概率论与数理统计课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论与数理统计,福建师范大学福清分校数计系,1,第四章 随机变量的数字特征,第2讲,2,例1,设随机变量,X,具有数学期望,E,(,X,)=,m,方差,D,(,X,)=,s,2,0.记,X,*,=(,X,-,m,)/,s.,称,X,*,为,X,的,标准化变量,.,3,例2,设随机变量,X,具有(0-1)分布,其分布律为,P,X,=0=1,-,p,P,X,=1=,p,.求,D,(,X,).,解,E,(,X,)=0,(1,-,p,)+1,p,=,p,E,(,X,2,)=0,2,(1,-,p,)+1,2,p,=,p,.由,(2.4),式,D,(,X,)=,E,(,X,2,),-,E,(,X,),2,=,p,-,p,2,=,p,(1,-,p,).,4,例3,设,X,p,(,l,),求,D,(,X,).,解,X,的分布律为,上节例6已算得,E,(,X,)=,l,而,E,(,X,2,)=,E,X,(,X,-,1)+,X,=,E,X,(,X,-,1)+,E,(,X,),=,l,2,e,-,l,e,l,+,l,=,l,2,+,l,.,所以,D,(,X,)=,E,(,X,2,),-,E,(,X,),2,=,l,.,5,例4,设,X,U,(,a,b,),求,D,(,X,).,解,X,的概率密度为,6,例5,设随机变量,X,服从指数分布,其概率密度为,其中,q,0,求,E,(,X,),D,(,X,).,解,7,于是,D,(,X,)=,E,(,X,2,),-,E,(,X,),2,=2,q,2,-,q,2,=,q,2,.即有,E,(,X,)=,q,D,(,X,)=,q,2,.,8,方差的几个重要性质,(1)设,C,是常数,则,D,(,C,)=0.(2)设,X,是随机变量,C,是常数,D,(,CX,)=,C,2,D,(,X,).(3)对任意两个随机变量,X,Y,D,(,X,+,Y,)=,D,(,X,)+,D,(,Y,)+,2E,X,-,E,(,X,),Y,-,E,(,Y,)(2.5)特别,若,X,Y,相互独立,则,D,(,X,+,Y,)=,D,(,X,)+,D,(,Y,)(2.6)(4),D,(,X,)=0的充要条件是,X,以概率1取常数,C,P,X,=,C,=1.,9,证,(4)证略.下面证明(1),(2),(3)(1),D,(,C,)=,E,C,-,E,(,C,),2,=0(2),D,(,CX,)=,E,CX,-,E,(,CX,),2,=,C,2,E,X,-,E,(,X,),2,=,C,2,D,(,X,).(3),D,(,X,+,Y,)=,E,(,X,+,Y,),-,E,(,X,+,Y,),2,=,E,X,-,E,(,X,),2,+,E,Y,-,E,(,Y,),2,+2,E,X,-,E,(,X,),Y,-,E,(,Y,),=D,(,X,)+,D,(,Y,)+2,E,X,-,E,(,X,),Y,-,E,(,Y,).如,X,Y,相互独立,则,X,-,E,(,X,),与,Y,-,E,(,Y,)也相互独立,则,E,X,-,E,(,X,),Y,-,E,(,Y,)=,E,X,-,E,(,X,),E,Y,-,E,(,Y,)=0,10,例6,设,X,b,(,n,p,)求,E,(,X,),D,(,X,).,解,由二项分布的定义知,随机变量,X,是,n,重伯努利试验中事件,A,发生的次数,且在每次试验中,A,发生的概率为,p,.引入随机变量:,易知,X,=,X,1,+,X,2,+.