初等数论绪论课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,阜阳师范学院 数科院,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,阜阳师范学院 数科院,*,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,1,绪 论,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,2,一 初等数论及其主要内容,数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（,elementary number theory,）。,初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,3,数论中的一些简单问题,(123456+234561+345612+456123+561234+612345)6,例,2.11112222,个棋子排成一个大长方形，每一横行的,棋子数比每一直行的棋子数多一个，这个长方阵每一,横行有棋子,_,个。,例,3.,狐狸在跑道上跳远，每次跳远,150CM,从起点开始,每隔,130CM,设一个陷阱，问狐狸跳了几次后掉进井中？,例,1.,计算,例,4,：,71427,和,19,的积被,7,整除是几？,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,4,自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的,几何原本,（公元前,3,世纪）中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”，正是我国古代,孙子算经,中的下卷第,26,题，我国称之为孙子定理。,近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。,1801,年，德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做,算术探究,，开始了现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王”。,二 数论的发展史,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,5,由于自,20,世纪以来引进了抽象数学和高等分析的,巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的,研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等,新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数,学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了,广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,6,三 几个著名数论难题,初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗,留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞,懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。,其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,7,1742,年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。,1742,年,6,月,7,日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：,一个大于,6,的偶数可以表示为不同的两个质数之和。,陈景润在,1966,年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”,所谓的,1+2,，是,筛法,的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。,1,、哥德巴赫猜想：,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,8,2,、费尔马大定理：,费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学,许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的,律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多,年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥,芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，,写下一个看起来很简单的定理。,经过,8,年的努力，英国数学家 安德鲁,怀尔斯 终于在,1995,年完成了该定理的证明。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,9,3,、孪生素数问题,存在无穷多个素数,p,使得,p,+2,也是素数。,究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是,1849,年法国数学,Alphonse de Polignac,提出猜想：对 于任何偶数,2k,存在无穷多组以,2k,为间隔的素数。,对于,k=1,，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把,Alphonse de Polignac,作为孪生素数猜想的提出者。,不同,的,k,对应的素数对的命名也很有趣，,k=1,我们,已经知道叫做孪生素数,；,k=2,(,即间隔为,4),的素数,对被称为,cousin prime,；,而,k=3,(,即间隔为,6),的素数对竟然被称为,sexy prime,(,不过别想歪了，之所以称为,sexy prime,其实是因,为,sex,正好是拉丁文中的,6,。,),2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,10,4,、最完美的数,完全数问题,下一个具有同样性质的数是,28, 28=1+2+4+7+14.,接着是,496,和,8128.,他们称这类数为完美数,.,欧几里德在大约公元前,350-300,年间证明了,:,注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然,不知道有没有奇完全数。