B+A,AB=BA,结合率,A+(B+C)=(A+B)+C,A(BC)=(AB)C,分配率,A(B+C)=AB+AC,A+(BC)=(A+B)(A+C),吸收率,A+AB=A,A(A+B)=A,0,1,率,A+1=1,A+O=A,A0=0,A1=A,互补率,重叠率,A+A=A,AA=A,非非率,反演率,包含率,目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的基本定律，得出一些常用公式。,吸收律：,（互补率）,说明：两个乘积项相加时，若乘积项分别包含,B,和,/B,两个因子。而其余因子相同。则两项定能合并成一项，消去,B,和,/B,两个因子。,说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好是另一乘积项的补,（,/A),，,则该乘积项中的,/A,是多余的。,吸收律,：,对偶式：,对偶式：,4,、若干常用公式,包含律：,推论：,对偶式：,证：,若干常用公式,A+BC = (A+B)(A+C),证：,(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC,=(A+AC+AB)+BC,=A(1+C+B)+BC,= A+BC,A(B+C)=AB+AC,交叉互换率：,对偶式：,加对乘的分配率：,对偶式：,若干常用公式,常用逻辑函数表示方法有：,1,、逻辑真值表,2,、逻辑表达式,3,、逻辑图,各种表示方法间的相互转换,一、从真值表写出逻辑表达式,例：已知一个奇偶判别函数的真值表（偶为,1,奇为,0),，试写出它的逻辑函数式。,A,B,C,Y,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,解：,当,ABC=011,时，,当,ABC=101,时，,当,ABC=110,时，,因此，,Y,的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和。,4,、工作波形图,5,、逻辑函数的表示方法,真值表的特点：, 唯一性;, 按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不会重复 ）。,n,个输入变量就有,2,n,个不同的取值组合。,通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法。,1,、找出真值表中使逻辑函数,Y=1,的输入变量取值组合。,2,、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为,1,的写入原变量，取值为,0,的写入反变量。,3,、将取值为,1,的乘积项相加，即得到,Y,的逻辑函数式。,二、从逻辑表达式列出真值表,将输入变量的所有状态组合逐一代入逻辑式，求出函数值，列成表，即可得到真值表。,例：已知函数,求其对应真值表。,A,B,C,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,解：将三变量所有取值组合代入,Y,式中，将计算结果列表。,逻辑函数的表示方法,&,&,1,1,1,&,&,1,1,三、从逻辑表达式画出逻辑图,用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。,例：已知逻辑函数,画出对应逻辑图。,解：将式中所有的与、或、非运算符号用逻辑符号代替，并根据运算优先顺序把这些逻辑符号连接起来，就得到,Y,的逻辑图。,逻辑函数的表示方法,1,1,1,1,1,A,B,Y,四、,从逻辑图写出逻辑表达式,从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符号的逻辑式，就得到对应的逻辑表达式。,例：已知逻辑图，试写出逻辑表达式。,解：从输入,A,、,B,开始逐个写出每个逻辑符号输出端的逻辑式。,逻辑函数的表示方法,与,-,或式,与非与非式,或,-,与式,或非或式,或,-,与非式,逻辑函数的八种形式可以用八种逻辑电路来实现。,任何一个逻辑函数都可以通过逻辑变换写成以下八种形式：,八种不同的逻辑电路可以实现同一逻辑功能。,与,-,或非式,与非与式,或非或非式,目的：为图解化简法打好基础。,与项：,逻辑变量间只进行乘运算的表达式称为与项 。,与或表达式：,与项和与项间只进行加运算的表达式称为与,或表达式。如,:,或项：,逻辑变量间只进行或运算的表达式称为或项。,或与表达式：,或项和或项间只进行乘运算的表达式称为或与表达式。如,:,在介绍逻辑函数的标准形式之前，先介绍最小项和最大项的概念，然后介绍逻辑函数的,“最小项之和”,及,“最大项之积”,两种标准形式。,几个概念：,四：逻辑函数的两种标准形式,(1),定义：,最小项是一个与项。,(,2),特点,：,n,个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个,与项,为最小项。,n,变量有,2,n,个最小项。,例如：在三变量,A,、,B,、,C,的最小项中：,1,、最小项,输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于,1,。,当,A=1,、,B=0,、,C=1,时，,所对应的十进制数就是,5,。