3.1)MATLAB符号运算

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,问题分析,（,1,）矩阵乘方,ap:a,的,p,次方,条件：在,ap,中,a,p,不可都是矩阵，必须一个是标量，一个是方阵,（,1,）,a,是一个方阵，,p,是一个标量,p,是大于,1,的正整数，则,a,的,p,次幂即为,a,自乘,p,次。当,P,为负整数时，,A,-1,自乘,p,次。,1,p1,a=magic(3),a=,8 1 6,3 5 7,4 9 2,a2,ans=,91 67 67,67 91 67,67 67 91,2,p,是不为整数的标量时，,ap=v*Dp/v,。,其中,D,为矩阵,a,的特征值矩阵,，,v,为对应的特征矢量阵，用,eig,函数求出,D,和,v,，,v,D=eig(a).,a=vDv,-1,-(,对角化,),a,a=,1 1,3 4,a0.5,ans=,0.7559 0.3780,1.1339 1.8898,3,v,D=eig(a),v=,-0.7842 -0.2550,0.6205 -0.9669,D=,0.2087 0,0 4.7913,v*D,.,0.5/v,ans=,0.7559 0.3780,1.1339 1.8898,4,（,2,）,p,是方阵而,a,是标量时，,ap=v*aD/v,其中,v,D=eig(p).(P35),p=1 1;1 2,p=,1 1,1 2,2p,ans=,2.6398 2.1627,2.1627 4.8025,5,v,D=eig(p),v=,-0.8507 0.5257,0.5257 0.8507,D=,0.3820 0,0 2.6180,v*2D/v,ans=,2.6398 2.1627,2.1627 4.8025,6,7,问题分析（,2,）,P37,数组变换,a=2 1 1;3 2 2;4 3 3%3,行,3,列,a=,2 1 1,3 2 2,4 3 3,b=a:,b=,2%9,行,1,列,3,4,1,2,3,1,2,3,结论：,b=a(:),使用数组元素用,(),8,问题分析（,3,）,reshape,reshape(a,9,1),%9,行,1,列,ans=,2,3,4,1,2,3,1,2,3,reshape(a,3,2),?Error using=reshape,To RESHAPE the number of elements must not change.,结论：,96,reshape,不应改变变动数组的元素个数,9,问题分析（,4,）例,3-1,字符串,b=,你好,b=,你好,结论：每个单引号符号需要使用两个连续的单引号字符才能正确显示。,10,问题分析（,5,）,P46,运算符优先级,a=3;,b=-2-1;0 5;,ans1=(ab);,ans2=(a)b;,ans3=ab;,ans1,ans1=,0 0,0 1,ans2,ans2=,1 1,0 0,ans3,ans3=,1 1,0 0,ans2=ans3,说明,(,a)b,与,ab,等效，,优先运算，而理论上逻辑运算符优先级低于关系运算符，已经试验过其他的逻辑运算符，,是一个特例。,解决方法：为了避免优先级不确定问题，尽量使用,(),。,11,问题分析（,5,）超定方程组的解,方程,ax=b,m syms x y;,f=cos(x+y);,expand(f)%,分解,ans=cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y),符号运算不是基于矩阵的数值分析，而是使用,符号对象或者字符串,来进行分析和计算，其结果是符号函数或者解析形式。,17,1.,符号变量和符号表达式,符号变量和符号表达式的创建,sym,函数 定义单个符号变量,f1=sym(a,x2+b,x+c)%,创建符号变量,f1,和一个符号表达式,a=sym(a),syms,函数,一次定义多个符号变量,clear,syms a b c x,whos,Name Size Bytes Class,a 1x1 126 sym object,b 1x1 126 sym object,c 1x1 126 sym object,x 1x1 126 sym object,18,符号表达式的注意,表达式需写在同一行,(a,x2+b,x+c),表达式只能用小括号 多重小括号嵌套使用,(),pi,圆周率,（,=3.1415926.,）,inf,或,INF,无穷大,值，如,1/0,i,或,j,虚数单位,*,符号相乘,exp(),以,e,为底的指数运算,19,2.,符号表达式的运算,算术运算,clear,f1=sym(1/(a-b);,f2=sym(2*a/(a+b);,f3=sym(a+1)*(b-1)*(a-b);,f1+f2%,符号和,ans=,1/(a-b)+2*a/(a+b),f1*f3%,符号积,ans=,(a+1)*(b-1),f1/f3%,符号商,ans=,1/(a-b)2/(a+1)/(b-1),20,函数运算,1,合并、化简、展开等函数,collect,函数：将表达式中相同幂次的项合并；,factor,函数：将表达式因式分解；,simplify,函数：利用代数中的函数规则对表达式进行化简；,numden,函数：将表示式转变成分子与分母形式。