,完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒发现的,他们注意到,数,6,有一个特性,它等于它自己的因子,(,不包括它自身,),的和， 如：,6=1+2+3.,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,11,四、我国古代数学的伟大成就,公元前,100,多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又,谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了,著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。,1,、周髀算经,2,、孙子算经,约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不,清楚。现在传本的,孙子算经,共三卷。卷上叙述算,筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说,明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第,31,题，可谓,是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成,“鹤龟算”。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,12,具有重大意义的是卷下第,26,题：今有物不知其数，,三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问,物几何？,孙子算经,不但提供了答案，而且还给,出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对,一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的,问题。德国数学家高斯,1777-1855,于,1801,年出版,的,算术探究,中明确地写出了上述定理。,1852,年，,英国基督教士伟烈亚士将,孙子算经,中物不知数,问题的解法传到欧洲，,1874,年马蒂生指出孙子的解,法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一,个定理称为“中国剩余定理” 。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,13,周髀算经,孙子算经,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,14,1983,年在湖北省江陵县张家山，出土了一批西汉,初年，即吕后至文帝初年的竹简，共千余支。经初步,整理，其中有律令、,脉书,、,引书,、历谱、日,书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写,在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫,算数书,。,算数书,是中国现已发现的最古的一部算书，,大约比现有传本的,九章算术,还要早近二百年，而,且,九章算术,是传世抄本或刊书，,算数书,则是,出土的竹筒算书，属于更可珍贵的第一手资料，所以,算数书,引起了国内外学者的广泛关注，目前正在,被深入研究之中。,3,、算数书,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,15,数术记遗,相传是汉末徐岳所作，亦有数学史家,认为本书是北周甄鸾自著。,数术记遗,把大数的名称按不同的涵义排列三个,不同的数列，另一部份是关于一个幻方的清楚的说明，,它成为数论中这一发现的最古的文字记载之一，书中,至少提到了四种算盘，因此它是谈到算盘的最古老的,书籍。,4,、数术记遗,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,16,算数书,数术记遗 中的算盘,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,17,根据研究，西汉的张苍 、耿寿昌曾经做过增补,和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉,前期。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，,就是“九章”。,三国时期的刘徽为,九章,作注，加上自己心得,体会，使其便于了解，可以流传下来。,唐代的李淳风又重新做注,(656,年,),，作为,算数,十经,之一，版刻印刷，作为通用教材。,5,、九章算术,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,18,九章算术,的出现，标志着我国古代数学体系,的正式确立，当中有以下的一些特点：,1.,是一个应用,数学体系，全书表述为应用问题集的形式；,2.,以算法,为主要内容，全书以问、答、术构成，“术”是主要,需阐述的内容；,3.,以算筹为工具。,九章算术,取得了多方面的数学成就，包括：,分数运算、比例问题、双设法、一些面积、体积计算、,一次方程组解法、负数概念的引入及负数加减法则、,开平方、开立方、一般二次方程解法等。,九章算术,的思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响。自,隋唐之际，,九章算术,已传入朝鲜、日本，现在更,被译成多种文字。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,19,6,、海岛算经,海岛算经,由三国刘徽所着，最初是附于他所,注的,九章算术,（,263,）之后，唐初开始单行，体,例亦是以应用问题集的形式。,全书共,9,题，全是利用测量来计算高深广远的问,题，首题测算海岛的高、远，故得名。,海岛算经,是中国最早的一部测量数学事着，亦为地图学提供了,数学基础。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,20,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,21,7,、算经十书,唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导,学生学习数学，规定,周髀算经,、,九章算术,、,孙子算经,、,五曹算经,、,夏侯阳算经,、,张丘建算经,、,海岛算经,、,五经算术,、,缀术,、,缉古算经,十部算经为课本，用以进行,数学教育和考试，后世通称为算经十书算经十书是,中国汉唐千余年间陆续出现的十部数学著作北宋时,期（,1084,年），曾将一部算经刊刻发行，这是世界上,最早的印刷本数学书（此时,缀术,已经失传，实,际刊刻的只有九种）。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,22,8,、测圆海镜,测圆海镜,由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于,1248,年。全书共有,12,卷，,170,问。这是中国古代论述容圆的一部专箸，也是天元术的代表作。,测圆海镜,所讨论的问题大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问题。在,测圆海镜,问世之前，我国虽有文字代表未知数用以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。