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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章,经典电动力学基础,（电磁现象的普遍规律）,1.1 静电场的方程式,库仑定律（Coulombs law),Coulombs law是描写真空中两个静止的点电荷,q,和,q,之间相互作用力的定律。其数学表达式为,z,x,y,o,q,q,叠加原理（principle of superposition),若空间存在,n,个电荷,q,1,q,2,qn,，这时任意一个电荷,qj,，受到其它所有电荷对它的作用力为,电场强度（electric field）,电场强度 被定义为电位电荷在场中所受的力。若电荷 在场中某处 受力 ，,则该处的电场强度为,库仑定律告诉我们，一个点电荷 周围的电场分布为,电场的叠加原理,多个电荷同时产生的电场,即,一般地，引入电荷密度 来描写源的电量分布，它产生电场为,z,P,(,x,y,z,),y,o,x,在源电荷为点状分布时，电荷密度用 函数表示,静电场所满足的微分方程,按高斯定理，有,把单个电荷的电场公式代入右边,Gauss theorem主要是讨论电场强度 的面积分，在点电荷场中，设,s,表示包围着点电荷,q,的一个闭合面，为,s,上的定向面元，以外法线方向为正。,a)如果点电荷,q,在,s,面内,S,q,r,S,q,r,b)如果点电荷,q,在,S,面外，把,S,面分成两部分，照明部分,S,2和阴影部分,S,1,S,q,S,1,由此可得到结论：,根据叠加原理，在点电荷系场中，则存在着如下形式：,设,q,1,q,2,qk,在,S,内，,qk,+1,qk,+2,qn,在,S,外，则有,这里,q,仅仅是封闭曲面,S,内的总电荷,对于连续分布的电荷体系来说，则有,因此，得到,因为，体积分是任意取的，所以两边被积函数必须相等,作为偏微分方程，只有此式不构成完备的方程组,因此，我们计算电场强度的旋度。由斯托克斯定理知,最后，我们根据以下两个方程,1.2 静磁场的方程式,电流密度（Current density),电流强度(Current intensity),单位时间内垂直穿过导线横截面的电量称为电流强度，用,I,表示，显然,I,与 j 的关系为,电荷守恒(Conservation of Charge),对于封闭系统，总电荷保持不变。实验表明电荷是守恒的。即一处电荷增加了，另一处的电荷必然减少，而且增加和减少的量值相等。,若在通有电流的导体内部，任意找出一个小体积,V,，包围这个体积的闭合曲面为,S,，并且假定电流从体积,V,的一面流入，从另一面流出。单位时间内穿过,S,曲面流出去的电量为,而流出去的电量应该等于封闭曲面,S,内总电荷在单位时间内的减少量，即,根据Gauss theorem，有,由于曲面,S,是任意选取的，所以被积函数恒为零，即,这就是电荷守恒定律的数学表达式,也称连续性方程。,在稳定电流的情况下，由于 ，所以稳定电流条件为,磁场（magnetic field),稳定电流周围有静磁场，同时磁场对电流有作用力。与静磁场有关的规律有三点,（1）处的电流元 在 处产生的磁场 为,（2）满足叠加原理,（3）磁场对电流的力密度为,毕奥萨伐尔定律（Biot-Savarts law),洛伦兹力公式,磁场的散度和旋度,式中 是对场点 微分，与源点 无关，运用公式,从而得到,因为积分是对 而言的，所以 可以提到积分号外，故,其中,磁场的旋度,这是磁感应强度满足的一个微分方程,先看右边第一项,运用公式,得到,因为,对于稳恒电流，故有,由于电流应全部包含在积分区域内，因而在边界面上电流密度的法向分量应为零，即得到,再看第二项,利用,最后得到,至此，我们得到了静磁场的两个基本方程：,1.3 