重积分的概念与性质

单击此处编辑母版标题样式,*,*,返回,上页,下页,目录,28 十一月 2024,1,第八章,重 积 分,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,28 十一月 2024,2,主 要 内 容,第一节 二重积分的概念与性质,第二节 二重积分的计算方法,28 十一月 2024,3,第一节 二重积分的概念与性质,第八章,（,Conception and property of double integral,）,一、二重积分的概念,二、二重积分的性质,三、小结与思考练习,复习：一元定积分问题的实例,1.,曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积,A,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,矩形面积,梯形面积,解决步骤,:,1),大化小,.,在区间,a,b,中,任意,插入,n ,1,个分点,用直线,将曲边梯形分成,n,个小曲边梯形,;,2),常代变,.,在第,i,个窄曲边梯形上,任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3),近似和,.,4),取极限,.,令,则曲边梯形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28 十一月 2024,7,一、二重积分的概念,解法,:,类似定积分解决问题的思想,:,1.,曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体,:,底：,xoy,面上的闭区域,D,顶,:,连续曲面,侧面：,以,D,的边界为准线,母线平行于,z,轴的柱面,求其体积,.,“,大化小,常代变,近似和,求极限”,28 十一月 2024,8,1)“,大化小”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个区域,以它们为底把曲顶柱体分为,n,个,2)“,常代变”,在每个,3)“,近似和”,则,中,任取,一点,小曲顶柱体,28 十一月 2024,9,4)“,取极限”,令,28 十一月 2024,10,有一个平面薄片,在,xoy,平面上占有区域,D,计算该薄片的质量,M,.,度为,设,D,的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“,大化小,常代变,近似和,求 极限”,解决,.,1)“,大化小”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个小区域,相应把薄片也分为小区域,.,2.,平面薄片的质量,28 十一月 2024,11,2)“,常代变”,中,任取,一点,3)“,近似和”,4)“,取极限”,则第,k,小块的质量,28 十一月 2024,12,两个问题的,共性,：,(1),解决问题的步骤相同,(2),所求量的结构式相同,“,大化小,常代变,近似和,取极限”,曲顶柱体体积,:,平面薄片的质量,:,28 十一月 2024,13,将区域,D,任意,分成,n,个小区域,任取,一点,若存在一个常数,I,使,可积,在,D,上的,二重积分,.,积分和,积分域,被积函数,积分表达式,面积元素,记作,是定义在有界区域,D,上的,有界函数,定义,28 十一月 2024,14,曲顶柱体体积,:,平面薄板的质量,:,如果 在,D,上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域,D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,28 十一月 2024,15,二重积分存在定理,:,若函数,定理,2,定理,1,在,D,上可积,.,限个点或有限个光滑曲线外都连续,则 在,D,上可积,.,在有界闭区域,D,上连续,则,若有界函数,在有界闭区域,D,上除去有,28 十一月 2024,16,二、二重积分的性质,28 十一月 2024,17,28 十一月 2024,18,利用性质,5,28 十一月 2024,19,内容小结,1.,二重积分的定义,2.,二重积分的性质,(,与定积分性质相似,),28 十一月 2024,20,思考与练习,被积函数,相同,且,非负,解,:,由它们的积分域范围可知,1.,比较下列积分值的大小关系,:,28 十一月 2024,21,2.,设,D,是第二象限的一个有界闭域,且,0 ,y,1,则,的大小顺序为,( ),提示,:,因,0 ,y,1,故,故在,D,上有,28 十一月 2024,22,设函数,D,位于,x,轴上方的部分为,D,1,当区域关于,y,轴对称,函数关于变量,x,有奇偶性时,仍有类似结果,.,在,D,上,在闭区域上连续,域,D,关于,x,轴对称,则,则,在第一象限部分,则有,补充：积分对称性,