,李冶在,测圆海镜,中系统而概栝地总结了天元术，使文词代数开始演变成符号代数。 所谓天元术，就是设“天元一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与现代设,x,为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了,16,世纪以后才完全作到这一点。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,23,测圆海镜,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,24,五、国外古代数学家及数学成果,1,、莱因德纸草书,莱因德纸草书,Rhind Papyrus,是公元前,1650,年左右的埃及数学著作，属于世界上最古老的,数学著作之一。作者是书记官阿默斯。内容似乎是,依据了更早年代,1849 B.C. 1801 B.C.,的教科,书，是为当时的包括贵族、祭司等知识阶层所作，,最早发现于埃及底比斯的废墟中。公元,1858,年由英,国的埃及学者莱因德,A. H. Rhind,购得，故名。,现藏于伦敦大英博物馆。该纸草书全长,544,厘米，宽,33,厘米。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,25,纸草书主要内容有分数的分解：,分数的乘法运算；等差、等比数列的问题；圆、正,方形、等腰三角形、等腰梯形的面积；体积计算；,金字塔问题；比例问题等。,莱因德纸草书是了解埃及数,学的最主要依据。它准确反映了,当时埃及的数学知识状况，其中,鲜明地体现了埃及数学的实用性。,对我们应该如何看待数学的起源,问题有很大的启发。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,26,公元前,3,世纪，古希腊数学家欧几里得在前人工,作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、,整理，用命题的形式重新表述，对一些结论作了严格,的证明。他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意,义的、最原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑,的顺序进行排列，然后在此基础上进行演绎和证明，,形成了具有公理化结构的，具有严密逻辑体系的,几,何原本,。,2,、几何原本,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,27,几何原本,是欧几里得的,一部不朽之作，是当时整个希腊,数学成果、方法、思想和精神的,结晶，其内容和形式对几何学本,身和数学逻辑的发展有着巨大的,影响。自它问世之日起，在长达,二千多年的时间里一直盛行不衰。,它历经多次翻译和修订，自,1482,年,第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,28,几何原本,按照公理化结构，运用了亚里士,多德的逻辑方法，建立了第一个完整的关于几何学,的演绎知识体系。所谓公理化结构就是：选取少量,的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和,公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，,然后运用逻辑推理证明其他命题。,几何原本,成,为了两千多年来运用公理化方法的一个绝好典范。,它的影响之深远使得“欧几里得”与“几何学”,几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的,数学思想、数学精神，是人类文化遗产中的一块瑰宝。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,29,3,、算术,公元,3,世纪，古希腊数学家丢番图的著作,算术,是关于代数的一部最早的巨著，涉及代数数论的解析,处理问题，代表了古希腊代数思想的最高成就。,并且，这部著作中引用了许多缩写符号，如未知,量及其各次幂用,S,、,r,、,Kr,、,r,、,Kr,、,KrK,等符,号。无论从内容与形式上讲，这种完全脱离几何的特,征，与当时古希腊欧几里得几何盛行的时尚大异其趣。,因此，丢番图的,算术,虽然代表了古希腊代数学的,最高水平，但是它远远超出了同时代人，而不为同时,代人所接受，很快就被湮没，没有对当时数学的发展,产生太大的影响。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,30,直到,15,世纪,算术,被重新发掘，鼓舞了一大,批数学家在此基础之上，把代数学大大向前推进,了。首先是法国数学家蓬贝利认识到,算术,的,重大价值，他的同胞韦达正是在丢番图缩写代数,的启示下才做出了符号代数的贡献，到,17,世纪，,费马手持一本,算术,，并在其空白处写写画画，,竟把数论引上了近代的轨道。,算术,中的不定,分析，对现代数学影响也很深远，在不同数域上，,凡是涉及不定方程求解问题，现在都称之为“丢,番图方程”或“丢番图分析”。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,31,4,、代数学,代数学,由伊斯兰数学家、天文学家花拉子莫,约,783,约,850,所著，该书,1183,年被译成拉丁文传,入欧洲。比较流行的一种说法认为西文中“代数学”,Algebra,一词是由阿拉伯文的拉丁转写,al-jabr,演变而来，后渐称该书为,代数学,，一般认为该,著作是近代意义下的代数学的真正肇始之作。,全书由三部分组成，第一部份讲述现代意义下的,初等代数；第二部份讲各种实用算术问题。最后列举,了大量有关遗产继承的各种问题。全书不使用符号，,而是用语言叙述。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,32,5,、几何学,几何学,是法国数学家笛卡儿一生中所写的惟,一的数学著作。它是作为笛卡儿的名著,更好地指导,推理和寻求科学真理的方法论,（简称,方法论,）,的三个附录之一，于,1637,年出版的。,几何学,在,方法论,中大约占,100,页，共分三,卷，讨论的全是关于几何作图问题。笛卡儿在这本书,中，将逻辑、代数和几何方法结合到一起，勾画了解,析几何的方法。笛卡儿所提出的方程与曲线的思想，,最终被人们所逐渐接受，并且,几何学,也被认为是,论述解析几何的一部经典之作。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,33,几何学,首页,笛卡儿，,1596,1650,，法国哲学家、数学家、物理学家，,解析几何学奠基人之一。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,34,6,、几何基础,几何基础,（,Grundlagen der Geometrie,）是,德国著名数学家希尔伯特所著，,1899,年初版，此后,不断再版，至,1930,年已出第七版。希尔伯特精确地,提出公理体系应有相容性、独立性和完备性的要求，,把空间内的点、直线、平面作为不定义的概念，规,定它们之间存在着关联关系顺序关系、合同关系，,这些关系由五组公理得以保障：关联公理；顺序公,理；合同公理；平行公理；连续公理。