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第7章 图,7.1 图的定义和术语,7.2 图的存储结构,7.3 图的遍历,7.4 图的连通性问题,7.5 有向无环图及其应用,7.5.1 拓扑排序,7.5.2 关键路径,7.6 最短路径,7.5.2 关键路径,对整个工程和系统，人们关心的是两个方面的问题：,1）工程能否顺利进行,对AOV网进行拓扑排序,2）估算整个工程完成所必须的最短时间,对AOE网求关键路径,AOE-网,AOE,网,(Activity On Edge Network),：即边表示活动的网。,AOE,网是一个带权的有向无环图。其中：,顶点表示事件（,Event,）,弧表示活动（,Activity,）,权值表示活动持续的时间,通常可用,AOE,网来估算工程的完成时间。,上图AOE-网中：,共有11项活动：a,1,a,2,a,3,a,11,；,共有9个事件：v,1,v,2,v,3,v,9,，每个事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。,v,9,表,示,整,个,工,程,的,结,束,v,5,表示a,4,和a,5,已经完,成， a,7,和a,8,可以开始,与每个活动相联系的数是执行该活动所需的时间,v,1,表,示,整,个,工,程,的,开,始,由于整个工程只有一个开始点和一个完成点，在正常的情况（无环）下，网中只有一个入度为零的点（称作,源点,）和一个出度为零的点（称作,汇点,）,汇点,源点,依据AOE-网可以研究什么问题？,（1）完成整项工程至少需要多少时间？,（2）哪些活动是影响工程进度的关键？,完成工程的最短时间是从源点到汇点的,最长路径,的长度。路径长度最长的路径叫做,关键路径,。,从v,1,到v,9,的最长路径是（v,1,v,2,v,5,v,8,v,9,），路径长度是18。,假设开始点是v,1,，从v,1,到v,i,的最长路径长度叫做,事件v,i,的最早发生时间,。这个时间决定了所有以v,i,为尾的弧所表示的活动的最早开始时间。,用,e(i)表示活动a,i,的最早开始时间,。,V,9,的最早发生时间是18,事件v,i,的最早发生时间,l(i)e(i)两者之差意味着完成活动a,i,的时间余量。我们把,l(i)e(i)的活动叫做关键活动,。,显然，关键路径上的所有活动都是关键活动，因此提前完成非关键活动并不能加快工程的进度。,a,6,的最早开始时间是5，最迟开始时间是8。如a,6,推迟3天开始或延迟3天完成，都不会影响整个工程的完成。,活动的最迟开始时间,l(i)，这是在不推迟整个工程完成的前提下，活动a,i,最迟必须开始进行的时间。,由此可知：辨别关键活动就是找e(i)l(i)的活动。为求得AOE网中活动的e(i)和l(i)，首先应求得事件的最早发生时间 ve(j)和 最迟发生时间vl(j)。,若活动a,i,由弧表示，持续时间记为dut()，则有如下关系：,活动i的最早开始时间等于事件j的最早发生时间,e(i) ve(i),活动i的最迟开始时间等于事件k的最迟时间减去活动i的持续时间,l(i) vl(j) - dut(),求ve(j)和 vl(j)需分两步进行：,a,i,V,i,V,j,vej和vlj可以采用下面的递推公式计算：,（1）向汇点递推,ve(源点) = 0 ；,ve(j) = Max ve(i) + dut(),公式意义：从指向顶点V,j,的弧的活动中取,最晚,完成的一个活动的完成时间作为V,j,的最早发生时间vej,p,V,j,V,i,（2） 向源点递推,由上一步的递推，最后总可求出汇点的最早发生时间ven。因汇点就是结束点，最迟发生时间与最早发生时间相同，即vln=ven。从汇点最迟发生现时间vln开始，利用下面公式：,vl(汇点) = ve(汇点);,vl(i) = Min vl(j) dut() ,公式意义：由从V,i,顶点指出的弧所代表的活动中取需,最早,开始的一个开始时间作为V,i,的最迟,发生,时间。,V,j,S,V,i,由此得到下述求关键路径的算法：,1）输入e条弧，建立AOE网的存储结构。,2）从源点v,0,出发，令ve00按拓扑有序求其余,各顶点的最早发生时vei,（1i n-1）。如果得到的拓扑有序序列中顶点个数小于网中顶点数n，则说明网中存在环，不能求关键路径，算法终止；否则执行步骤（3）。,3）从汇点v,n,出发，令vln-1= ven-1，按逆拓扑有序,求其余各顶点的最迟发生时间vli,(n-2 i 0)；,4）,根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s的最早开始时间e(s)和最迟开始时间l(s),。若某条弧满足条件e(s)=l(s)，则为关键活动。,如上所述，计算顶点的ve值是在拓扑排序的过程中进行的，需对拓扑排序的算法作如下修改：,1）在拓扑排序之前设初值，令ve(i)=0（0=i ve(j), 则 ve(j) = ve(i)+dut()；,3）为了能按逆拓扑有序序列的顺序计算各顶点的vl值，需记下在拓扑排序的过程中求得的拓扑有序序列，则需要在拓扑排序算法中，增设一个栈以记录拓扑有序序列，则在计算求得各顶点的 ve 值之后，从栈顶至栈底便为逆拓扑有序序列。