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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描 述系统输出、输入关系的微分方程。,第一步：首先明确什么是输入输出量，将系统分成若干个环节，列写各环节的输出输入的数学表达式。,利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。,复习,1、建立系统的微分方程,1,2、线性微分方程的求解,拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：,（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，变成变量s的代数方程。,（2）由变量s的代数方程求出系统输出量的拉式变换式。,（3）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微,分方程的解。,2,2-2 控制系统的复数域数学模型 传递函数,2.2.1,传递函数的定义和主要性质,传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。,微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定,外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。,能否不解方程进行系统分析？,定义：,线性定常,系统的传递函数，定义为,零初始条件,下，系,统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,3,设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述,：,式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。,设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代数方程为：,4,性质,1,传递函数是复变量,s,的有理真分式函数，,mn,，,且所具有复变量函数的所有性质。（,物理可实现,）,性质,2 G(s),取决于系统或元件的结构和参数，与输入量,的形式（幅度与大小）无关。,性质,3 G(s),虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提,供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理,系统具有完全相同的传递函数。,性质,4,如果,G(s),已知，那么可以研究系统在各种输入信号,作用下的输出响应。,性质,5,如果系统的,G(s),未知，可以给系统加上已知的输入，,研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立,G(s),就可,获得该系统动态特性的完整描述，与其它物理系统,描述不同。,5,性质,6,传递函数与微分方程之间有关系。,如果将 置换,1,),(,),(,=,=,t,L,s,R,d,性质,7,传递函数,G(s),的拉氏反变换是脉冲响应,g(t),脉冲响应,g(t),是系统在单位脉冲输入时的输出响应。,=,=,-,-,s,R,s,G,L,s,C,L,t,c,1,1,),(,),(,),(,),(,=,-,L,1,G(s)=,g,(t),6,例 求下图的传递函数：,7,法2 求下图的传递函数,（复数阻抗法）,8,传递函数G(s)的,零点,和,极点,2.2.2 传递函数G(s)的零点和极点对输出的影响,9,极点和零点分布图,10,传递函数的零点影响到各模态在运动中所占的“比重”,从工程的角度看，决不能认为系统的动态性质唯一地或者主要地由传递函数的极点决定，必须注意到零点的作用。,11,2.2.3 典型环节及其传递函数,1、比例环节（又叫放大环节）,特 点：,输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。,运动方程,:,c(t)=Kr(t),K放大系数，通常都是有量纲的。,传递函数：,比例环节又称为放大环节。k为放大系数。,实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。,12,例1：,输入：,(t)角度 E恒定电压 输出：u(t)电压,运动方程,：,u(t)=K,(t),传递函数,：,K,比例系数，量纲为伏,/,弧度。,13,例 2：输入,：n,1,(t)转速 Z,1,主动轮的齿数,输出：,n,2,(t)转速 Z,2,从动轮的齿数,运动方程,：,传递函数,：,14,其它一些比例环节,15,2、,微分环节,特 点：,动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。,运动方程：,传递函数：,微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点（若 ）。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。,16,例1,RC电路,设：,输入u,r,(t),输出u,c,(t),消去i(t)，得到：,运动方程：,传递函数：,（T,c,=RC）,当T,c,1时，又可表示成：,17,3、积分环节,特 点：,输出量的变化速度和输入量成正比。,运动方程：,传递函数：,0,S平面,j,0,有一个0值极点。在图中极点用“ ”表示，零点用“ ”表示。K表示比例系数，T称为时间常数。,18,例1：,积分电路,输入为r(t)，输出为c(t),运动方程：,传递函数：,（T=R,1,C）,19,4、惯性环节(又叫惰性环节),特点,：,此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输,入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。