电磁感应定律,变化磁场产生电场,闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比,又由于感应电场的存在，则,所以,即,由于,S,曲面是任意的，要使上式成立，除非是,1.4麦克斯韦方程,已有的电磁场方程,分别在一定的条件下成立,同时有电荷守恒方程,与上面第四式矛盾,对第四式求散度,一般情况下不成立,为了与电荷守恒方程兼容，应该修改第四式（磁场还有其他来源），修改为,位移电流（displacement current),为了不和电荷守恒矛盾，应当有,因此，麦克斯韦把位移电流定义为,修改以后得到方程组,电荷守恒方程,洛伦兹力,1.5电磁作用下的能量守恒定理,在既有电荷和电流，又有电磁和磁场的空间内取一个任意的封闭区域V。,利用高斯定理后，可改成微分形式,这是电磁作用下，能量守恒应该有的数学形式，下面我们证明此形式,首先，有洛伦兹力公式导出电磁力的功率密度。磁力不做功,由麦克斯韦第四方程,得,看右边第一项，按,代回上式,电磁场的能量密度,电磁场的能流密度,1.6电磁作用下的动量守恒定理（略）,1.7介质的电磁性质,我们知道，无论什么介质，从微观上看都是由带正负电的粒子组成的集合，介质的存在相当于真空中存在着大量的带电粒子，因此从这个角度看介质的存在本质上没有什么特殊的地方。宏观电动力学不是考察个别粒子产生的微观电磁场，而是考察它们的宏观平均值。由于介质在宏观电磁场的作用下，将导致极化和磁化，即出现宏观的电荷和电流，这些附加的电荷和电流也要激发电磁场，使原来的宏观电磁场有所改变。所以在介质的极化和磁化过程中，电荷和电场、电流和磁场是互相制约的，介质的内部宏观电磁现象就是这些电荷、电流分布和电磁场之间相互作用的结果。,介质的极化（polarization of dielectric),介质的极化说明介质对电场的反映，在有电场的情况下，介质中的正负电荷分别受到方向相反的作用力，因此正负电荷间的距离拉开了。另外，那些有极分子在电场作用下按一定方向有序排列，从宏观上来看这两种行为都相当于产生了一个电偶极矩。,在电磁学中，曾引进了极化强度矢量：,其中 是第 i 个分子的电偶极矩，即 ,求和是对 体积中所有分子进行的。,极化强度P和电磁强度E的关系取决于介质的组分和热力学状态，难以有普遍适用的规律。经验表明，在一般介质中，它们满足简单的线性关系，即,叫极化率，是介质中受极化影响后的场强,介质的磁化（magnetization of dielectric),原子和分子的磁性来自它的磁矩，磁矩则来自组分粒子的轨道运动和自旋，我们等效看作,微观环形电流，这种环形电流相当于一个磁偶极子。在没有外磁场时，这些磁矩取向是无规则的，不呈现宏观电流效应，一旦在外磁场作用下，环形电流出现有规则取向，形成宏观电流效应，这就是磁化现象。,在电磁学中，引入了磁化强度矢量 ，其定义为单位体积内的磁偶极子数，即,在一般介质中，满足简单的线性关系,1.8介质中的麦克斯韦方程,电磁场可以极化和磁化介质，极化和磁化的介质也将影响电磁场。按照麦克斯韦方程，带电系统对电磁场的影响是通过电荷和电流实现的。因此我们先分析极化和磁化引起的电荷分布和电流分布。,若极化时正负电荷拉开的位移为 ，设介质分子密度为,n,，则通过 面跑出去的正电荷数目为,从 面跑出去的电荷 ,于是通过任一封闭曲面跑出去的总电荷为,+q,l,+q,+q,-q,-q,-q,a)极化电荷体密度与极化强度的关系,由于介质是电中性的，也等于,V,内净余的负电荷，即,因为 式中,V,是,S,所包围的体积，所以,即,b)极化电流密度与极化强度的关系,当电场随时间改变时，极化过程中正负电荷的相对位移也将随时间改变，由此产生的电流称为极化电流。极化电流和极化电荷也满足连续性方程：,c)极化电荷面密度与极化强度的关系,因为在非均匀介质内部，极化后一般出现极化电荷。在均匀介质中，极化电荷只出现在介质界面上。在介质1和介质2分界面上取一个面元为 ，在分界面两侧取一定厚度的薄层，使分界面包围在薄层内。