,总之，关键路径的求解操作包括：,1）计算 vej 和 vlj,向汇点递推,ve(源点) = 0 ；,ve(j) = Max ve(i)+ dut(),向源点递推,vl(汇点) = ve(汇点);,vl(i) = Min vl(j) dut(),2）判断 l(i) = e(i)的活动（关键活动）,求最早发生时间ve的算法,Status TopologicalOrder(ALGraph G，Stack &T),/有向网G采用邻接表，求各顶点事件最早发生时间ve(全局变量),/T为拓扑序列顶点栈，s为零入度顶点栈。,FindInDegree(G，indegree)；,/对各顶点求入度,InitStack(S)；,/建零入度顶点栈S,for(i=0；inextarc),k=padjvex；,/对i号顶点的每个邻接点的入度减l,if(-indegreek=0)Push(S，k)；,/若入度减为0，入栈,if(vej+*(p-info)vek ) vek=vej+*(p-info)；,/for *(p-info)=dut(),/while,if(countnextarc),k=p-adjvex； dut=*(pinfo)；,/dut,if(vlk-dutvlj) vlj=vlk-dut； ,/for,for(j=0；jnextarc),k=p-adjvex； dut=*(pinfo)；,ee=vej；el=vlk-dut；tag = (ee=e1) ? *:；,printf(j，k，dut，ee，el，tag)；,/输出关键活动,/CriticalPath,例：,求下图AOE网的关键路径,v,1,v,4,v,6,v,2,v,3,v,5,a,1,=3,a,2,=2,a,3,=2,a,6,=3,a,4,=3,a,7,=2,a,8,=1,a,5,=4,e(s) ve(i),l(s) vl(j) - dut(),ve(源点) = 0 ；,ve(j) = Max ve(i) + dut(),vl(汇点) = ve(汇点);,vl(i) = Min vl(j) dut(),拓扑序列：V1、V3、V2、V5、V4、V6,顶点,ve,vl,活动,e,l,l-e,v,1,0,0,a,1,0,1,1,v,2,3,4,a,2,0,0,0,v,3,2,2,a,3,3,4,1,v,4,6,6,a,4,3,4,1,v,5,6,7,a,5,2,2,0,v,6,8,8,a,6,2,5,3,a,7,6,6,0,a,8,6,7,1,v,1,v,4,v,6,v,2,v,3,v,5,a,1,=3,a,2,=2,a,3,=2,a,6,=3,a,4,=3,a,7,=2,a,8,=1,a,5,=4,练习：求下图AOE网的关键路径,总结：,有向无环图是描述一项工程或系统的进行过程的有效工具。,AOV网（顶点表示活动的有向网）与拓扑排序解决工程或系统能否顺利进行；,AOE网（边表示活动的有向网）和关键路径问题估算整个工程完成所必须的最短时间，求解哪些活动为关键活动。,第7章 图,7.1 图的定义和术语,7.2 图的存储结构,7.3 图的遍历,7.4 图的连通性问题,7.5 有向无环图及其应用,7.6 最短路径,7.6 最短路径,所谓最短路径问题是指：如果从图中某一顶点（称为源点）出发到达另一顶点（称为终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边的权值总和达到最小。,1.单源点最短路径,2.所有顶点对之间的最短路径,7.6.1 单源点最短路径,给定带权有向图G和源点v, 求从v到G中其余各顶点的最短路径。,V,5,V,0,V,2,V,4,V,1,V,3,100,30,10,60,10,20,50,5,V,0,V,2,V,4,V,3,V,5,V,0,始点 终点 Di 最短路径,V,1,V,2,V,3,V,4,V,5,10,30,100,10,30,100,10,60,30,100,10,60,30,100,10,50,30,100,(V,0, V,2,),(V,0, V,4,),(V,0, V,5,),(V,0, V,2,),(V,0, V,4,),(V,0, V,5,),(V,0, V,2,),(V,0, V,2, V,3,),(V,0, V,4,),(V,0, V,5,),(V,0, V,2,),(V,0, V,2, V,3,),(V,0, V,4,),(V,0, V,5,),(V,0, V,2,),(V,0, V,4, V,3,),(V,0, V,4,),(V,0, V,5,),10,50,30,90,(V,0, V,2,),(V,0, V,4, V,3,),(V,0, V,4,),(V,0, V,4, V,5,),10,50,30,90,(V,0, V,2,),(V,0, V,4, V,3,),(V,0, V,4,),(V,0, V,4, V,5,),10,50,30,60,(V,0, V,2,),(V,0, V,4, V,3,),(V,0, V,4,),(V,0, V,4, V,3, V,5,),10,50,30,60,(V,0, V,2,),(V,0, V,4, V,3,),(V,0, V,4,),(V,0, V,4, V,3, V,5,),如何在计算机中求得最短路径？