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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,湘潭大学数学学院 岳慧,目录 上页 下页 返回 结束,第四节 补充,空间曲线及其方程,第六章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,湘潭大学数学学院 岳慧,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线,C,.,C,湘潭大学数学学院 岳慧,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线,C,.,湘潭大学数学学院 岳慧,二、空间曲线的参数方程,将曲线,C,上的动点坐标,x, y, z,表示成参数,t,的函数,:,称它为空间曲线的,参数方程.,当给定,时，就得到曲线上的一个点,随着参数的变化可得到曲线上的全部点.,湘潭大学数学学院 岳慧,圆柱螺旋线,的参数方程为,螺旋线的,重要性质,：,上升的高度与转过的角度成正比,上升高度,称为,螺距,.,湘潭大学数学学院 岳慧,例2.,将下列曲线化为参数方程表示:,解:,(1),根据第一方程引入参数 ,(2) 将第二方程变形为,故所求为,得所求为,湘潭大学数学学院 岳慧,例3.,求空间曲线,:,绕,z,轴旋转,时的旋转曲面方程 .,解:,点,M,1,绕,z,轴旋转,转过角度,后到点,则,这就是旋转曲面满足的参数方程 .,湘潭大学数学学院 岳慧,例如,直线,绕,z,轴旋转所得旋转曲面方程为,消去,t,和, 得,旋转曲面方程为,湘潭大学数学学院 岳慧,绕,z,轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为,又如,xOz,面上的半圆周,说明:,一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如,湘潭大学数学学院 岳慧,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线,C,的一般方程为,消去,z,得投影柱面,则,C,在,xOy,面上的投影曲线,C,为,消去,x,得,C,在,yOz,面上的投影曲线方程,消去,y,得,C,在,zOx,面上的投影曲线方程,湘潭大学数学学院 岳慧,湘潭大学数学学院 岳慧,例4.,求,在,xOy,面上的投影曲线方程.,解：,1. 消去,z ,求投影柱面,将,式代入式，得,再代回,式，得,2. 得到投影曲线方程,湘潭大学数学学院 岳慧,例5.,设一个立体由上半球面,和锥面,所围成，求它在,xOy,面上的投影.,解：,二者交线,消去,z,得投影柱面,在,xOy,面上的,投影曲线,所围圆域,:,湘潭大学数学学院 岳慧,湘潭大学数学学院 岳慧,练习1.,求曲线 在坐标面上的投影.,解,（1）消去变量,z,后得,在 面上的投影为,湘潭大学数学学院 岳慧,所以在 面上的投影为线段.,（3）同理在 面上的投影也为线段.,（2）因为曲线在平面 上，,湘潭大学数学学院 岳慧,练习2.,求抛物面,与平面,的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.,截线方程为,解,(1) 消去,z,得投影,柱面,故在xOy面上的投影为,湘潭大学数学学院 岳慧,(2) 消去,y,得投影,柱面,故在,zOx,面上的投影为,(3) 消去,x,得投影,柱面,故在,yOz,面上的投影为,湘潭大学数学学院 岳慧,内容小结,空间曲线,三元方程组,或参数方程,求投影曲线,(如, 圆柱螺线),湘潭大学数学学院 岳慧,(2),(1),湘潭大学数学学院 岳慧,(3),湘潭大学数学学院 岳慧,湘潭大学数学学院 岳慧,
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