,2,反函数,finverse,（,f,v,）对指定自变量为,v,的函数,f(v),求反函数,3,复合函数,compose(f,g),求,f=f(x),和,g=g(y),的复合函数,f(g(y),compose(f,g,z),求,f=f(x),和,g=g(y),的复合函数,f(g(z),4,表达式替换函数,subs(s),用赋值语句中给定值替换表达式中所有同名变量,subs(s,old,new),用符号或数值变量,new,替换,s,中的符号变量,old,21,例,clear,f1=sym(exp(x)+x)*(x+2);,f2=sym(a3-1);,f3=sym(1/a4+2/a3+3/a2+4/a+5);,f4=sym(sin(x)2+cos(x)2);,collect(f1),ans=x2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x),expand(f1),ans=exp(x)*x+2*exp(x)+x2+2*x,factor(f2),ans=(a-1)*(a2+a+1),m,n=numden(f3)%m,为分子，,n,为分母,m=,1+2*a+3*a2+4*a3+5*a4,n=,a4,simplify(f4),ans=,1,22,例,clear,syms x y,finverse(1/tan(x)%,求反函数，自变量为,x,ans=,atan(1/x),f=x2+y;,finverse(f,y)%,求反函数，自变量为,y,ans=,-x2+y,clear,syms x y z t u;,f=1/(1+x2);g=sin(y);h=xt;,p=exp(-y/u);,compose(f,g)%,求,f=f(x),和,g=g(y),的复合函数,f(g(y),ans=,1/(1+sin(y)2),23,例,clear,syms a b,subs(a+b,a,4)%,用,4,替代,a+b,中的,a,ans=,4+b,subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2)%,多重替换,ans=,cos(alpha)+sin(2),f=sym(x2+3*x+2),f=,x2+3*x+2,subs(f,x,2)%,求解,f,当,x=2,时的值,ans=,12,24,3.,微积分,极限,25,26,微分,diff(f),求表达式,f,对默认自变量的一次微分值；,diff(f,t),求表达式,f,对自变量,t,的一次微分值；,diff(f,n),求表达式,f,对默认自变量的,n,次微分值；,diff(f,t,n),求表达式,f,对自变量,t,的,n,次微分值。,x,是默认自变量,27,28,积分,int(f),求表达式,f,对默认自变量的积分值；,int(f,t),求表达式,f,对自变量,t,的不定积分值；,int(f,a,b),求表达式,f,对默认自变量的定积分值，积分区间为,a,b,；,int(f,t,a,b),求表达式,f,对自变量,t,的定积分值，积分区间为,a,b,29,30,求和,symsum(S),求表达式,S,对默认自变量的不定和；,symsum(S,v),求表达式,S,对自变量,v,的不定和；,symsum(S,a,b),求表达式,S,对默认自变量的有限和，区间为,a,b,；,symsum(S,v,a,b),求表达式,S,对自变量,v,的有限和，区间为,a,b,31,例计算表达式,syms x n,symsum(n),ans=,1/2*n2-1/2*n,symsum(n2,0,10),ans=,385,symsum(xn/sym(n!),n,0,inf),ans=,exp(x),32,4.,方程求解,代数方程,代数方程的求解由函数,solve,实现：,solve(f),求解符号方程式,f,solve(f1,fn),求解由,f1,fn,组成的代数方程组,findsym(),确定自变量,常微分方程,使用函数,dsolve,来求解常微分方程：,dsolve(eq1,eq2,.,cond1,cond2,.,v),默认自变量为,t,33,例,syms a b c x,f=sym(a*x*x+b*x+c=0),solve(f),ans=,1/2/a*(-b+(b2-4*c*a)(1/2),1/2/a*(-b-(b2-4*c*a)(1/2),solve(1+x=sin(x),ans=,-1.9345632107520242675632614537689,34,dsolve(Dy=x,x),%,求微分方程,y=x,的通解，指定,x,为自变量。,ans=,1/2*x2+C1,dsolve(D2y=1+Dy,y(0)=1,Dy(0)=0),%,求微分方程,y=1+y,的解，加初始条件,ans=,-t+exp(t),x,y=dsolve(Dx=y+x,Dy=2*x),%,微分方程组的通解,x=,-1/2*C1*exp(-t)+C2*exp(2*t),y=,C1*exp(-t)+C2*exp(2*t),35,扩展阅读,符号矩阵,符号表达式绘图,36,Task(1),P75,符号表达式的化简中 多项式展开、因式分解、合并同类项、化简的函数使用。,37,Task(2),38,Task(3),39,Task(4),40,Task(5),41,Task(6),符号微分的函数使用，例,5-22,，,5-23,，,5-24,。,42,本节介绍了,matlab,语言的符号运算,功能，通过学习应该掌握：,符号表示式的运算,微积分的计算,方程求解,小 结,43,思考问题,符号线性与非线性方程组求解，与数值方程求解对比不同之处。,