,介质1,介质2,通过薄层进入介质2的正电荷为 ，由介质1通过薄层下侧面进入薄层的正电荷为 因此薄层出现的净余电荷为,以 为极化电荷面密度，则有,得到,a)磁化电流密度与磁化强度的关系,由于磁化，引起介质内部环形电流有规则取向，呈现宏观电流效应，这种由磁化引起的电流称为磁化电流。,设,S,为介质内部的一个曲,面，其边界线为,L,，环形电流,通过,S,面有两种情况:,一种是在,S,面中间通过两次的环形电流，为1、2、3，这种电流环对总电流没有贡献；而另一种是在,S,面中间通过一次的环流，如4、5、7，这种电流环对总电流有贡献，但这种情形只能发生在边界上。当然，在,S,面外的电流环8，对总电流同样无贡献。,每一个环形电流贡献为,i,或-,i,，,在,S,面上一共有多少这种电流呢？,L,S,8,7,6,1,2,3,4,5,在边界线,L,上取一线元 ，设环,形电流圈 的面积为 ，则,由图可见，若分子中心位于体,积元 的柱体内，则该环形电流,就被 所穿过。因此，若单位体积,内分子数为,n,，则被边界线,L,穿过的环形电流数目为,此数目乘上每个环形电流,i,，即得从,S,背面流向前面的总磁化电流：,以 表示磁化电流密度，有,所以,故得,b)磁化电流面密度与磁化强度的关系,对于均匀介质，磁化后介质内部的 为一常矢量。可见 ，即介质内部 。但表面上却有电流分布。,为此，要引入面电流密度的概念。面电流实际上是靠近表面的相当多分子层内的平均宏观效应，对于宏观来说薄层的厚度趋于零，则通过电流的横截面变为横截线。面电流密度（或叫线电流密度）的大小定义为垂直通过单位横截面（现在为线）的电流,它们方向即为该点电流的方向。,现在来看两介质交界面上的磁化电流分布情况。如图所示的回路中，有,介质,2,介质,1,即,根据矢量分析,则得到,即,又因为,故得到,由上述讨论可知，介质存在时空间电荷包括自由电荷和极化电荷，即,介质中出现的电流有传导电流、极化电流、磁化电流。,即,因此，在介质存在的情况下，Maxwells equations应修改为：,若令,则得到,1.9介质界面上的电磁规律,大家知道,由于在外场作用下，介质分界面上一般出现一层束缚电荷和电流分布，这些电荷、电流的存在又使得界面两侧场量发生跃变，这种场量跃变是面电荷、面电流激发附加的电磁场产生的，描述在两介质分界面上，两侧场量与界面上电荷、电流的关系，是本节的主要讨论内容。,然而，微分形式的Maxwells equations不能应用到两介质的界面上,这是因为Maxwells equations对场量而言,是连续、可微的。只有积分形式的Maxwells equations 才能应用到两介质的分界面上，这是因为积分形式的Maxwells equations对任意不连续的场量适合。因此研究边值关系的基础是积分形式的Maxwells equations：,1、,法向分量的跃变,（discontinuity of normal component),如图所示，在分界面处作一个小扁平匣，匣的上下底面 ，分别位于界面的两侧，且 ，,三个面元平行，大小相等，,ds,为界面上被截出的面元，匣的高度,h,0，用 求矢量 通过匣表面的通量。,由于匣的高度,h,0，所以通过侧面的 的通量也可以忽略不计，因此,介质1,介质2,由于 ，即得,或者,其中 是界面上的自由电荷 面密度，及 分别为,0,界面两侧的电位移矢量 在面法线上的分量，的方向由介质1指向介质2。,根据 的关系，不难得到,讨论,：,a),对于两种电介质的分界面 ，则得,b),只有导体与介质交界面上，存在 。这时 、在法线上都不连续，有跃变。,c),对于磁场 ，把 应用到边界上的扁平匣区域上，同理得到,即,由于 ，不难找到：,这就说明：在分界面上，的法线分量是连续的，的法线分量是不连续的，除非 。,2、,切向分量的跃变,(,disc
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