+,X,n,(2.7),由于,X,k,只依赖于第,k,次试验,而各次试验相互独立,于是,X,1,X,2,.,X,n,相互独立.,11,又知,X,k,k,=1,2,.,n,服从同一(0-1)分布:,(2.7),表明以,n,p,为参数的二项分布变量,可分解为,n,个相互独立且都服从以,p,为参数的(0-1)分布的随机变量之和.,由,例2,知,E,(,X,k,)=,p,D,(,X,k,)=,p,(1,-,p,),k,=1,2,.,n,则,12,又由于,X,1,X,2,.,X,n,相互独立,得,即,E,(,X,)=,np,D,(,X,)=,np,(1,-,p,),13,例7,设,X,N,(,m,s,2,),求,E,(,X,),D,(,X,).,解,先求标准正态变量,的数学期望和方差,Z,的概率密度为,14,因,X,=,m,+,s,Z,即得,E,(,X,)=,E,(,m,+,s,Z,)=,m,D,(,X,)=,D,(,m,+,s,Z,)=,E,m,+,s,Z,-,E,(,m,+,s,Z,),2,=,E,(,s,2,Z,2,)=,s,2,E,(,Z,2,)=,s,2,D,(,Z,)=,s,2,.这就是说,正态分布的概率密度中的两个参数,m,和,s,分别就是数学期望和方差.,15,若,X,i,N,(,m,i,s,i,2,),i,=1,2,.,n,且它们相互独立,则它们的线性组合:,C,1,X,1,+,C,2,X,2,+.+,C,n,X,n,(,C,1,C,2,.,C,n,)是不全为0的常数)仍然服从正态分布,于是由数学期望和方差的性质知道:,这是一个重要结果.,16,例如,若,X,N,(1,3),Y,N,(2,4)且,X,Y,相互独立,则,Z,=2,X,-,3,Y,也服从正态分布,而,E,(,Z,)=2,1,-,32,=-,4,D,(,Z,)=2,2,3+3,2,4=48.故有,Z,N,(,-,4,48).,17,例8,设活塞的直径(以cm计),X,N,(22.40,0.03,2,),气缸的直径,Y,N,(22.50,0.04,2,),X,Y,相互独立.任取一只活塞,任取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率.解 按题意须求,P,X,Y,=,P,X,-,Y,0.由于,X,-,Y,N,(,-,0.10,0.0025),故有,P,X,Y,=,P,X,-,Y,0,18,定理,设随机变量,X,具有数学期望,E,(,X,)=,m,方差,D,(,X,)=,s,2,则对于任意正数,e,不等式,成立.,这一不等式称为,切比雪夫不等式,.,f,(,x,),m,-,e,m,+,e,m,x,19,证,只就连续型随机变量的情况来证明,设,X,的概率密度为,f,(,x,),则有,此不等式也可写为:,20,这个不等式给出了,在随机变量,X,的分布未知的情况下事件|,X,-,m,|,e,的概率的下限估计.例如,在(2.10)式中分别取,e,=3,s,4,s,得到,P,|,X,-,m,|3,s,0.8889,P,|,X,-,m,|4,s,0.9375.在书末附表1中列出了多种常用的随机变量的数学期望和方差,供读者查用.,21,3,协方差及相关函数,22,定义,量,E,X,-,E,(,X,),Y,-,E,(,Y,)称为随机变量,X,与,Y,的,协方差,.记为Cov(,X,Y,),即Cov(,X,Y,)=,E,X,-,E,(,X,),Y,-,E,(,Y,).,称为随机变量,X,与,Y,的相关系数.,r,XY,是一个无量纲的量.,由定义,知,Cov,X,Y,=Cov,Y,X,Cov,X,X,=,D,(,X,).,23,由上述定义及,(2.5),式知道,对于任意两个随机变量,和,Y,下列等式成立:,D,(,X,+,Y,)=,D,(,X,)+,D,(,Y,)+2Cov(,X,Y,).(3.1)将Cov(,X,Y,)的定义式展开,易得Cov(,X,Y,)=,E,(,XY,),-,E,(,X,)E(,Y,)(3.2)常利用这一式子计算协方差.协方差具有下述性质:(1)Cov(,aX,bY,)=,ab,Cov(,X,Y,),a,b,是常数.