,运动方程：,传递函数：,RC充电电路,时间常数TRC，当T小时，充电快,20,输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分布图如下：,通过原点的 斜率为1/T，且只有一个极点（-1/T）。,1,y,t,0,0.632,T,通过原点切线斜率为1/T,j,Re,0,S平面,求单位阶跃输入的输出响应：,21,例： 单容水槽（水位控制系统的被控对象）,22,5、振荡环节,特点：,包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个,储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。,运动方程：,传递函数：,式中：,阻尼比， T振荡环节的时间常数。,),(,s,R,),(,s,C,1,2,1,2,2,+,+,Ts,s,T,V,),(,s,R,),(,s,C,1,2,1,2,2,+,+,Ts,s,T,V,23,上述传递函数有两种情况：,当 时，可分为两个惯性环节相乘。,即：,传递函数有两个实数极点：,若 ，传递函数有一对共轭复数。还可以写成：,设输入为：,则,24,y(t),t,0,单位阶跃响应曲线,极点分布图,分析：,y(t)的上升过程是振幅按指数曲线衰减的的正弦运动。与 有关。 反映系统的阻尼程度，称为阻尼系数， 称为无阻尼振荡圆频率。当 时，曲线单调升，无振荡。当 时，曲线衰减振荡。 越小，振荡越厉害。,25,例1：RLC电路,解：,消去中间变量i(t)得到运动方程：,传递函数：,26,例2：机械装置,输入-力 ： f(t)，,输出-位移： x(t) 。,微分方程,式中：K弹簧弹性系数；,M物体的质量，,B粘性摩擦系数。,传递函数：,27,6、一阶微分环节,特 点：,此环节的输出量不仅与输入量本身,有关，而且与输入量的变化率有关,运动方程,：,传递函数：,G( s ) = Ts + 1,28,RC电路,29,一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节的并联，其传递函数和频率特性是惯性环节的倒数。,30,7、二阶微分环节,特点：,输出与输入及输入一阶、二阶导数都有关,运动方程：,传递函数：,可以看出，二阶微分环节的传递函数是,振荡环节的倒数。,31,特点：c(t)完全复现r(t)，但滞后一个固定时间,8、延迟环节（时滞、滞后）,0,t,1,r,(,t,),0,t,1,c,(,t,),t,t,在实际中，大量系统都存在滞后，当滞后不严重时，常忽略。,延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：,或,32,有纯延迟的单容水槽,9、其他环节：,还有一些环节如 等，它们的极点在s平面,的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的。称为不稳定环节。,33,右图所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压,U,a,(t),(v),为输入量，电动机转速,m,(t)(rad/s),为输出量，列写微分方程。图中,R,a,(),、,L,a,(H),分别是电枢电路的电阻和电感，,M,c,(NM),是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。,实例：电枢控制直流伺服电动机,电,枢,控,制,直,流,电,动,机,原,理,图,S,M,负,载,-,-,L,a,R,a,E,a,W,m,J,m,f,m,U,a,i,f,i,a,34,解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的,电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压,U,a,(t),在电枢回路中产生电枢电流,i,a,(t),，再由电流,i,a,(t),与激磁磁通相互作用产生电磁转距,M,m,(t),，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。,电枢回路电压平衡方程,电磁转距方程,电动机轴上的转距平衡方程,35,E,a,是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压,U,a,(t),相反，即,E,a,=C,e,m,(t),C,e,反电势系数,(v/rad/s),电枢回路电压平衡方程：,36,-,电动机转距系数 （,N,m,/A,）是电动机转距系数,-,是由电枢电流产生的电磁转距（,Nm,）,电动机轴上的转距平衡方程,：,f,m,-,电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数,（,Nm/rad/s,）,J,m,转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上 的）,kgm,电磁转距方程：,37,电动机机电时间常数（,s,）,在工程应用中，由于电枢电路电感,La,较小，通常忽略不计，因而,可简化为,、,求出,ia(t),，,代入,同时,亦代入,得：,38,可视为负载扰动转矩。根据线性系统的叠加原理，分别求,到,和,到,的传递函数。,0,由传递函数定义,A 令,B 令,39,M,c,(,s,),),(,s,m,W,1,2,+,-,s,T,K,m,U,1,1,+,s,T,K,m,a,(,s,),),(,s,m,W,U,a,(,s,),),1,(,1,+,s,T,s,K,m,),(,s,Q,同一个系统有多个传递函数,注：输入或输出不一样,40,小结,（1）,不同物理性质的系统，可以有相同形式的传,递函数。,例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。,（2）同一个系统，当选取不同的输入量、输出量,时，就可能得到不同形式的传递函数。,例如：电容：输入电流，输出电压，则是积分环节。,反之，输入电压，输出电流，则为微分环节。,41,
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