记述了希尔,伯特为欧几里得几何学给出的上述公理体系的,几,何基础,出版后，立即引起了整个数学界的关注，,并视为一部经典的著作。因为，希尔伯特上述工作,的意义远超出了几何基础的范围，而使他成为现代,公理化方法的奠基人。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,35,六、学习数论的意义,本课程主要简单介绍在初等数论研究中经常,用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。,通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质,的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的,关系,使学生掌握初等数论的基本理论和方法，为,从事中小学数学有关内容的教学奠定基础。同时，,培养学生数论理论研究的能力，将数论应用于其他,学科，尤其是信息科学研究的能力。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,36,数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，,它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的,发展起到了积极的作用，但多数人不清楚它的实际,意义。,由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论,得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、,组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多,研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子,定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立,叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果,也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应,用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计,算方法去逼近连续量而达到所要求的精度成为可能。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,37,七 主要参考书,1.,王雪琴,初等数论,东北林业大学出版社,2002,2.,戎士奎,十章数论,贵州教育出版社,1994,3.,闵嗣鹤,初等数论,高等教育出版社,1958,4.,陈景润,初等数论,科学出版社,1988,5. U,杜德利著周仲良译,基础数论,上海科技出版社,1982,6.,潘承洞、潘承彪著,初等数论,北京大学出版社,1999,7.,编委会,初等数论,开明出版社,1998,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,38,附：相关数学家,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,39,欧几里得,前,330,年前,275,年,欧氏几何学的开创者 ，,古希腊数学家，以其所著的,几何原本,闻名于世。,丢番图,Diophante 246,330,“代数学之父”,古希腊数学家，著,算术,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,40,刘徽，生于公元,250,年左右，三国时期,数学家，是世界上最早提出十进小数概念的人,，著,九章算术注,10,卷；,海岛算经,；,九章重差图,.,割圆术求圆面积和圆周率,.,祖冲之，,429,500,，数学家，,科学家，算出,在,3.1415926,和,3.1415927,之间，求球体积公式,著有,缀术,.,天文历法和机械,方面的成就,略,。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,41,宋元数学四大家,秦九韶,约,1202,1261,，著,数书九章,最重要的数学成,就,“,大衍总数术”,一次同余组解法,与“正负开方术”,高次方程数值解法,，在中世纪世界数学史上占有突出地位。,李冶,1192,1279,著,测圆海镜,，主要目的就是说明用开,元术列方程的方法。“开元术”与现代代数中的列方程法相,类似。,朱世杰,1300,前后,，著,算学启蒙,和,四元玉鉴,。,算学,启蒙,是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本,数学的发展。,四元玉鉴,则是中国宋元数学高峰的又一个标,志，其中最杰出的数学创作有“四元术”,多元高次方程列式,与消元解法,、“垛积法”,高阶等差数列求和,与“招差术”,高次内插法,。,杨辉,1250,前后,，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其,构成规律的数学家。著,详解九章算法,日用算法,等。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,42,费马,法,1601-1665,，是数学史上,最伟大的业余数学家，提出了费马,大、小定理；在坐标几何，无穷小，,概率论等方面有巨大贡献。,哥德巴赫,1690-1764,，,德国数学家；曾担任中学,教师，,1725,年到俄国，,被选为彼得堡科学院院士,.,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,43,欧拉,1707,1783,，瑞士数学家，,自然科学家。是数学史上最多产,的数学家，每年写出八百多页,的论文，,无穷小分析引论,、,微分学原理,、,积分学原理,等都成为数学中的经典著作。,高斯,17771855,，德国数学家、,物理学家、天文学家、大地测,量学家。在数论、非欧几何、,微分几何、超几何级数、复变,函数论以及椭圆函数论等方面,均有开创性贡献。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,44,勒让德,法,1752,1833,，在分,析学、数论、初等几何与天体,力学，取得了许多成果，是椭,圆积分理论奠基人之一。对数,论的主要贡献是二次互反律，,还是解析数论的先驱者之一,.,雅可比,德,1804,1851,，在偏,微分方程中，引进了“雅可比,行列式。对行列式理论作了奠,基性的工作，在代数学、变分法、,复变函数论、分析力学 、动,力学及数学物理方面也有贡献。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,45,希尔伯特,德,1862,1943,，他领,导的数学学派是,19,世纪末,20,世纪,初数学界的一面旗帜，希尔伯特,被称为“数学界的无冕之王”。,著,数论报告,、,几何基础,、,线性积分方程一般理论基础,.,华罗庚,19101985,，是中国解析,数论、矩阵几何学、典型群、自,安函数论等多方面研究的创始人,和开拓者。以华氏命名的数学科,研成果很多。被列为芝加哥科学,技术博物馆中当今世界,88,位数学,伟人之一。,