工科概率统计1-2

概率统计,(,浙大三版,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一章、概率论的基本概念,第二节,概率的定义及计算,1.2,概率定义计算,一、概率的统计定义,二、概率的公理化定义,三、古典（等可能）概型,1.2,概率定义计算,历史上概率的三次定义,公理化定义,统计定义,古典定义,概率的最初定义,基于频率的定义,1930,年后由前,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,1,、,频率,设在,n,次试验中，事件,A,发生了,m,次，,则称 为事件,A,发生的,频率,一、概率的统计定义,2,、频率的性质,事件,A,B,互斥，则,可推广到有限个两两互斥事件的和事件,非负性,归一性,可加性,投一枚硬币观察正面向上的次数,n=4040,n,H,=2048,f,n,(H)=0.5069,n=12000,n,H,=6019,f,n,(H)=0.5016,n=24000,n,H,=12012,f,n,(H)=0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰,(,Buffon,),投币,皮尔森,(,Pearson,),投币,近百年世界重大地震,1905.04.04,印度,克什米尔地区,8.0 88 1906.08.17,智利,瓦尔帕莱索港地区,8.4,2,万,1917.01.20,印度尼西亚巴厘岛,1.5,万,1920.12.16,中国甘肃,8.6 10,万,1923.09.01,日本关东地区,7.9 14.2,万,1935.05.30,巴基斯坦基达,地区,7.5 5,万,时 间 地 点 级别死亡,“,重大,”,的标准,震级,7,级左右,死亡,5000,人以上,时 间 地 点 级别死亡,1948.06.28,日本,福井地区,7.3 0.51,万,1970.01.05,中国,云南,7.7 1,万,1976.07.28,中国,河北省唐山,7.8 24.2,万,1978.09.16,伊朗,塔巴斯镇地区,7.9,1.5,万,1995.01.17,日本,阪神工业区,7.2 0.6,万,1999.08.17,土耳其,伊兹米特市,7.4 1.7,万,2003.12.26,伊朗,克尔曼省,6.8 3,万,2004.12.26,印尼,苏门答腊岛附近海域,9.0 15,万,世界每年发生大地震概率约为,14,%,世界性大流感每,30-40,年发生一次,近百年世界重大流感,1918,年 西班牙型流感,H1N1,亚型,4,亿人感染,5000,万人死亡,1957,年 亚洲型流感,H2N2,亚型,1968,年 香港型流感,H3N2,亚型,20,天传遍美国 半年席卷全球,2005,年,8,月,26,日“超女”决赛,李宇春,周笔畅,张靓颖,3528308,票,3270840,票,1353906,票,手机投票总数,8153054,李宇春,得票频率,43.27%,周笔畅,得票频率,40.12%,张靓颖,得票频率,16.61%,得票频率可被视为获胜概率,3,、概率的统计定义,在相同条件下重复进行的,n,次试验,中,事件,A,发生的频率稳定地在某一常,数,p,附近摆动,且随,n,越大摆动幅度越,小,则称,p,为事件,A,的概率,记作,P(A).,对本定义的评价,优点：直观,易懂,缺点：粗糙,模糊,不便,使用,1,、设,是,随机试验,E,的,样本空间，若能找,到一个法则，使得对于,E,的每一事件,A,赋于一个,实数，记为,P(A),称之为事件,A,的概率，这种,赋值满足下面的三条公理：,非负性：,归一性：,可列可加性：,其中 为两两互斥事件,.,二、概率的公理化定义,公理化定义,2,、概率的性质,有限可加性,:,设,两两互斥,若,对任意两个事件,A,B,有,B,A,B=AB+(B A),P(B)=P(AB)+,P(B AB),B-AB,AB,加法公式：对任意两个事件,A,B,有,推广,：,一般,：,右端共有 项,.,例,1,小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为,0.7,和,0.2,两类问题都能答出的概率为,0.1.,求小王,解,事件,A,B,分别表示“能答出甲,乙类问题”,(1),(1),答出甲类而答不出乙类问题的概率,(2),至少有一类问题能答出的概率,(3),两类问题都答不出的概率,(2),(3),例,1,例,2,设,A,B,满足,P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何条件下，,P(AB),取得最大,(,小,),值？最大,(,小,),值是多少？