,Dijkstra提出了一个按路径“长度”递增的次序，逐步得到由给定源点到图的其余各点间的最短路径的算法：,假设我们以邻接矩阵,cost,表示所研究的有向网。,迪杰斯特拉算法需要一个顶点集合，初始时集合内只有一个源点,V,0,，,以后陆续将已求得最短路径的顶点加入到集合中，到全部顶点都进入集合了，过程就结束了。集合可用一维数组来表示，设此数组为,S,，,凡在集合,S,以外的顶点，其相应的数组元素,Si,为,0,，否则为,1,。,另需一个一维数组,D,，每个顶点对应数组的一个单元，记录从源点到其他各顶点当前的最短路径长度，其初值为,Di,=costV,0,i,，,i=1n,。,数组,D,中的数据随着算法的逐步进行要不断地修改,定义了,S,集合和,D,数组并对其初始化后，迪杰斯特拉算法在进行中，都是从,S,之外的顶点集合中选出一个顶点,w,，,使,Dw,的值最小。于是从源点到达,w,只通过,S,中的顶点，把,w,加入集合,S,中，并调整,D,中记录的从源点到集合中每个顶点,v,的距离：,取,Dv,和,Dw+costwv,中值较小的作为新的,Dv,重复上述，直到,S,中包含,V,中其余各顶点的最短路径。,V,0,V,1,V,2,V,3,V,4,V,5,V,0, 10 30 100,V,1, 5 ,V,2, 50 ,V,3, 10,V,4, 20 60,V,5, ,V,0,V,2,V,4,V,3,V,5,V,1,V,0,V,2,V,4,V,3,V,5,V,0,V,2,V,4,V,3,V,0,V,2,V,4,V,0,V,2,S=V,0,V,1,V,5,V,3,V,4,V,2,V,j,V,5,V,4,V,3,V,2,60,30,50,10,60V,0,4,3,5,30,50,10,90V,0,4,5,30,50V,0,4,3,10,100V,0,5,30V,0,4,60V,0,2,3,10,100V,0,5,30V,0,4,10V,0,2,V,1,i=5,i=4,i=3,i=2,i=1,D,终点,V,0,V,2,V,1,V,4,V,5,V,3,5,50,30,10,10,100,60,20,7.6 最短路径,7.6.1 单源点最短路径,7.6.2 所有顶点对之间的最短路径,问题描述：,已知一个各边权值均大于 0 的带权有向图，对每对顶点 vivj，要求求出每一对顶点之间的最短路径和最短路径长度。,解决方案：,1. 每次以一个顶点为源点，重复执行迪杰斯特拉算法n次。这样，便可求得每一对顶点之间的最短路径。总的执行时间为O(n,3,)。,2. 形式更直接的弗洛伊德（Floyd）算法。时间复杂度也为O(n,3,)。,弗洛伊德算法思想：,假设求从顶点V,i,到V,j,的最短路径。如果从V,i,到V,j,有弧，则从V,i,到V,j,存在一条长度为arcsij的路径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。,首先考虑路径（V,i,V,0,V,j,）是否存在（即判别（V,i,V,0,）、（V,0,V,j,）是否存在）。如存在，则比较（V,i,V,j,）和（V,i,V,0,V,j,）的路径长度，取长度较短者为从 V,i,到V,j,的中间顶点的序号不大于0 的最短路径。假如在路径上再增加一个顶点 V,1,，依次类推。可同时求得各对顶点间的最短路径。,定义一个n阶方阵序列,D,(-1),D,(0),D,(1),D,(2),D,(k),D,(n-1),其中：,D,(-1),ij= arcsij,D,(k),ij=Min D,(k-1),ij, D,(k-1),ik+ D,(k-1),kj ,0kn-1,可见，D,(1),ij就是从v,i,到v,j,的中间顶点的序号不大于1的,最短路径的长度;,D,(k),ij就是从v,i,到v,j,的中间顶点的序号不大于k的,最短路径的长度;,D,(n-1),ij就是从v,i,到v,j,的最短路径的长度。,0 4 11,6 0 2,3,0,各顶点间的最短路径及其路径长度,最短路径弗洛伊德举例,0 4 11,6 0 2,3,0,2,1,CAB,CA,BC,BCA,ABC,AB,CAB,CA,BC,BA,ABC,AB,CAB,CA,BC,BA,AC,AB,0,2,1,0,2,1,0,2,1,0,2,1,0,P,(2),P,(1),P,(0),P,(-1),P,2,1,0,7,3,2,0,5,6,4,0,0,7,3,2,0,6,6,4,0,0,7,3,2,0,6,11,4,0,0,3,2,0,6,11,4,0,0,2,1,0,2,1,0,2,1,0,2,1,0,D,(2),D,(1),D,(0),D,(-1),D,CA,BC,BA,AC,AB,本章小结,1.熟练图的各种存储结构及构造算法，了解实际问题的求解效率与采用何种存储结构和算法有密切联系。,2,.,熟练掌握图的两种搜索路径的遍历及算法。,3,.掌握以下内容：,图的最小生成树和求最小生成树算法的思想;,利用AOV网络的拓扑排序问题；,利用AOE网络的关键路径法；,带权有向图的最短路径问题。,
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