,按照上述约定，作出三变量最小项编号表。,原取,1,反取,0.,一、最小项和最大项,最小项,使最小项为,1,的变量取值,对应十进制数,编号,A,B,C,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0,1,1,3,1,0,0,4,1,0,1,5,1,1,0,6,1,1,1,7,（,3,）最小项的重要性质,在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为,1,。,三变量最小项编号表,所有最小项之和为,1,。,任意两个最小项的乘积为,0,。,具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消去一对因子。,相邻性：,若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，则称这两个最小项具有相邻性。,例：,最小项和最大项,定理：,任何逻辑函数,F,都可以用最小项之和的形式表示。而且这种形式是唯一的。,1,、 真值表法：,将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最小项之和。,例：将,表示为最小项之和的形式。,解：,由最小项特点知：,n,个变量都出现，,BC,缺变量,A,所以,F,是一般与或式，不是最小项之和的标准形式。,列：,F,真值表：,(4),、用最小项表示逻辑函数的方法,000,1,0,0,1,001,0,0,0,0,010,0,0,0,0,011,0,1,0,1,100,0,0,1,1,101,0,0,0,0,110,0,0,1,1,111,0,1,0,1,由最小项性质,、知：每个最小项等于,1,的自变量取值是惟一的。,那么：将,F = 1,的输入变量组合相加即可。其输入变量组合中，,1,表示,原变量,0,表示,反变量,用最小项表示逻辑函数的方法,2,、 摩根定律及配项法,将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为最小项之和的形式。,例,1,：,解：,原取,1,反取,0,用最小项表示逻辑函数的方法,例,2,：将,表示为最小项之和的形式。,解：,说明：,全部由最小项相加构成的与,-,或表达式称为最小项表达式，是与,-,或表达式的标准形式。,(,都是最小项，不是全部最小项,),。,用最小项表示逻辑函数的方法,作业,P111,2(2),3(3,，,4),4(3,，,4),10(3),(1),定义：,最大项是一个或项。,(2),特点：,n,个变量都出现,，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个,或项,为最大项。,n,变量有,2,n,个最大项。,例如：在三变量,A,、,B,、,C,的最大项中：,2,、最大项,输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于,0,。,当,A=1,、,B=0,、,C=1,时，,按照上述约定，作出三变量最大项编号表。,如果将最大项为,0,的,ABC,取值视为一个二进制数，并以其对应的十进制数给出最大项编号，,原取,0,反取,1,。,最小项和最大项,最大项,使最大项为,0,的变量取值,对应十进制数,编号,A,B,C,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0,1,1,3,1,0,0,4,1,0,1,5,1,1,0,6,1,1,1,7,（,3,）最大项的重要性质,在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为,0,。,三变量最大项编号表,所有最大项之积为,0,任意两个最大项之和为,1,。,只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。,例：,(4),、用最大项表示逻辑函数的方法：,定理：,任何逻辑函数,F,都可以用最大项之积的形式表示。而且这种形式是惟一的。,用最大项表示逻辑函数的方法有两种：,真值表法,加对乘的分配率及配项法,最小项和最大项,一、 真值表法,：,表示为最大项之积的形式。,列：,F,真值表,：,000,1,0,0,1,001,0,0,0,0,010,0,0,0,0,011,0,1,0,1,100,0,0,1,1,101,0,0,0,0,110,0,0,1,1,111,0,1,0,1,解,：把真值表中,F = 0,的输入变量，以最大项的形式表示。输入,0,表示原变量，,1,表示反变量。,既可以用最大项之积表示，又可以用最小项之和表示。,比较函数,F,的最大项之积和最小项之和表达式，可以发现；只要知道一种形式就可以直接写出另一种表达形式。,加对乘的分配率,配项,代入规则,加对乘的分配率,合并项,二、 加对乘的分配率及配项法,表示成最大项之积和最小项之和的形式。,解：,最大项原变量记做,0,，反变量记做,1,。,最小项之和为：,A+B,缺变量,C,A+C,缺变量,B,由以上讨论可知：全部由最大项相乘构成的或,-,与表达式称为最大项的标准表达式，又称为标准或,-,与表达式。,3,、最小项与最大项之间的关系：,脚号相同，互为反演。,例,1:,例,2:,因子相同，互为对偶。,求其对偶式。,最小项与对偶项之和为,15.,