,解,最小值在 时取得,最小值,最大值,最大值在 时取得,例,2,设 随机试验,E,具有下列特点：,基本事件的个数有限,每个基本事件等可能性发生,则称,E,为,古典,(,等可能,),概型,古典概型中概率的计算：,记,则,三、古典（等可能）概型,概率的,古典定义,古典概型,例,3,袋中有,a,只白球，,b,只红球，从袋中按,不放回与放回两种方式取,m,个球（,),求其中恰有,k,个（）白球的概率,解,（,1,）,不放回情形,E:,球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，,重复,m,次,:,记事件,A,为,m,个球中有,k,个白球，则,又解,E,1,:,球编号,一次取,m,个球,记下颜色,1,:,记事件,A,为,m,个球中有,k,个白球，则,不放回地逐次取,m,个球,与一次任取,m,个,球算得的结果相同,.,则,因此,称超几,何分布,（,2,）,放回情形,E,2,:,球编号,任取一球,记下颜色,放回去,重复,m,次,2,:,记,B,为取出的,m,个球中有,k,个白球,则,称二项分布,),min(,2,1,),1,(,),(,m,a,k,p,p,C,B,P,k,m,k,k,m,L,=,-,=,-,设有,k,个不同的球,每个,球等可能地落入,N,个盒子中（）,设,每个盒子容球数无限,求下列事件的概率,:,（,1,）某指定的,k,个盒子中各有一球；,（,4,）恰有,k,个盒子中各有一球；,（,3,）某指定的一个盒子没有球,；,（,2,）某指定的一个盒子恰有,m,个球,(),（,5,）至少有两个球在同一盒子中；,（,6,）每个盒子至多有一个球,.,例,4,（分房模型）,例,4,解,:,设,(1)(6),的各事件分别为,则,（,1,）某指定的,k,个盒子中各有一球；,（,2,）某指定的一个盒子恰有,m,个球,(),（,3,）某指定的一个盒子没有球,；,（,4,）恰有,k,个盒子中各有一球；,（,5,）至少有两个球在同一盒子中；,（,6,）每个盒子至多有一个球,.,例,5,“,分房模型”的应用,生物系二年级有,n,个人，求至少有两,人生日相同（设为事件,A),的概率,.,解,为,n,个人的生日均不相同,这相当于,本问题中的人可被视为“球”，,365,天为,365,只“盒子”,若,n=64,，,每个盒子至多有一个球,.,由例,4,（,6,）,例,5,解,例,6,在,0,1,2,3,9,中不重复地任取四个数，,求它们能排成,首位非零,的四位偶数的概率,.,设,A,为“,能排成,首位非零,的四位偶数”,四位,偶数的末位为偶数,故有 种可能,而前三位数有 种取法,由于首位为零的,四,位数有,种取法,所以有利于,A,发生的取,法共有 种,.,例,6,解,设,A,表示事件“,n,次取到的数字的乘积,能被,10,整除”,设,A,1,表示事件“,n,次取到的数字中有偶数”,A,2,表示事件“,n,次取到的数字中有,5”,A=A,1,A,2,例,7,在,1,2,3,9,中重复地任取,n(),个数,求,n,个数字的乘积能被,10,整除的概率,.,例,7,例,10,、,区长办公室某一周内曾接待过,9,次来,访,这些来访都是周三或周日进行的,是否,可以断定接待时间是有规定的？,解,假定办公室每天都接待，则,P(,9,次来访都在周三、日,)=0.0000127,这是小概率事件,一般在一次试验中不会发,发生,.,现居然发生了,故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的,.,例,8,习题,作业,P 32,习题,3 4 6 8,10 11,附,:,柯尔莫哥洛夫介绍,柯尔莫哥洛夫,(A.H.,1903-1987,),1939,年任苏联科学,院院士,.,先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍,院士 及皇家学会会员,.,为,20,世纪最有影响的俄,国数学家,.,俄国数学家,柯尔莫哥洛夫,为开创现代数学的一,系列重要分支作出重大贡献,.,他建立了在测度论基础上的概率论,公理系统,奠定了近代概率论的基础,.,他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括,:,20,年代 关于强大数定律、重对数,律的基本工作,;,1933,年在,概率论的基本概念,一文中提出的概率论公理体系,(,希尔伯,特第,6,问题,),30,年代建立的马尔可夫过程的两,个基本方程,;,用希尔伯特空间的几何理论建立,弱平稳序列的线性理论,;,40,年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等,;,在动力系统中开创了关于哈密顿系,统的微扰理论与,K,系统遍历理论,;,50,年代中期开创了研究函数特征的,信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德,的工作解决并深化了希尔伯特第,13,问题,用较少变量的函数表示较多变量的,函数,;,60,年代后又创立了信息算法理论,;,1980,年由于它在调和分析,概率论,遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作,获沃尔夫奖,;,他十分重视数学教育,在他的指引,下,大批数学家在不同的领域内取得重,大成就,.,其中包括,.M.,盖尔范德,B.,阿诺尔德,.,西奈依等人,.,他还非常重视基础教育,亲自领导,了中学 数学教科书的编写工作,.,