(2)Cov(,X,1,+,X,2,Y,)=Cov(,X,1,Y,)+Cov(,X,2,Y,).,24,考虑以,X,的线性函数,a,+,bX,来近似表示,Y,希望,e,=,E,Y,-,(,a,+,bX,),2,(3.3)=,E,(,Y,2,)+b,2,E,(,X,2,)+,a,2,-2b,E,(,XY,)+2,a,b,E,(,X,)-2,aE,(,Y,)最小,则将,e,看作是,a,和,b,的函数求最小值,不难证明当,a,=,a,0,b,=,b,0,时,e,取到最小值,其中,将,a,0,b,0,代入(3.3)得,25,定理,(1)|,r,XY,|,1.(2)|,r,XY,|=1的充要条件是,存在常数,a,b,使,P,Y,=,a,+,bX,=1.,r,XY,是一个可以用来表征,X,Y,之间,线性关系,紧密程度的量.当|,r,XY,|较大时,通常说,X,Y,线性相关的程度较好;当|,r,XY,|较小时,说,X,Y,线性相关的程度较差.当,r,XY,=0时,称,X,和,Y,不相关.,如,X,Y,相互独立,则必不相关,.但,X,Y,不相关,却不一定相互独立.,26,设(,X,Y,)服从二维正态分布,它的概率密度为,则可以证明,X,Y,的相关系数,r,XY,正好就是,r,即,r,XY,=,r,而且服从二维正态分布的随机变量,X,Y,相互独立的,充分必要条件,是此相关系数为0.,27,4,矩,协方差矩阵,28,定义,设,X,和,Y,是随机变量,若,E,(,X,k,),k,=1,2,.存在,称它为,X,的,k,阶原点矩,简称,k,阶矩.若,E,X,-,E,(,X,),k,k,=1,2,.存在,称它为,X,的,k,阶中心矩,.若,E,(,X,k,Y,l,),k,l,=1,2,.存在,称它为,X,和,Y,的,k,+,l,阶混合矩,.若,E,X,-,E,(,X,),k,Y,-,E,(,Y,),l,k,l,=1,2,.存在,称它为,X,和,Y,的,k+,l,阶混合中心矩,.因此,E,(,X,)是,X,的一阶原点矩,D,(,X,)是,X,的二阶中心矩,Cov(,X,Y,)是,X,和,Y,的二阶混合中心矩.,29,二维随机变量(,X,1,X,2,)有四个二阶中心矩(设它们都存在),分别记为,c,11,=,E,X,1,-,E,(,X,1,),2,c,12,=,E,X,1,-,E,(,X,1,),X,2,-,E,(,X,2,),c,21,=,E,X,2,-,E,(,X,2,),X,1,-,E,(,X,1,),c,22,=,E,X,2,-,E,(,X,2,),2,.将它们排成矩阵的形式:,这个矩阵称为随机变量(,X,1,X,2,)的,协方差矩阵,.,30,设,n,维随机变量(,X,1,X,2,.,X,n,)的二阶混合中心矩,c,ij,=Cov(,X,i,X,j,)=,E,X,i,-,E,(,X,i,),X,j,-,E,(,X,j,),i,j,=1,2,.,n,都存在,则称矩阵,为,n,维随机变量(,X,1,X,2,.,X,n,)的协方差矩阵,易知此矩阵是一个对称矩阵.,31,二维正态随机变量(,X,1,X,2,)的概率密度为,现要将上式用矩阵形式表示,引入下面列矩阵:,32,(,X,1,X,2,)的协方差矩阵为,它的行列式det,C,=,s,1,2,s,2,2,(1,-,r,2,),C,的逆阵为,33,可以证明,于是(,X,1,X,2,)的概率密度可写成,34,引入列矩阵,n,维正态随机变量(,X,1,X,2,.,X,n,)的概率密度为,35,n,维正态随机变量有四条重要性质:(1),n,维正态变量(,X,1,X,2,.,X,n,)的每一个分量,X,i,i,=1,2,.,n,都是正态变量;反之,若,X,1,X,2,.,X,n,都是正态变量,且相互独立,则(,X,1,X,2,.,X,n,)是,n,维正态变量.(2),n,维随机变量(,X,1,X,2,.,X,n,)服从,n,维正态分布的充要条件是,X,1