常数项级数的概念和基本性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究函数性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,第九章 无穷级数,第一节 常数项级数的概念与基本性质,一、级数的概念,二、级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,一尺之椎，日取其半，永世不竭,.,一、级数的概念,1. 级数的定义:,称为(实)常数项无穷级数 . 简称(实数项),级数,.,(4) ,s,n, 称为级数的部分和数列 .,称为级数的前,n,项部分和 .,问题：,上述级数定义中的“和式”只是形式上的，,该如何理解无穷多个数量相加呢？,2. 级数的收敛与发散:,(1) 若级数的部分和数列 ,s,n, 有极限,s,(,有限数,),(2) 若部分和数列,s,n,没有极限 ,常数项级数收敛,存在,(,不存在,),(,发散,),(3) 余项,显然，级数收敛则其每个余项收敛；,级数是以“和”的形式出现的一个特殊数列(部分和数列)的极限，本质上是一个极限.,讨论级数 的敛散性, 可以先求,s,n, 再求 .,解,级数,发散;,级数,发散;,级数,收敛;,级数,发散.,综上,的收敛性 .,例2,判别无穷级数,解,技巧,可利用将通项,a,n,拆项以求出,s,n,.,解,例3,判别无穷级数,的收敛性 .,技巧,可利用对数运算性质求出,s,n,.,例4,证明调和级数,发散.,课本 Page 230 例3,证明,假设调和级数收敛于,S, 则有,但,矛盾!,所以假设不真 .,故,调和级数,发散.,解,练习：,判别无穷级数,的收敛性 .,技巧,可利用等比数列求和公式求出,s,n,.,二、级数的基本性质,证明,在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性.,结论:,级数的每一项同乘一个非零常数,敛散性不变.,结论:,收敛级数可以逐项相加或逐项相减.,思考:,注意,收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,推论,如果加括号后所成的级数发散 , 则原来级数也发散.,性质4,收敛级数任意加括号后所成的级数仍然,收敛于原来的和.,例1,判断下列级数的敛散性 .,注,当级数的通项为若干项之和时, 可分别考虑以 其中每一项为通项的级数的敛散性, 再利用级数逐项相加(减)的性质.,(收敛),(发散),例2,判断下列级数的敛散性 .,解,考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散 .,三、级数收敛的必要条件,证明,可见:,若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,级数,发散.,注意,并非级数收敛的充分条件.,但此级数发散.,例1,判断下列级数的敛散性 .,(三个级数均发散),注,(4),判断级数 的敛散性 .,(发散),四、小结,常数项级数的基本概念,级数的基本审敛法,3. 按基本性质.,杂例：,例1,的收敛性 .,例2,的收敛性 .,例3,例4,练习,解,: (1) 令,则,故,从而,这说明级数(1) 发散.,判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛 ,其和为,(2),练习题,练习题答案,